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Transkript Exponentielle Wachstumsfunktionen – Extrema bestimmen (1)

Hallo wir haben hier eine Funktion f(x) = 0,1x2×e-0,2x. Da ist der Graph der Funktion einmal in schön gezeichnet vom Computer nicht von mir und gefragt ist bestimmen Sie Art und Lage der Extrempunkte im offenen Intervall, offen unterstrichen, im offenen Intervall von 0 bis ?. Warum das offenen Intervall oder man könnte auch sagen auf R + ohne 0, Definitionsbereich ist zwar R+ und 0, also alle positiven reellen Zahlen und die 0 dazu, aber wir möchten echte Extrema haben und nicht nur rechtsseitige Extrema, Randextrema, sondern Extrema, bei denen man von beiden Seiten auch wirklich annähern kann und deshalb sind die Extrema auf dem offenen Intervall von 0 bis +? gesucht.   Was kann man da machen? Zunächst einmal braucht man die erste Ableitung f'(x). Es ist ein Produkt wir brauchen die Produktregel dafür. Ich leite den ersten Faktor ab 0,1×2x. e-0,2x das ist der zweite Faktor, den muss ich einfach dahinter schrieben, dann haben wir + und der erste Faktor wird hingeschrieben 0,1x2, e-0,2x ableiten, nach Kettenregel also. Innere Ableitung das ist -(0,2)×e-0,2x. Das kann man zusammenfassen, mit dem Distributivgesetz, und zwar möchte ich ordnen nach den Exponenten des x in absteigender Reihenfolge f'(x)=(-0,02x2+0,2x)e-0,2x.   Dann möchte ich das Ganze = 0 setzen, denn Extrema können sich nur bei Nullstellen der ersten Ableitung befinden, dann brauch ich das gar nicht alles noch mal hinschrieben, denn ich seh ja sofort, dass e-0,2x sowieso nicht 0 wird, wenn dann wird höchstens die Klammer 0 und die darf ich gleich mal mit 50 multiplizieren. Wenn ich das jetzt gleichsetzte, dann müsste ich also hier auf beiden Seiten mit 50 multiplizieren hier steht ja -1/50 also werd ich gleich mit -50 multiplizieren und dann erhalte ich also 0=x2-10x.   Da die Gleichung nun so aussieht, sehe ich auch gleich, dass ich ausklammern kann, und zwar ein x, dann haben wir x(x-10) und damit ist klar, dass eine Nullstelle bei x=0 ist und eine andere Nullstelle ist bei x=10, denn das ist ein Produkt, ein Produkt wird genau dann 0, wenn einer der Faktoren 0 wird. x=0 wollten wir nicht haben, denn wir wollten ja die Extrema auf dem offenen Intervall von 0 bis +? untersuchen und da gehört die 0 eben nicht dazu. Die 0 gehört nicht zum offenen Intervall, das heißt diese eine Nullstelle hier bei 0 brauchen wir nicht mehr, die einzig interessante Nullstelle für uns ist die bei 10. Ich mach jetzt die zweite Ableitung. Ich hab jetzt 2 Möglichkeiten, ich könnte also mit dem Vorzeichenwechselkriterium arbeiten oder mit der zweiten Ableitung für die hinreichende Bedingung.   Ich werde die zweite Ableitung nehmen und zwar deshalb, weil ich die wahrscheinlich noch brauche für die Wendepunkte, meistens wird nach Extrema gefragt und dann bekommt man irgendwann auch Wendepunkte.   Also ich mach die zweite Ableitung. Da ist die erste Ableitung, die kann ich jetzt wieder ableiten nach Produktregel. Ich stürze mich hier auf den ersten Faktor. f''(x) = (-0,04x+0,2)e-0,2x+ wir haben die Ableitung der Funktion e-0,2x, das hatten wir schon das ist -(0,2)×e-0,2x, das heißt ich muss den Faktor, der hier vorne steht noch mit -0,2 multiplizieren, das mach ich direkt, dann hab ich hier (0,004x2-0,04x)e-0,2x und dann kann ich natürlich die beiden zusammenfassen. Dann kommt Folgendes heraus, ich halte mich wieder an die höchsten Exponenten von x f''(x) = (0,004x2-0,08x+0,2)e-0,2x.   Nachdem jetzt die zweite Ableitung gelungen ist mach ich den Rest im zweiten Teil bis dahin viel Spaß, tschüss.

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3 Kommentare
  1. Img 20151011 002133

    Danke. es hat sich im unterricht geklärt. man hätte polynomdivision und pq-formel nehmen müssen :)

    Von Juliane G., vor fast 2 Jahren
  2. Sarah2

    @Ursusglinski: Am besten wendest du dich mit solchen Fragen direkt an den Fachchat, der täglich von 17-19 Uhr zu erreichen ist.

    Von Sarah Kriz, vor fast 2 Jahren
  3. Img 20151011 002133

    Also so wirklich hilft mir das jetzt nicht bei meinem problem weiter. Dieses liegt beim 0 setzen. Ich habe 0,5•x^3-x•^2+1/8•x+3/8 abgeleitet und habe die erste ableitung f ' (x)=1,5•x^2-2x+1/8
    0 gesetzt. Aber egal wie ich dividiere, hin und her schiebe, ich bekomme kein x alleine auf eine seite und somit auch kein Ergebnis... Können Sie mir bitte helfen!? falls Sie das noch heite lesen sollten ;)
    danke

    Von Juliane G., vor fast 2 Jahren
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