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Transkript Differentialquotient (2)

Hallo! Im letzten Film hast du mehrere Differenzenquotienten gesehen. Wir haben hier also eine Sekante durch die Funktion gelegt, haben die Steigung der Sekante bestimmt, das ist dieser Differenzenquotient. Mit dem Steigungsdreieck kann man also die Steigung bestimmen, wenn man x-Differenz durch y-Differenz teilt. Dann haben wir diesen Punkt hier immer weiter an diesen roten Punkt herangehen lassen. Wir haben dann mehrere Sekantensteigungen gehabt, die also immer größer werden und haben gesagt der kleinste Wert der durch diesen Prozess der Differenzenquotienten und Sekantensteigungen nicht erreicht werden kann, ist der Grenzwert und das ist der Differentialquotient.

Wir haben das von der linken Seite her gemacht, aber es geht auch von der rechten Seite, denn ich könnte z.B. diesen roten Punkt hier wählen und eine Sekante durch diesen Punkt wählen und durch den hier. Das soll jetzt mal der 2. Punkt sein, dann kann ich die Steigung dieser Sekante bestimmen und das sieht dann ungefähr so aus.

Das ist ein Steigungsdreieck. Das ist die Differenz der beiden y-Werte, dieser y-Wert minus diesen y-Wert ergibt diese Differenz. Dieser x-Wert minus dieser x-Wert ergibt diese Differenz hier. Y-Differenz/x-Differenz, das ist die Steigung dieser Sekante. Das ist der Differenzenquotient und der  Differenzenquotient gibt die Steigung an. Es geht ja eigentlich darum die Steigung in diesem einzigen roten Punkt zu finden. Wir haben schon gesagt, das müsste rein intuitiv gesehen die Tangentensteigung sein. Die Tangente kann man aber nicht so einfach bestimmen, man kann sie zwar da hinlegen, also eine Gerade die so ähnlich ist wie die Tangente da hinlegen. Um es ganz genau auszurechnen braucht man aber diese Sekantensteigung und das ist eben ein etwas komplizierterer Prozess als das einfach nur auszurechnen. Aber es geht eben nicht anders.

Also: Wir haben ja schon angefangen mit dieser Sekantensteigung. Ich kann jetzt den 2. Punkt dieser Sekante hierhin legen und wieder die Steigung ausrechnen. Das sieht dann also ungefähr so aus. Dann kann ich ein neues Steigungsdreieck bilden, das ist jetzt dieses hier und wie schon im letzten Film kann ich jetzt diesen 2. Punkt immer näher an diesen 1. Punkt heranrücken und dann bekomme ich also immer weitere, neue Steigungsdreiecke. Diese Sekantensteigeungen werden also immer ähnlicher dieser Tangentensteigung. Da kriegt man dann dieses bezeichnende Bild, wenn man das umdreht hat man fast eine Fledermaus vielleicht, oder wie man das sehen will, oder vielleicht eine Spinne mit vielen Beinen.

Das hier symbolisiert die vielen Sekantensteigungen. Diese Steigungsdreiecke, die man da jeweils bekommt, sind die Differenzenquotienten, weil ich hier immer die Differenz der y-Werte geteilt durch die Differenz der x-Werte ausrechne. Diese Differenzenquotienten bilden eine fallende Folge von Zahlen. Sie haben einen Grenzwert und der Grenzwert dieser fallenden Folge von Zahlen ist der größte Grenzwert, den ich durch diese Folge nicht erreichen kann. Wenn ich nämlich die Tangentensteigung haben will, habe ich keine 2 Punkte zwischen denen ich das Steigungsdreieck machen kann, ich kann die Tangentensteigung mit diesen Differenzenquotienten nicht erreichen und die größte Zahl, die ich so nicht erreichen kann ist der Grenzwert und der heißt Differentialquotient.

Jetzt haben wir den Differentialquotienten also rein optisch bestimmt. Von der rechten Seite und von der linken Seite. Wir gehen jetzt also davon aus, auch wieder aus rein optischen Gründen, weil die Funktion so schön rund ist, dass beide übereinstimmen, also der Differenzenquotient von der Richtung und von der Richtung werden sich irgendwann, wenn das hier immer weitergeht, hier treffen und eine einzige Tangente bilden. Die wird so aussehen und das ist dann komplett und vollständig  der Differentialquotient. Das ist die Steigung dieser Funktion in diesem einen Punkt. Warum man das also von beiden Seiten machen muss, das zeige ich euch im nächsten Film. Bis dahin, Tschüß!

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