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Transkript Exponentielle Wachstumsfunktionen – Flächeninhalte unter Funktionsgraphen (1)

Hallo. Wir haben diese Funktion und wir haben diesen Graphen und es geht darum, die tatsächliche Größe dessen was wächst, abzuschätzen. Diese Funktion gibt ja die Wachstumsgeschwindigkeit an, dieser Graph. Und man soll mithilfe des Graphen abschätzen, wie groß das, was wächst, bei uns der Kuchen, tatsächlich ist. Und das geht folgendermaßen: Also es gibt hier eine zentrale Idee, die abgefragt wird, ich zeichne dafür ein Hilfskoordinatensystem. Gefragt wird in der folgenden Form: "Zeigen Sie, dass der Kuchen nach 20min oder 10min mindestens die Höhe soundso hat", oder "Zeigen Sie, dass der Kuchen die Höhe soundso überschritten hat", das wäre also eine Abschätzung nach unten. Gefragt wird in der folgenden Form: "Zeigen Sie, dass der Kuchen nach 20min oder 10min mindestens die Höhe soundso hat", oder "Zeigen Sie, dass der Kuchen die Höhe soundso unterschritten hat", das wäre also eine Abschätzung nach unten. Es kann auch vorkommen, dass gefragt wird: "Zeigen Sie, dass der Kuchen höchstens so und so hoch sein kann", oder "...dass er eine bestimmte Höhe in dieser Zeit nicht erreicht". Und da sollst Du eben ein grafisches Abschätzverfahren einsetzen. Es kann auch direkt danach gefragt werden: "Beschreiben Sie ein Verfahren, wie man aus dieser Wachstumsfunktion auf die tatsächliche Größe des Kuchens schließen kann". Und das möchte ich jetzt mal zeigen. Wenn es also um das Intervall von 0-10 geht, kann man folgendes machen. Ich möchte das mal in drei Teile teilen, habe ich mir jetzt so ausgedacht. Drei Teile, es können auch mehr Teile sein, je nachdem was gefragt ist, das siehst Du an der Aufgabenstellung selber. Ich habe also drei fast gleich große Intervalle, ich zeichne mal die Striche hier nach oben weg, ist alles ein bisschen schief, aber egal. Wenn ich jetzt wissen möchte: Um wie viel ist der Kuchen im Zeitraum gewachsen, das hier ist 4, das ist 8 und das ist 10, weil das nicht ganz gleich verteilt ist. Die Einteilung ist egal, wichtig ist die Idee dabei. Also, wenn ich wissen möchte: Um wie viel ist der Kuchen gewachsen, dann nehme ich hier so einen Mittelwert raus, da ungefähr, das ist das durchschnittliche Wachstum behaupte ich. Und um zu wissen, wie groß der Kuchen wirklich ist, nehme ich die durchschnittliche Wachstumshöhe, ich sage mal 0,2mm/min×4min. Dann kriege ich raus, um wie viel der Kuchen gewachsen ist. 0,8mm wächst er in den ersten 4min. In den zweiten 4min könnte ich auch hier sowas raus nehmen, einfach einen Mittelwert nehmen, rein grafisch, und dann könnte ich sagen, das ist jetzt, geraten, bei 0,9. Also in den darauf folgenden 4min ist er ca 0,9mm/min gewachsen. Wäre möglich, vielleicht ergibt sich diese Zahl aus der Aufgabe, darauf kommt es nicht an. Und dann muss ich rechnen: 4×0,9.  Das schreibe ich hier noch mal hin. Da unten habe ich gerechnet 4×0,2. Dann muss ich noch rechnen +4×0,9 und dann passt das andere nicht mehr hin, hier muss ich ja auch noch einen Wert angeben. Und der mittlere Wert des Wachstums soll in den letzten Minuten 1,3mm/min sein. Dann wächst er also in den 2min hier noch mal um ungefähr 1,3mm. Das kann ich auch eben mal ausrechnen, selbstverständlich ohne dieses Ding hier, das braucht man nun wirklich nicht. Dann steht hier 0,8+3,6+2,6=7. Aber das kann man ruhig in der Klausur im Kopf rechnen, da behält man den Überblick über die Zahlen, die man verwendet. Wenn Du das also so schon angelegt hast, dann fällt Dir ja auf, dass Du die Flächen dieser Rechtecke ausgerechnet hast. Das sollte Dir auffallen dabei, das sind die Flächen der Rechtecke, die Du ausgerechnet hast. Und das erinnert Dich natürlich an die Definition des Integrals. Wahrscheinlich hast Du das über Ober- und Untersummen gemacht, das war das Riemann Integral, das Du gelernt hast. Das fing so ungefähr an und hier ist natürlich klar, dass es demnächst um Integration geht, diese Idee soll hier vorbereitet werden. Allgemein gesprochen: Wenn Du eine Wachstumsfunktion integrierst, erhältst Du die tatsächliche Größe, falls Du die Anfangshöhe dazuaddierst. Das habe ich hier nicht gemacht, ich habe nur behauptet: In den ersten 10min ist der Kuchen um ca 7mm gewachsen. Das ist nur meine Behauptung, ich sage nicht, wie hoch er tatsächlich ist. Tatsächlich wäre er natürlich 2,7cm hoch nach den ersten 10min, weil ich diese 2cm zu den 7mm noch dazuaddieren muss. Es geht also darum, durch Integration, durch Flächenbestimmung, auf die tatsächliche Größe dessen was wächst, zu schließen. Hier angedeutet durch das Nachahmen der Definition des Integrals, denn das ist sehr locker interpretiert. Falls Du das nach oben abschätzen solltest, oder falls das gefragt ist, dann nimmst Du einfach aus diesen Intervallen immer den größten Wert und berechnest diese Flächen hier. Da kannst Du auch den größten Wert nehmen und diese Fläche berechnen. Also diese ganze Fläche hier, auch den höchsten Wert, und dann kommt die Fläche noch dazu. Falls Du das nach oben abschätzen solltest, oder falls das gefragt ist, dann nimmst Du einfach aus diesen Intervallen immer den größten Wert und berechnest diese Flächen hier. Ganz genau ist das nicht. Aber so wird dann abgeschätzt und das wird oft im Abitur gefragt. Danach kommt meistens eine Aufgabe wie: "Zeigen Sie, dass das hier eine Stammfunktion ist." Und da weißt Du dann genau: Jetzt gehts ums Integrieren und gleich muss ich die tatsächliche Größe mithilfe des Integrals bestimmen, also die echte, genaue, tatsächliche Größe. Mache ich im nächsten Teil. Bis dahin viel Spaß. Tschüss.

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