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Die Henderson-Hasselbalch-Gleichung

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André Otto
Die Henderson-Hasselbalch-Gleichung
lernst du in der 12. Klasse - 13. Klasse

Grundlagen zum Thema Die Henderson-Hasselbalch-Gleichung

Die Henderson-Hasselbalch-Gleichung in der Chemie

Hast du schon einmal den $pH$-Wert mit der Henderson-Hasselbalch-Gleichung berechnet und dich dabei gefragt, wie dieser Zusammenhang zwischen dem $pH$-Wert und $pK_\text{s}$-Wert überhaupt zustande kommt? Im folgenden Text zeigen wir, wie die Henderson-Hasselbalch-Gleichung hergeleitet wird und welche Aufgaben sie hat.

Achtung: Das Video und dieser Text sind für die Sekundarstufe II, vor allem für den Leistungskurs Chemie, gedacht.

Henderson-Hasselbalch-Gleichung – Definition

Die Henderson-Hasselbalch-Gleichung ist eine Puffergleichung, die den Zusammenhang zwischen dem $pH$-Wert einer verdünnten, wässrigen Lösung und der Lage des Gleichgewichts der Säure-Base-Reaktion zwischen einer mittelstarken Säure und ihrer korrespondierenden, mittelstarken Base in Lösung $\left( \pu{\le 1 \frac{mol}{\ell}} \right)$ beschreibt. Einfach gesagt, stellt sie also den Zusammenhang zwischen dem $pH$-Wert und dem $pK_\text{s}$-Wert einer Lösung her.

Mit der Henderson-Hasselbalch-Gleichung wird der Zusammenhang zwischen dem $pH$-Wert und dem $pK_\text{s}$-Wert einer verdünnten, wässrigen Lösung mathematisch ausgedrückt. Mit ihr lässt sich der eine Wert aus dem anderen über die Stoffkonzentrationen des beteiligen Säure-Base-Paares im chemischen Gleichgewicht bestimmen.

Der Henderson-Hasselbalch-Gleichung liegt eine allgemein formulierte Reaktionsgleichung zugrunde, bei der die schwache Säure $\left( \text{HA} \right)$ in Wasser $\left( \ce{H2O} \right)$ zu einem dazugehörigen Anion (dem Säurerest $\ce{A-}$) und einem Proton, also einem Wasserstoffion $\left(\ce{H+} \right)$, dissoziiert. In der Regel betrachten wir die Reaktion unter Standardbedingungen bei einer Temperatur T = 298 K und einem Druck p = 1 bar = 1·105 Pa.

$\ce{HA} \quad \overset{\ce{H2O}}{\ce{<=>}} \quad \ce{A- + H+}$

Henderson-Hasselbalch-Gleichung – Formel

Einfach erklärt hat die Henderson-Hasselbalch-Gleichung die Funktion, den $pH$-Wert einer Lösung über den $pK_s$-Wert der Säure und deren Säure- und Säureanionenkonzentration zu berechnen. In der Gleichung kann die Konzentration in der Form $c \left(\text{HA}\right)$ oder in der chemischen Schreibweise auch einfach in eckigen Klammern $[{\ce{HA}}]$ geschrieben werden. Beide Schreibweisen sind in der Literatur zu finden. Die Henderson-Hasselbalch-Gleichung sieht demnach folgendermaßen aus:

$pH = pK_\text{s} + \log {\frac{c {\left(\text{A}\right)}^{-}}{c \left({\text{HA}}\right)}} = pK_\text{s} + \log {\frac{[{\text{A}^{-}}]}{[{\text{HA}}]}}$

Nun wollen wir uns die Herleitung genauer anschauen.

Herleitung der Henderson-Hasselbalch-Gleichung

Wir haben die Henderson-Hasselbalch-Gleichung und die allgemeine Form der Reaktionsgleichung kennengelernt, auf die sie sich bezieht. Nun widmen wir uns der Herleitung der Henderson-Hasselbalch-Gleichung aus dem Massenwirkungsgesetz Schritt für Schritt.

Die Reaktionsgleichung kann in Form des Massenwirkungsgesetzes formuliert werden. Dabei wird das Konzentrationsprodukt der Produkte durch das Konzentrationsprodukt der Edukte dividiert und der Gleichgewichtskonstante $K$ gleichgesetzt:

(1) $K = \frac{ [{\ce{A-}}] \cdot [{\ce{H+}}] }{ [{\ce{HA}}] \cdot [{\ce{H2O}}] }$

Da für die Säurekonstante $K_\text{s} = K \cdot [{\ce{H2O}}]$ gilt, kann die 1. Gleichung umgeformt werden, sodass man die 2. Gleichung erhält:

(2) $K_\text{s} = \frac{ [{\ce{A-}}] \cdot [{\ce{H+}}] }{ [{\ce{HA}}]}$

Im nächsten Schritt wird die gesamte 2. Gleichung um den dekadischen Logarithmus $\left( \log() \right)$ erweitert. Somit erhält man die folgende 3. und nach Vereinfachung die 4. Gleichung:

(3) $\log K_\text{s} =\log {\frac{ [{\ce{A-}}] \cdot [{\ce{H+}}] }{ [{\ce{HA}}]}}$

(4) $ \log K_\text{s} = \log {[{\ce{H+}}]} + \log {\frac{[{\ce{A-}}]}{ [{\ce{HA}}]}}$

Da $pH = \log {[{\ce{H+}}]} $ und $pK_\text{s} = - \log {K_\text{s}} $ gilt, können wir die 4. Gleichung weiter umformen und erhalten die 5. Dann setzen wir $pH$ für $\log {[{\ce{H+}}]}$ und $pK_\text{s}$ für $- \log {K_\text{s}} $ ein und erhalten die 6. Gleichung:

(5) $- \log K_s = - \log {[{\ce{H+}}]} - \log {\frac{[{\ce{A-}}]}{ [{\ce{HA}}]}}$

(6) $pK_\text{s} = pH - \log {\frac{ [{\ce{A-}}]}{ [{\ce{HA}}]}}$

Zuletzt kann die 6. Gleichung noch nach dem $pH$-Wert umgestellt werden, sodass wir die 7. Gleichung erhalten:

(7) $pH = pK_\text{s} + \log {\frac{ [{\ce{A-}}]}{ [{\ce{HA}}]}}$

Damit im Quotienten nicht $\frac{ [{\ce{A-}}]}{ [{\ce{HA}}]}$, sondern $\frac{ [{\ce{HA}}]}{ [{\ce{A-}}]} $ steht, kann die 7. Gleichung auch zur 8. Gleichung umgeformt werden.

(8) $pH = pK_\text{s} - \log {\frac{[{\ce{HA}}]}{[{\ce{A-}}]}}$

Die beiden Formen (7) und (8) der Henderson-Hasselbalch-Gleichung können gleichermaßen verwendet werden, um den $pH$-Wert einer verdünnten, wässrigen Lösung zu berechnen.

Anwendung der Henderson-Hasselbalch-Gleichung – Beispiel

In einem Beispiel wollen wir folgende Reaktion betrachten:

$\ce{HOCN} \quad \overset{\ce{H2O}}{\ce{<=>}} \quad \ce{OCN- + H+}$

Cyansäure $\left( \ce{HOCN} \right)$ dissoziiert in wässriger Lösung und bildet das Säureanion $\ce{OCN-}$. Dieses bildet mit Kaliumionen $\left( \ce{K+} \right)$die Verbindung Kaliumcyanat $\left( \text{KOCN} \right)$, was uns aber nicht weiter zu kümmern braucht, da wir uns nur für das Säure-Base-Paar $\ce{HOCN/OCN-}$ interessieren. Es soll gelten:

$c \left(\text{HOCN}\right) = [\ce{HOCN}] = \pu{1,32 \frac{mol}{\ell}}$

$c \left({\text{OCN}}^{-}\right) = [\ce{OCN-}] = \pu{0,50 \frac{mol}{\ell}}$

Der $pK_\text{s}$-Wert der Reaktion kann für die gegebenen Bedingungen in der Literatur nachgeschlagen werden. Er beträgt:

$pK_\text{s} = \pu{3,92}$

Mit diesen Angaben können wir den $pH$-Wert berechnen, der sich im chemischen Gleichgewicht einstellt:

$pH = pK_\text{s} - \log {\frac{ [{\ce{HOCN}}]}{ [{\ce{OCN-}}]}}$

$pH = \pu{3,92} - \log {\frac{\pu{1,32 \frac{mol}{\ell}}}{\pu{0,50 \frac{mol}{\ell}}}} = 3,50$

Der Zusammenhang zwischen $pH$-Wert und $pK_\text{s}$-Wert

Historisch wurde der $pH$-Wert im Jahr 1909 von Søren Sørensen beschrieben. Die Definition des $pK_s$-Wertes wurde dagegen schon im Jahr 1908 von Lawrence J. Henderson veröffentlicht.

Grenzfall:

Wenn die Konzentration der Säure genauso groß ist wie die Anionenkonzentration, entspricht der $pH$-Wert dem $pK_s$-Wert. Dies lässt sich leicht aus der Gleichung ableiten:

$pH = pK_\text{s} - \log {\frac{[{\ce{HA}}]}{[{\ce{A-}}]}}$

$\ce{[HA]} = \ce{[A-]} \Rightarrow \log {\frac{[{\ce{HA}}]}{[{\ce{A-}}]}} = \log \frac{1}{1} = \log{1} = 0 \Rightarrow \underline{\underline{pH = pK_\text{s} - 0 = pK_\text{s}}}$

Zusammenfassung der Henderson-Hasselbalch-Gleichung

  • Die Henderson-Hasselbalch-Gleichung stellt einen Zusammenhang zwischen dem $pH$-Wert und dem $pK_\text{s}$-Wert einer Säure-Base-Reaktion im chemischen Gleichgewicht her.
  • Die Gleichung wir anhand der Reaktionsgleichung bzw. mit den Konzentrationen des korrespondierenden Säure-Base-Paares $[\text{HA}]$ und $[\text{A}^{-}]$ aufgestellt.
  • Die Henderson-Hasselbalch-Gleichung kann durch das Aufstellen des Massenwirkungsgesetzes über die ablaufende Gleichgewichtsreaktion hergeleitet werden.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Henderson-Hasselbalch-Gleichung

Was ist die Henderson-Hasselbalch-Gleichung?
Wann verwendet man die Henderson-Hasselbalch-Gleichung?
Wie lautet die Puffergleichung?
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Transkript Die Henderson-Hasselbalch-Gleichung

Herzlich willkommen liebe Freunde und Freundinnen der Chemie. Herzlich willkommen zu diesem weiteren Video aus der Reihe Säuren, bereits Teil 20. Der Name des heutigen Videos lautet: Die Henderson-Hasselbalch-Gleichung. Vorneweg möchte ich sagen, dieses Video ist vorgesehen für die Sekundarstufe II, Leistungskurse Chemie. Liebe Schülerinnen und Schüler der Sekundarstufe I, der 7., 8., 9.,10. Klassen, Ihr könnt Euch dieses Video anschauen, seid aber dann nicht böse mit mir, wenn Ihr nicht alles so richtig versteht. Natürlich können es sich auch Studenten und Studentinnen ansehen, der Nebenfächer sowieso, Mediziner aber auch Chemiker, wenn sie Interesse haben. Beginnen wir mit dem eigentlichen Thema. Wir haben uns unterhalten über Säuren und das Anliegen, was hinter dieser Henderson-Hasselbalch-Forschung steht. Ist die Frage, inwieweit der pH-Wert als Funktion des pks-Wertes darstellbar ist? Da hat sich Henderson zu Anfang des 20. Jahrhunderts, so 1908, gedacht, wir nehmen uns eine Säure in allgemeiner Form HA. Diese dissoziiert in wässriger Lösung in ein positiv geladenes Wasserstoffion und ein negativ geladenes Säurerestion. Wenn wir jetzt auf diese Gleichung das Massenwirkungsgesetz nach Guldberg und Waage anwenden, dann können wir dafür schreiben. Konzentration der Reaktionsprodukte [H+]×[A-] dividiert durch die Konzentration des Ausgangsstoffes [HA], der unzerfallenen Teilchen, = und das kennen wir schon aus den vorherigen Videos, die Säurekonstante Ks. Gewöhnlich, theoretisch kann man jede Temperatur nehmen, aber thermodynamisch arbeitet man gerne bei 298K, das sind 25 °Celsius und einem bar. Wie wollen wir jetzt den ph-Wert reinkriegen? Da war doch was mit dem dekadischen Logarithmus. Also machen wir Folgendes: Wir logarithmieren einfach. Logarithmiert wird einfach, ohne dass wir eine Regel kennen, indem wir das Logarithmuszeichen natürlich gleich auf beiden Seiten zur gleichen Basis, auf beiden Seiten ansetzen. Also Bruchstrich, im Zähler Konzentration [H+]×[A-] und im Nenner Konzentration [HA]=lgKs. Nun schreib ich das etwas um. Und zwar geh ich davon aus, dass ich jetzt hier auf der linken Seite, wo ich Produkt und Quotienten habe, dass da zwei Faktoren sind. Das ist der eine und das ist der andere Faktor. Und dann kehren wir nach dem Logarithmengesetz folgende Beziehungen. Wenn ich den Logarithmus eines Produktes habe, dann kann ich ihn als Summe der Logarithmen der Faktoren schreiben. Also lg[H+]+lg[A-]÷[HA]. So, auf der rechten Seite verfahr ich genauso. Da hab ich nicht viel zu tun, hier hab ich bloß lgKs. Jetzt sei noch mal an den ph-Wert erinnert. Der ph-Wert ist der negative dekadische Logarithmus der Wasserstoffionenkonzentration. Beim pKs-Wert genauso erinnert Euch. Der pKs-Wert ist der negative dekadische Logarithmus von Ks. An sich riecht das hier unten ja schon verdammt nach ph-Wert, bis auf das Vorzeichen. Die rechte Seite riecht auch schon verdammt nach pKs-Wert, bis auf das Vorzeichen. Also multiplizieren wir mit -1 und wir erhalten -lg[H+]-lg[A-]/[HA] und auf der rechten Seite ist gleich -lgKs. Dann haben wir also hier einen blitzsauberen ph-Wert. Hier auf der rechten Seite haben wir einen blitzsauberen pKs-Wert und das arme Ding hier in der Mitte, das muss bleiben. Aber das soll auch so sein, denn wir wollen ja auch ein bisschen variieren. Wir haben ja gesagt ph-Wert ist nicht pKs-Wert. Also ph-lg[A-]÷[HA]=pKs. Jetzt hätten wir gern Funktion ph=f(pKs). Pks steht schon hier, was uns jetzt noch stört, ist dieser Term, das schieben wir einfach hier nach drüben. Wie schieben wir das nach drüben? Indem wir einfach addieren. ph=pks+lg[A-]÷[AH] und das ist eigentlich schon die Henderson-Hasselbalch-Gleichung, wie man sie unter anderem in der Literatur findet. Allerdings ist es so. Wollen die nicht diesen Quotienten [A-]÷[AH] haben, die wollen das so haben. ph=pKs und die hätten jetzt gerne hinter lg[HA], die hätten nämlich gerne da stehen, wie viel Säure die da haben als Konzentration und im Nenner hätten wir dann die Konzentration der Säurerestionen [A-]. Wenn ich die beiden umtausche nach Logarithmengesetz - das werden wir aber jetzt nicht besprechen, das versucht Mal selbst nachzuvollziehen - haben wir hier minus. Zwei Bemerkungen hätte ich noch zum Ende. Die nullte Bemerkung ist, es ist erst mal wunderschön, also auf diese Idee muss man erst mal kommen. Es ist alles schön, was man so als funktionalen Zusammenhang darstellt in der Chemie. Aber Lobhudelei lassen wir mal sein. Den 1. Punkt finde ich ganz interessant. Wenn ich Konzentration von [HA] habe und die ist gleich Konzentration von [A-], daraus folgt: lg1 und der =0. Und was daraus folgt , das ist nämlich wichtig, ph=pKs. Aber nur in dem Fall, wenn die beiden Konzentrationen gleich sind. Und die zweite Sache interessiert Euch vielleicht nicht so, aber ich fand sie ganz drollig: wir hatten also Herrn Sørensen mit seinem ph-Wert, könnt Ihr Euch erinnern, datiert auf das Jahr 1909 und Henderson mit der Gleichung, die er entwickelt hat. Datiert auf das Jahr 1908. Ein bisschen komisch ist es schon, aber es ist interessant. Müsste ungefähr die gleiche Zeit gewesen sein. Vielleicht wusste man voneinander und das wurde dann später publiziert. So läuft das in der Wissenschaft. Ihr werdet die Gleichung sicher benutzen im Leistungskurs, wenn Ihr studiert sowieso. Und bevor Ihr einfach bloß diese Gleichung nehmt und verwendet, glaube ich, ist es mal ganz gut, dass Euch gezeigt wurde, wo sie eigentlich herkommt. So schwer ist es nicht. Nehmt Euch Papier und Bleistift und versucht es mal selber zu machen. Und ich sage Euch, es macht Spaß. Man versteht nicht alles gleich, aber probiert es mal. Ich wünsche Euch alles Gute. Tschüss

7 Kommentare
7 Kommentare
  1. Hallo Jan,

    es lässt sich der pH - Wert eines Puffers berechnen.

    Alles Gute

    Von André Otto, vor etwa 8 Jahren
  2. Die mathematische Herleitung war klar dargestellt und die habe ich gut verstanden. Aber ich habe mich die ganze Zeit gefragt, wozu die Gleichung gut sein soll.

    Von Deleted User 381349, vor etwa 8 Jahren
  3. Auf die Einordnung kann ich keinen Einfluss nehmen. Ich bin freier Produzent und kein Angestellter von sofatutor.
    Alles Gute

    Von André Otto, vor fast 11 Jahren
  4. Vielen Dank für diese schöne Reihe zu den Säuren, Herr Dr. Otto! Hat mir gefallen und vor allen Dingen geholfen.

    P.S.:
    Komischerweise korrespondiert die Videoreihenfolge nicht mit der eigentlichen Reihenfolge (die in den Klammern stehende).

    Von Gumpi, vor fast 11 Jahren
  5. Es geht tatsächlich nur um das Vorzeichen. Das ist reine Geschmackssache. Alles Gute

    Von André Otto, vor mehr als 11 Jahren
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