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Transkript Antiproportionale Funktionen als Potenzfunktionen

Hallo, ich möchte dir noch eine Möglichkeit zeigen, antiproportionale Funktionen bzw. umgekehrte proportionale Funktionen zu verstehen. Die sehen ja so aus die Dinger, haben solche Funktionsgleichungen: y= k/x. Ich will gleich auf eine wichtige Eigenschaft zu sprechen kommen, die diese Funktionen haben. So ich mal das noch mal hier hin: y=k/y. Dazu, um diese wichtige Eigenschaft zu zeigen, möchte ich eine Umformung machen und zwar möchte ich hier die gesamte Gleichung mit x multiplizieren. Dann steht auf der linken Seite: x×y oder einfach xy = k. Und da gibt es einen komplizierten Ausdruck für, ihr könnt nämlich sagen, dass die Funktion bzw. der Funktionsgraph aus allen Punkten besteht, deren Koordinaten produktgleich sind. Etwas einfacher formuliert heißt das: wenn ein Punkt mit 2 Koordinaten zu dieser Funktion hier gehören soll, dann muss ja x×y immer k ergeben, immer eine bestimmte Zahl. Zum Beispiel können wir hier für k eine konkrete Zahl einsetzten, zum Beispiel 7, warum nicht. Und immer wenn x und y nun zu dieser Funktion gehören sollen - x und y sind 2 Koordinaten eines Punktes im Koordinatensystem - anders gesagt, wenn x und y diese Gleichung erfüllen, dann ist x×y=7. Bis dahin ist das keine Kunst und so möchte ich jetzt mal einen Graphen konstruieren. Tada. Und zwar mit meinem Taschenrechner. Das ist der gleiche Taschenrechner, der hier immer durch die Gegend fliegt. den brauch ich jetzt noch nicht, den brauche ich gleich. Wenn ich die x-Koordinate 1 habe und möchte das x×y=7 ist, dann gehe ich da hin und muss hier auf die 7 gehen - da ist sie -, dann habe ich hier einen Punkt. Entsprechend kann ich zu -1 gehen, dann muss ich hier zu -7 gehen, dann habe ich da auch einen Punkt des Graphen. Ich kann auch zum x-Wert 7 gehen. Mit welchem y-Wert muss ich dieses x multiplizieren damit 7 herauskommt? Es ist 1. Wenn ich bei -7 bin, womit muss ich -7 multiplizieren damit 7 herauskommt? Die muss ich mit -1 multiplizieren. Also ist hier ein weiterer Punkt. Dann könnte ich mir irgendwelche Punkte ausdenken, zum Beispiel den hier, 2,5 denke ich mir aus. Das mach ich jetzt mal bequem mit dem Taschenrechner. 7÷ 2,5 -naja das hätte man vielleicht auch noch so schaffen können, aber egal - da sagt er mir hier, das ist 2,8. Also 2,5×2,8 =7. Und wenn ich 7 jetzt durch -2,5 teile, zum Beispiel, dann müsste da auch -2,8 herauskommen. Das ist auch so. Weil -2,5×-2,8= 7 ist.

So was kann ich noch machen? Hier fehlt mir noch was. Ich nehme mal 5,1. 7÷5,1=1,4 (aufgerundet). Wenn ich das negativ eingebe, also -5,1 dann wird da auch -1,4 herauskommen. Ich schätze mal, dass das da ist. Ach wird schon hinkommen.

Hier oben fehlt mir noch was, ich nehme mal die 1,6. 7÷1,6=4,4 kommt heraus. Das ist da. Das geht auf der anderen Seite auch. -1,6 möchte ich einsetzen,. -4,4 ist ungefähr da. Und jetzt kannst du schon sehen, wie der Funktionsgraph verläuft. So und so. Wenn ich immer weiter Punkte hier setze, dann würde irgendwann das hier raus kommen. Das mach ich jetzt natürlich nicht so mit den einzelnen Punkten. Und das ist der Graph mit den antiproportionalen Funktionen bzw. umgekehrt proportionalen Funktionen. y=7/x. Er besteht aus allen Punkten, deren Koordinaten produktgleich sind. So schön kann man das formulieren. Wenn ich auf irgendeinen Punkt gehe, diese Koordinate ablese und diese Koordinate ablese, x und y ablese, die beiden multipliziere, kommt immer 7 heraus. Ja, find eich mathematisch recht spannend schön. Du vielleicht nicht. Macht nichts musst du trotzdem lernen. Viel Spaß damit, bis bald, tschüs.

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4 Kommentare
  1. Felix

    @Olivermachacka: Gezeichnet werden soll der Graph der Funktion y=7/x. Dazu werden verschiedene Punkte in ein Koordinatensystem eingezeichnet und im Anschluss miteinander verbunden. Wenn man beispielsweise x=2,5 in die Funktionsgleichung einsetzt, dann bekommt man y=7/2,5=2,8. Der Punkt (2,5|2,8) liegt also auf dem Graphen der Funktion. Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte.

    Von Martin Buettner, vor 4 Monaten
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    bitte erklären.

    Von Olivermachacka, vor 4 Monaten
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    Gut erklärt. !!!!!!

    Von Antoni99, vor fast 3 Jahren
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    Freundlich und gut erklärt!

    Von Silke Hebauf, vor fast 3 Jahren