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Transkript Differentialquotient mit Eisbären

Hallo, im letzten Film habe ich gesagt, dass man den linksseitigen Grenzwert bilden kann und den rechtsseitigen und das man im Allgemeinen auch beide bilden muss, um einen vernünftigen Differenzialquotienten zu bekommen und warum das nötig ist, das möchte ich hier mal mit diesen beiden Helfern zeigen. Hier habe ich mal einen Weg aufgemalt, den diese beiden langgehen sollen. Der Treffpunkt der beiden ist hier und da hat der Weg einen Knick. Was passiert nun, wenn der eine Eisbär losläuft, der ist noch jung und guckt natürlich nicht ordentlich auf den Weg beim Laufen, Sondern er guckt gleich auf den Treffpunkt, das heißt, er guckt also in Richtung dieser Sekantensteigung. Wenn er weiterläuft, dann ändert sich hier die Sekantensteigung und je näher er zu dem Treffpunkt kommt, desto mehr kommt er zu dem Grenzwert der Sekantensteigung mit seiner Blickrichtung. Hier haben wir einen Grenzwert der Sekantensteigung und dort endet er und er ist am Treffpunkt. Von der anderen Seite sieht das auch so aus, auch dieser Bär läuft hier diesen Weg entlang guckt natürlich nicht tangential zum Weg nach vorne, sondern guckt schon in Richtung Treffpunkt. Läuft also so diesen Weg entlang. Er guckt auch in Richtung Sekantensteigung oder in Richtung dieser Sekante und kommt dann hier an dem Treffpunkt an. Nun was passiert an dieser Ecke? Die beiden treffen sich, sie können sich auch die Nasen knuddeln, aber sie können sich dabei nicht in die Augen sehen, weil nämlich die beide Grenzwerte der Sekantensteigungen unterschiedlich sind. Wenn sie sich hier treffen würden, auf dem runden Stück, und aufeinander zulaufen würden, dann würden sie hier, wenn sie sich an der Stelle treffen würden, könnten sie sich die Nasen knuddeln und sich auch in die Augen sehen. Sie würden also genau auf einer Linie voreinander zum Stehen kommen. Das wäre hier auf diesem runden Stück genauso. Sie würden auch genau in genau einer Linie hier zum Stehen kommen voreinander. Nur an dieser Ecke ist das halt anders. Wenn sie da jetzt entlanglaufen, hier können sie sich nicht in die Augen sehen. Na ja, sie können sich ja umdrehen, aber für die Mathematik machen sie das jetzt nicht. Rein mathematisch sieht das also so aus, das wir hier an dieser Ecke mehrere Geraden haben, die diese Ecke an einem Punkt berühren und diese Geraden haben unterschiedliche Steigungen und deshalb kann man nicht eindeutig sagen, welche Steigung an diesem Punkt der Fall sein soll und deshalb sagt man also das dieser Differenzialquotient, also der Grenzwert der Steigungen, der Grenzwert der Sekantensteigungen nicht eindeutig existiert. Wir haben keinen eindeutigen Differenzialquotienten und deshalb haben wir auch keine eindeutige Steigung an diesem Punkt. Wenn man also nicht weiß, ob die Funktion eine Ecke hat oder nicht, dann müsste man immer von beiden Seiten die Sekantensteigungen bilden, von beiden den Grenzwert bilden und dann gucken, ob diese beiden Grenzwerte unterschiedlich sind oder ob sie beide gleich sind. Erst wenn sie gleich sind, hat man also richtig den Differenzialquotienten bestimmen, also immer von der linken Seite gucken und von der rechten. Wenn es übereinstimmt, dann freuen sich auch die Bären. Ich denke, damit ist alles gesagt. Wir alle drei sagen tschüss. Bis zum nächsten Mal.

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1 Kommentar
  1. Default

    Vielen Dank, sehr anschaulich erklärt. Nur eine Frage: wie sähe die Kurve aus, wenn die Grenzwerte von links und rechts nicht übereinstimmen. Ist es dann gar keine Kurve? Vielen Dank!

    Von Elisabeth 1, vor mehr als 3 Jahren