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Bernoulli-Formel

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Team Digital
Bernoulli-Formel
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse

Grundlagen zum Thema Bernoulli-Formel

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, Wahrscheinlichkeiten mithilfe der Bernoulli-Formel zu berechnen.

Zunächst lernst du, was ein Bernoulli-Experiment und was eine Bernoulli-Kette ist. Anschließend lernst du die Bernoulli-Formel kennen. Abschließend erfährst du, wie sich die Bernoulli-Formel zusammensetzt.

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Bernoulli-Experiment, Bernoulli-Kette und Bernoulli-Formel.

Außerdem solltest du grundlegendes Wissen zu Bernoulli-Experimenten und Binomialkoeffizienten haben.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, die Binomialverteilung kennenzulernen.

Transkript Bernoulli-Formel

Heute auf dem Programm: Multiple Choice Test! Wie viel wir dafür gelernt haben? Ähhh, leider gar nicht. Egal, dann wird halt geraten! Wie gut unsere Chancen stehen, da ein paar Zufallstreffer zu landen, verrät uns die "Bernoulli-Formel". Bevor wir uns die Formel anschauen, müssen wir aber erstmal ein paar Grundlagen klären. Wir betrachten ein Zufallsexperiment, bei dem uns nur zwei mögliche Ausgänge interessieren. Entweder ein bestimmtes Ereignis tritt ein, oder eben nicht. Klassisches Beispiel: Wir werfen eine Münze. Kopf bedeutet "Treffer", Zahl bedeutet "kein Treffer". Ein solches Zufallsexperiment, bei dem wir nur zwischen zwei möglichen Ausgängen unterscheiden, nennen wir Bernoulli-Experiment. Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer liegt hier bei fünfzig Prozent, also ein Halb. Und auch wenn wir einen Multiple-Choice-Test mit vier Antwortmöglichkeiten und einer richtigen Antwort pro Frage vor uns haben, können wir so eine Testfrage als Bernoulli-Experiment betrachten. Wir haben zwar vier und nicht nur zwei mögliche Ergebnisse, uns interessieren aber im Endeffekt nur ZWEI mögliche Ausgänge: Entweder wir haben die richtige Antwort angekreuzt, sprich einen Treffer gelandet, oder eben nicht. Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer liegt also bei einem Viertel und die Wahrscheinlichkeit für "keinen Treffer" als Gegenwahrscheinlichkeit bei drei Vierteln. Damit das Ganze wirklich als Zufallsexperiment betrachtet werden kann, gehen wir natürlich davon aus, dass wir die Antwortmöglichkeiten absolut ZUFÄLLIG, also ohne System und Vorwissen ankreuzen. Wenn wir unser Zufallsprinzip jetzt nicht nur für eine, sondern für MEHRERE Testfragen durchziehen – zum Beispiel drei, fünf oder zehn mal – wird aus dem Bernoulli-Experiment eine Bernoulli-KETTE. Bei einer solchen Kette an Wiederholungen von dem gleichen Zufallsexperiment mit gleichbleibender Trefferwahrscheinlichkeit, können wir dann die Anzahl an Treffern zählen, die insgesamt erzielt wurden. Die Frage, die jetzt noch offen ist, lautet: Wie können wir denn ganz konkrete Wahrscheinlichkeiten für eine gewisse Trefferanzahl bei Bernoulli-Ketten ausrechnen? Die Antwort liefert uns Bernoulli! Und zwar mit der Bernoulli-FORMEL. Der Typ hat echt an alles gedacht! Okay, diese Formel sollten wir uns jetzt erstmal genauer anschauen. Wir betrachten die Wahrscheinlichkeit dafür, dass wir genau k Treffer landen. Die ist dann gleich "n über k" (..) mal "p hoch k" mal "eins-minus-p hoch n-minus-k". k ist hierbei die Anzahl der Treffer, n steht für die Länge der Bernoulli-Kette, sprich die Anzahl an Versuchswiederholungen, und p für die Trefferwahrscheinlichkeit. Das sieht insgesamt erstmal ganz schön wild aus! Ist aber gar nicht so kompliziert, wenn wir einmal gecheckt haben, was hier überhaupt los ist. Die größte Verwirrung stiftet normalerweise DAS Teil hier – der Binomialkoeffizient "n über k". Wenn du dir da nicht mehr so sicher bist, was es damit auf sich hat, schau dir das Thema am besten nochmal schnell an! Danach wird es aber auch schon einfacher: Wir haben p, also die Trefferwahrscheinlichkeit, hoch k, sprich die ANZAHL der Treffer, und der letzte Faktor in der Formel ist nichts anderes als die Wahrscheinlichkeit für "keinen Treffer" hoch "n minus k", also die Anzahl übrigbleibender Versuchsdurchführungen, bei denen eben kein Treffer erzielt wird. Wir können das Ganze ja mal an einem Beispiel durchrechnen. Wir gehen davon aus, dass wir drei Fragen bearbeiten und möchten die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, einmal richtig zu liegen. Die Trefferwahrscheinlichkeit ist ja gleich 0,25. Wir berechnen also "drei über eins" mal 0,25 hoch eins mal 0,75 hoch zwei. Das ergibt ungefähr 0,422, also 42,2 Prozent. Und das ist dann unsere Wahrscheinlichkeit für genau EINEN Treffer bei DREI Versuchsdurchführungen. Warum die Formel funktioniert, verrät uns ein Blick auf das entsprechende Baumdiagramm. Wir betrachten drei Versuchsdurchführungen, wobei wir jeweils zwischen "Treffer" und "keinem Treffer" unterscheiden. Die dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten kennen wir auch schon. Jetzt schauen wir uns mal an, welche Pfade zu dem Ereignis "genau ein Treffer" führen. Das ist bei diesem, diesem und diesem Pfad der Fall. Nach der ersten Pfadregel müssen wir jetzt entlang der Pfade multiplizieren und nach der zweiten Pfadregel können wir diese Produkte dann einfach addieren, um die Wahrscheinlichkeit für genau einen Treffer zu berechnen. Das, was da jetzt steht, können wir aber auch zusammenfassen: 0,75 mal 0,75 können wir jeweils zu 0,75 hoch zwei umformen und dann können wir, weil alle drei Summanden komplett identisch sind, diese Summe auch als PRODUKT schreiben. Das sieht doch jetzt schon sehr ähnlich aus! Und tatsächlich kommt ja bei dem Binomialkoeffizienten "drei über eins" drei raus. Wie funktioniert die Formel also? Der Binomialkoeffizient zählt für uns, wie viele Pfade in einem Baumdiagramm bei n Durchführungen zu k Treffern führen. Die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Pfades ist dann durch den hinteren Teil der Formel gegeben. Die Wahrscheinlichkeiten der Pfade, die zu der gleichen Anzahl an Treffern führen, ist ja praktischerweise immer gleich! Wenn wir also wissen, wie hoch die Trefferwahrscheinlichkeit ist, wie lang unsere Bernoulli-Kette ist und welche Trefferanzahl wir betrachten, können wir die Wahrscheinlichkeit für genau DIESE Trefferanzahl mit der Bernoulli-Formel berechnen! Wir fassen das Wichtigste nochmal auf einen Blick zusammen. Die Bernoulli-Formel kommt zum Einsatz, wenn wir eine Bernoulli-Kette, also eine Aneinanderreihung von ein und demselben Bernoulli-Experiment betrachten. Wir erkennen ein solches Experiment daran, dass es nur zwei Ausgänge gibt: "Treffer" oder "kein Treffer". Wenn wir dann die Anzahl der Treffer, die Länge der Bernoulli-Kette und die Trefferwahrscheinlichkeit gegeben haben, müssen wir die entsprechenden Werte nur noch in die Formel einsetzen. Das Ergebnis ist dann die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer. Bei unserem zufällig ausgefüllten Multiple-Choice-Test liegt die Trefferwahrscheinlichkeit bei 0,25. Wenn wir davon ausgehen, dass der Test insgesamt zehn Fragen umfasst, können wir mit Hilfe der Formel die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass wir durch zufälliges Ankreuzen die Hälfte der Fragen richtig beantworten. Sie liegt bei circa 5,8 Prozent. Dann vielleicht doch lieber noch 'ne kleine Lernsession starten: Zum Beispiel zur Binomialverteilung! Die baut nämlich auf der Bernoulli-Formel auf. Mehr dazu beim nächsten Mal!

Bernoulli-Formel Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Bernoulli-Formel kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib an, wann die Bernoulli-Formel genutzt wird.

    Tipps

    Drei Aussagen sind richtig.

    Das Werfen einer Münze ist beispielsweise ein Zufallsexperiment, bei dem die Bernoulli-Formel genutzt werden kann.

    Überlege, wie du hier vorgehst.

    Lösung

    In dieser Aufgabe wird wiederholt, in welchen Fällen wir die Bernoulli-Formel nutzen können.

    Die Bernoulli-Formel kommt zum Einsatz, wenn wir eine Bernoulli-Kette, also eine Aneinanderreihung von ein und demselben Bernoulli-Experiment betrachten. Wenn wir die Anzahl der Treffer, die Länge der Bernoulli-Kette und die Trefferwahrscheinlichkeit gegeben haben, dann können wir die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Trefferzahl berechnen.

    $\,$

    Für unsere Aussagen bedeutet das:

    1. Aussage:

    • Die Bernoulli-Formel nutzen wir zum Berechnen einer Wahrscheinlichkeit.
    Diese Aussage ist richtig: Mit der Bernoulli-Formel wird die Wahrscheinlichkeit für eine festgelegte Trefferzahl berechnet.

    2. Aussage:

    • Die Bernoulli-Formel nutzen wir zum Berechnen des Binomialkoeffizienten.
    Diese Aussage ist falsch: Der Binomialkoeffizient ist Teil der Bernoulli-Formel. Er gibt an, wie viele Pfade des zum Zufallsexperiment passenden Baumdiagramms für unsere Rechnung relevant sind.

    3. Aussage:

    • Die Bernoulli-Formel nutzen wir, wenn in jedem Durchgang mehr als zwei Ausgänge eines Zufallsexperiments betrachtet werden.
    Diese Aussage ist falsch: Die Bernoulli-Formel gilt nur für die mehrfache Durchführung eines Bernoulli-Experiments, also eines Zufallsexperiments, bei dem wir zwischen genau zwei Ausgängen unterschieden.

    4. Aussage:

    • Die Bernoulli-Formel nutzen wir, wenn es bei einem Zufallsexperiment genau zwei relevante Ausgänge gibt.
    Diese Aussage ist richtig: Die Bernoulli-Formel gilt für Zufallsexperimente, bei denen wir genau zwei relevante Ausgänge unterscheiden.

    5. Aussage:

    • Die Bernoulli-Formel nutzen wir, wenn ein Zufallsexperiment mit sich ändernder Wahrscheinlichkeit mehrmals durchgeführt wird.
    Diese Aussage ist falsch: Die Bernoulli-Formel gilt nur für Aneinanderreihungen von Zufallsexperimenten mit genau zwei Ausgängen, bei denen sich die Wahrscheinlichkeit nicht ändert.

    6. Aussage:

    • Die Bernoulli-Formel nutzen wir, wenn ein Zufallsexperiment mit gleichbleibender Wahrscheinlichkeit mehrmals durchgeführt wird.
    Diese Aussage ist richtig: Die Bernoulli-Formel gilt für mehrere Wiederholungen eines Zufallsexperiments mit genau zwei Ausgängen, bei denen sich die Wahrscheinlichkeit nicht ändert. Die entstehende Bernoulli-Kette repräsentiert eine Aneinanderreihung von ein und demselben Bernoulli-Experiment.

  • Definiere die Bestandteile der Bernoulli-Formel.

    Tipps

    Überlege, was das Ergebnis der Bernoulli-Formel ist.

    Welche Variable steht schon in der Formel für das Ergebnis und bestimmt seine Bedeutung genauer?

    Der Binomialkoeffizient bestimmt eine Auswahl aus einer Grundmenge ohne Zurücklegen und ohne Betrachtung der Reihenfolge.

    Um ihn zu berechnen, brauchen wir die Anzahl der Grundmenge (Länge der Bernoulli-Kette) und die Anzahl der ausgewählten Elemente (Anzahl der Treffer).

    Lösung

    In dieser Aufgabe definieren wir die Bestandteile der Bernoulli-Formel. Das hilft uns, den Aufbau der Bernoulli-Formel besser zu verstehen.

    Im Allgemeinen berechnen wir mit der Bernoulli-Formel $P (X = k)$ die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Anzahl von Treffern.

    Zum Beispiel können wir berechnen, wie wahrscheinlich es ist, dass von einer Gesamtzahl an Münzwürfen bei einer bestimmten Anzahl an Würfen Kopf nach oben zeigt.

    Wir betrachten die Wahrscheinlichkeit dafür, dass wir genau $k$ Treffer landen. Die Variable $k$ repräsentiert also die Anzahl der Treffer.

    Wenn wir errechnen möchten, wie wahrscheinlich es ist, dass zweimal Kopf nach oben zeigt, ist $k=2$. Wir berechnen also $P (X = 2)$.

    Die Variable $n$ steht für die Länge der Bernoulli-Kette, sprich die Anzahl an Versuchswiederholungen.

    Bei einer Gesamtanzahl von vier Münzwürfen entspricht $n=4$.

    Die Trefferwahrscheinlichkeit wird mit $p$ angegeben.

    Da es bei einem Münzwurf die Möglichkeiten Zahl und Kopf gibt, liegt die Wahrscheinlichkeit für eine der beiden Möglichkeiten bei $50$ Prozent:

    $p=0,\!5$

    Mit den beschriebenen Bestandteilen kann die Bernoulli-Formel schon aufgestellt werden:

    $P ( X = k)= \displaystyle \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1- p)^{n-k}$

    Sie lautet für unsere Berechnung der Wahrscheinlichkeit von zweimal Kopf bei vier Würfen:

    $P ( X = 2)= \displaystyle \binom{4}{2} \cdot 0,\!5^{2} \cdot (1- 0,\!5)^{4-2}$

    Der enthaltene Binomialkoeffizient $\binom{n}{k}$ gibt die Anzahl der Pfade an, die zu unserer gewünschten Trefferzahl führen.

    In unserem Beispiel sind das:

    $\begin{array}{lllll} \displaystyle \binom{4}{2} & = & \dfrac{4!}{2! \cdot (4-2)!} & = & \dfrac{24}{2 \cdot 2} \\ \\ & = & \dfrac{24}{4}& = & 6 \end{array}$

    Nachvollziehen kann man das anhand der Auflistung der Pfade, die zu zweimal Kopf führen:

    Kopf – Kopf – Zahl – Zahl $\quad \vert \quad$ Zahl – Kopf – Kopf – Zahl

    Kopf – Zahl – Kopf – Zahl $\quad \vert \quad$ Zahl v Kopf – Zahl – Kopf

    Kopf – Zahl – Zahl – Kopf $\quad \vert \quad$ Zahl – Zahl – Kopf – Kopf

    Diese Anzahl der Pfade wird anschließend mit der zugehörigen Pfadwahrscheinlichkeit $p^{k} \cdot (1-p)^{n-k}$ multipliziert.
    Sie beinhaltet die Trefferwahrscheinlichkeit ($p$) und die Gegenwahrscheinlichkeit bzw. Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer ($1-p$), welche beide so oft mit sich selbst multipliziert werden, wie unsere gewünschte Anzahl für einen Treffer bzw. keinen Treffer ist. (Dementsprechend stehen die Potenzen $k$ für die Durchführungen mit Treffer und $n-k$ für die Durchführungen ohne Treffer.)

    Die Wahrscheinlichkeit für jeden der oben aufgeführten Pfade lässt sich auf diese Weise folgendermaßen berechnen:

    $0,\!5^{2} \cdot (1-0,\!5)^{4-2} = 0,\!25 \cdot 0,\!25 = 0,\!0625$

    Zurückführen können wir diese Rechnung auf die Pfadregel. Sie definiert die Wahrscheinlichkeit eines Pfades als das Produkt aller Wahrscheinlichkeiten entlang dieses Pfades. Für den Pfad „Kopf – Kopf – Zahl – Zahl“ heißt das beispielsweise:

    $0,\!5 \cdot 0,\!5 \cdot 0,\!5 \cdot 0,\!5 = 0,\!0625$

  • Vervollständige die Bernoulli-Formel.

    Tipps

    Wie oft versucht Tom, die Murmel insgesamt zu finden?

    Überlege, welche Variable für die Anzahl der Versuche und damit die Länge der Bernoulli-Kette steht und setze ein.

    Wie oft soll Tom die Murmel finden und damit gewinnen?

    Überlege, welche Variable für die Anzahl der Treffer steht und setze ein.

    Schaue dir die Bedeutung der Variablen an und setze richtig ein.

    Lösung

    In dieser Aufgabe setzen wir gegebene Zahlen richtig in die Bernoulli-Formel ein.

    Um die Zahlen korrekt zuzuordnen, müssen wir uns die Situation genau anschauen:

    Tom versucht fünfmal die Murmel zu finden. Daraus ergibt sich:

    $n = 5$

    Da er unter fünf Bechern eine Murmel finden soll, beträgt die Trefferwahrscheinlichkeit:

    $p = \dfrac{1}{5} = 0,\!2$

    Es soll die Wahrscheinlichkeit für zwei Gewinne berechnet werden:

    $k=2$

    Eingesetzt in die Bernoulli-Formel ergibt sich folgende Rechnung:

    $\begin{array}{llllll} P (X=k)& =& \displaystyle \binom{n}{k} &\cdot& p^{k} &\cdot &(1- p)^{n-k} \\ \\ P (X=2) & = & \displaystyle \binom{5}{2} & \cdot & 0,\!2^{2} & \cdot & (1- 0,\!2)^{5-2} \\ \\ & = & 10 & \cdot & 0,\!04 & \cdot & 0,\!8^{3} \\ & = & 0,\!4 & \cdot & 0,\!512 & &\\ & = & 0,\!2048 \\ &\approx & 20,\!5 \,\% \end{array}$

    Die Wahrscheinlichkeit $P (X=2)$, genau zweimal zu gewinnen, beträgt demnach $20,\!5$ Prozent.

  • Ermittle die Bestandteile der Bernoulli-Formel und berechne die Wahrscheinlichkeit.

    Tipps

    Um herauszufinden, welche Gewinnwahrscheinlichkeit es bei einem Zufallsexperiment gibt, zählst du alle Möglichkeiten und setzt sie, wie in dem Beispiel, in einen Bruch ein:

    Es gibt insgesamt sechs verschiedene Möglichkeiten.
    Wenn man nur bei den Augenzahlen $5$ und $6$ gewinnt, dann gibt es zwei Gewinnmöglichkeiten.
    Die Wahrscheinlichkeit hierfür beträgt:

    $p = \dfrac{2}{6}\ = \dfrac{1}{3}$

    Den Binomialkoeffizienten berechnest du folgendermaßen:

    $n = 6 \quad\vert\quad k= 4$

    $\begin{array}{lll} \displaystyle \binom{n}{k} & = & \dfrac{n!}{k! \cdot (n-k)!} \\ \\ \displaystyle \binom{6}{4} & = & \dfrac{6!}{4! \cdot (6-4)!} \\ \\ & = & \dfrac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 }{(4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot (2 \cdot 1)} \\ \\ & = &\dfrac{720}{24 \cdot 2} \\ \\ & = & 15 \\ \end{array}$

    Mit einem Taschenrechner kannst du den Binomialkoeffizienten mit der Funktion $\text{nCr}$ bestimmen. In unserem Beispiel würden wir hierfür Folgendes eingeben:

    $6 ~ \text{nCr} ~ 4 \quad$ oder $\quad \text{nCr}(6,4)$

    Schreibe die errechnete Wahrscheinlichkeit $P ( X = k )$ von der Kommaschreibweise in die Prozentschreibweise und runde auf die erste Stelle nach dem Komma.

    Hierfür rechnest du:

    $\cdot~ 100$

    Ist die Ziffer an der ersten wegfallenden Dezimalstelle $0, 1, 2, 3$ oder $4$ wird abgerundet. Die vorherige Ziffer bleibt gleich:

    $P ( X = k ) = 0,\!2574 \approx 25,\!7 \,\%$

    Ist die Ziffer an der ersten wegfallenden Dezimalstelle eine $5, 6, 7, 8$ oder $9$ wird aufgerundet:

    $P ( X = k ) = 0,\!2576 \approx 25,\!8 \,\%$

    Lösung

    In dieser Aufgabe nutzen wir die Bernoulli-Formel zum Berechnen der Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Trefferzahl. Um die Rechnung richtig aufzustellen, müssen wir uns die Situation genau anschauen:

    Lina würfelt fünfmal. Daraus ergibt sich:

    $n = 5$

    Da es bei dem Würfel insgesamt sechs verschiedene Möglichkeiten gibt und davon nur die drei geraden Augenzahlen zu einem Gewinn führen, beträgt die Trefferwahrscheinlichkeit:

    $p = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0,\!5$

    Es soll die Wahrscheinlichkeit für drei Gewinne berechnet werden:

    $k=3$

    Eingesetzt in die Bernoulli-Formel ergibt sich folgende Rechnung:

    $\begin{array}{llllll} P (X = k)& =& \displaystyle \binom{n}{k} &\cdot& p^{k} &\cdot &(1- p)^{n-k} \\ \\ P (X = 3) & = & \displaystyle \binom{5}{3} & \cdot & 0,\!5^{3} & \cdot & (1- 0,\!5)^{5-3} \\ \\ & = & 10 & \cdot & 0,\!125 & \cdot & 0,\!5^{2} \\ & = & 1,\!25 & \cdot & 0,\!25 & &\\ & = & 0,\!3125 \\ &\approx & 31,\!3 \,\% \end{array}$

    Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit, genau dreimal zu gewinnen ($P (X = 3)$), gerundet $31,\!3$ Prozent.

    Den Binomialkoeffizienten rechnest du folgendermaßen aus:

    $\begin{array}{lll} \displaystyle \binom{n}{k} & = & \dfrac{n!}{k! \cdot (n-k)!} \\ \\ \displaystyle \binom{5}{3} & = & \dfrac{5!}{3! \cdot (5-3)!} \\ \\ & = &\dfrac{120}{6 \cdot 2} \\ \\ & = & 10 \\ \end{array}$

    Hinweis: Du kannst den Binomialkoeffizienten auch direkt mit dem Taschenrechner bestimmen:

    $\quad \displaystyle \binom{n}{k} \quad \rightarrow \quad n~ \text{nCr} ~k \quad$ oder $\quad \text{nCr}(n,k)$

  • Bestimme die Bestandteile der Bernoulli-Formel.

    Tipps

    Die Anzahl der Treffer kommt in jedem Teil der Gleichung vor: Du musst die Variable dreimal markieren.

    Die Wahrscheinlichkeiten für einen Treffer und für keinen Treffer ergeben zusammen $1$.

    Die Anzahl der Durchführungen und die Anzahl der Treffer sind beide Bestandteile des Binomialkoeffizienten.

    Lösung

    In dieser Aufgabe bestimmen wir die Bestandteile der Bernoulli-Formel. Das hilft uns, den Aufbau der Bernoulli-Formel zu wiederholen.

    Im Allgemeinen berechnen wir mit der Bernoulli-Formel $P ( X = k )$ die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Anzahl von Treffern. Wir betrachten also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass wir genau $k$ Treffer landen.

    Die Variable $k$ repräsentiert demnach die Anzahl der Treffer.

    Mit dem Binomialkoeffizienten $\binom{n}{k}$ wird die Anzahl der Pfade festgelegt, die zu unserer gewünschten Trefferzahl führt. Hierfür wird neben $k$ die Variable $n$ benötigt, die für die Länge der Bernoulli-Kette, sprich die Anzahl an Versuchswiederholungen, steht.

    Die Trefferwahrscheinlichkeit wird mit $p$ angegeben. Sie wird so oft mit sich selbst multipliziert, wie unsere gewünschte Anzahl für einen Treffer ist. Dementsprechend besitzt $p$ die Potenz $k$, welche für die Durchführungen mit Treffer steht.

    Die Gegenwahrscheinlichkeit bzw. Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer wird durch den Ausdruck ($1-p$) berechnet. Diese wird so oft mit sich selbst multipliziert, wie unsere gewünschte Anzahl für keinen Treffer ist. Sie besitzt deshalb die Potenz $n-k$, die die Durchführungen ohne Treffer angibt. $(1-p)^{n-k}$ steht demnach für die Wahrscheinlichkeit und Durchführungen mit keinem Treffer.

    Richtig markiert sieht die Formel folgendermaßen aus: $P ( X = \color{violet}{k}\color{black}{)= }\displaystyle \color{lightskyblue}{\binom{n}{k}} \color{black}{ ~\cdot~ }\color{greenyellow}{p}^{\color{violet}{k}} \color{black}{~\cdot~ }(1- \color{greenyellow}{p}\color{black}{)}^{\color{gold}{n}\color{black}{~-~}\color{violet}{k}}$

  • Berechne die Wahrscheinlichkeiten mit der Bernoulli-Formel.

    Tipps

    Um herauszufinden, welche Gewinnwahrscheinlichkeit es bei einem Glücksrad gibt, zählst du alle Unterteilungen und setzt sie, wie in dem Beispiel, in einen Bruch ein:

    Es gibt in dem Glücksrad auf dem Bild acht Unterteilungen.
    Bei zwei roten Feldern gewinnt man.
    Die Wahrscheinlichkeit hierfür beträgt:

    $p = \dfrac{2}{8} = \dfrac{1}{4} = 0,\!25$

    Die Drehungen/Versuche entsprechen der Länge der Bernoulli-Kette, die erhofften Gewinne definieren die Trefferzahl: Setze die Werte richtig in die Bernoulli-Formel ein.

    Lösung

    In dieser Aufgabe nutzen wir die Bernoulli-Formel zum Berechnen verschiedener Wahrscheinlichkeiten einer bestimmten Trefferzahl. Hierfür müssen wir die Länge der Bernoulli-Kette (Anzahl der Versuche), die Trefferzahl (erhoffte Gewinne) und die Trefferwahrscheinlichkeit (abhängig vom Glücksrad) in die Formel einsetzen:

    $P (X = k) = \displaystyle \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1- p)^{n-k}$

    Den enthaltenen Binomialkoeffizienten berechnen wir mit folgender Formel:

    $\begin{array}{lll} \displaystyle \binom{n}{k} & = & \dfrac{n!}{k!\cdot (n-k)!} \\ \end{array}$

    Alle Glücksräder haben gemeinsam, dass sie vier Unterteilungen haben: Ein Spiel wird gewonnen, wenn die Nadel auf einem roten Feld stehen bleibt.

    Für unsere verschiedenen Spielvarianten ergeben sich hierdurch folgende Rechnungen:

    Erstes Glücksrad:

    • rote Felder auf dem Glücksrad: $1$
    • Drehungen: $7$
    • erhoffte Gewinne: $3$
    $p = \dfrac{1}{4} = 0,\!25 \quad \vert \quad n = 7 \quad \vert \quad k=3$

    $\begin{array}{llllll} P_1 (X = 3) & = & \displaystyle \binom{7}{3} & \cdot & 0,\!25^{3} & \cdot & (1- 0,\!25)^{7-3} \\ \\ & = & 35 & \cdot & 0,\!015625 & \cdot & 0,\!31640625\\ & \approx & 0,\!173 \\ & = & \color{#99CC00}{17,\!3 \,\%} \end{array}$

    Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit $P_1 (X = 3)$ gerundet $17,\!3$ Prozent.

    Nebenrechnung:

    $\displaystyle \binom{7}{3} = \dfrac{7!}{3! \cdot (7-3)!} = \dfrac{5040}{6 \cdot 24} = \dfrac{5040}{144} = 35$

    Zweites Glücksrad:

    • rote Felder auf dem Glücksrad: $2$
    • Drehungen: $6$
    • erhoffte Gewinne: $4$
    $p = \dfrac{2}{4} = 0,\!5 \quad \vert \quad n = 6 \quad \vert\quad k=4$

    $\begin{array}{llllll} P_2 (X = 4) & = & \displaystyle \binom{6}{4} & \cdot & 0,\!5^{4} & \cdot & (1- 0,\!5)^{6-4} \\ \\ & = & 15 & \cdot & 0,\!0625 & \cdot & 0,\!25 \\ & \approx & 0,\!234 \\ & = & \color{#99CC00}{23,\!4 \,\%} \end{array}$

    Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit $P_2 (X = 4)$ gerundet $ 23,\!4$ Prozent.

    Nebenrechnung:

    $\displaystyle \binom{6}{4} = \frac{6!}{4! \cdot (6-4)!} = \frac{720}{24 \cdot 2} = \frac{720}{48} = 15$

    Drittes Glücksrad:

    • rote Felder auf dem Glücksrad: $3$
    • Drehungen: $8$
    • erhoffte Gewinne: $5$
    $p = \dfrac{3}{4} = 0,\!75 \quad \vert \quad n = 8 \quad \vert\quad k=5$

    $\begin{array}{llllll} P_3 (X = 5) & = & \displaystyle \binom{8}{5} & \cdot & 0,\!75^{5} & \cdot & (1- 0,\!75)^{8-5} \\ \\ & = & 56 & \cdot & 0,\!2373046875 & \cdot & 0,\!015625 \\ & \approx & 0,\!208 \\ & = & \color{#99CC00}{20,\!8 \,\%} \end{array}$

    Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit $P_3 (X = 5)$ gerundet $20,\!8$ Prozent.

    Nebenrechnung:

    $\displaystyle \binom{8}{5} = \frac{8!}{5! \cdot (8-5)!} = \frac{40320}{120 \cdot 6} = \frac{40320}{720} = 56$

    Viertes Glücksrad:

    • rote Felder auf dem Glücksrad: $2$
    • Drehungen: $9$
    • erhoffte Gewinne: $6$
    $p = \dfrac{2}{4} = 0,\!5 \quad \vert \quad n = 9 \quad \vert \quad k=6$

    $\begin{array}{llllll} P_4 (X = 6) & = & \displaystyle \binom{9}{6} & \cdot & 0,\!5^{6} & \cdot & (1- 0,\!5)^{9-6} \\ \\ & = & 84 & \cdot & 0,\!015625 & \cdot & 0,\!125 \\ & \approx & 0,\!164 \\ & = & \color{#99CC00}{16,\!4 \,\%} \end{array}$

    Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit $P_4 (X = 6) $ gerundet $16,\!4$ Prozent.

    Nebenrechnung:

    $\displaystyle \binom{9}{6} = \frac{9!}{6! \cdot (9-6)!} = \frac{362880}{720 \cdot 6} = \frac{362880}{4320} = 84$

    Fünftes Glücksrad:

    • rote Felder auf dem Glücksrad: $1$
    • Drehungen: $4$
    • erhoffte Gewinne: $2$
    $p = \dfrac{1}{4} = 0,\!25 \quad \vert \quad n = 4 \quad \vert \quad k=2$

    $\begin{array}{llllll} P_5 (X = 2) & = & \displaystyle \binom{4}{2} & \cdot & 0,\!25^{2} & \cdot & (1- 0,\!25)^{4-2} \\ \\ & = & 6 & \cdot & 0,\!0625 & \cdot & 0,\!5625 \\ & \approx & 0,\!211 \\ & = & \color{#99CC00}{21,\!1 \,\%} \end{array}$

    Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit $P_5 (X = 2)$ gerundet $21,\!1$ Prozent.

    Nebenrechnung:

    $\displaystyle \binom{4}{2} = \frac{4!}{2! \cdot (4-2)!} = \frac{24}{2 \cdot 2} = \frac{24}{4} = 6$

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