Advent, Advent, 1 Monat weihnachtliche Laufzeit geschenkt.

Nicht bis zur Bescherung warten, Aktion nur gültig bis zum 18.12.2016!

Textversion des Videos

Transkript Exponentielle Wachstumsfunktionen – Graphen (2)

Hallo! Wir haben eine Funktion, die gegeben ist durch folgende Funktionsgleichung, die hier oben steht, nämlich f(x)=0,1×x2×e-0,2×x. Wir haben auch einen Graphen dazu. Hier habe ich den mal vom Computer ausdrucken lassen. Das ist also hier der Graph in schön. Ich habe ihn da noch mal hinskizziert, so zum Reinschmieren, sage ich mal zum Reinmalen. Ich habe auch gleich mal hier aufgeschrieben, was so ungefähr das hier oben ist. Also, es ist ein bisschen kleiner als 1,4. Das kann man hier ablesen. Ich habe es hier noch mal hingeschrieben, damit du das sehen kannst. Hier ist ungefähr 10, da ist 10 ungefähr. Das kannst du jetzt nicht sehen, deshalb steht es da noch mal. Das ist also der Graph. Wir wissen weiterhin, dass die Einheiten auf der x-Achse Zehntelsekunden sind, also hier 1/10 s bedeutet natürlich Zehntelsekunden. Die Einheiten auf der y-Achse sind Zentimeter pro Zehntelsekunde. Die Definitionsmenge besteht aus allen positiven Zahlen inklusive der 0, also R+0, so nennt man das. Es sind also alle positiven Zahlen und die 0 dazu oder alle nichtnegativen Zahlen. Diese Funktion selber ist natürlich auch noch für negative x definiert, das heißt nicht, dass man nichts einsetzen, aber hier in dieser Aufgabenstellung besteht der Definitionsbereich eben aus allen nichtnegativen Zahlen. Die anderen negativen interessieren uns hier nicht. Gegeben ist auch, dass es sich bei dieser Funktion, die hier abgebildet ist, um die näherungsweise Beschreibung der Wachstumsgeschwindigkeit eines Luftballons während des Aufblasvorgangs handelt. Abgebildet ist also ungefähr die Wachstumsgeschwindigkeit eines Luftballons, Längenwachstum ist gemeint. Während des Aufblasens - ist klar, natürlich nicht, wenn der Luftballon schon aufgeblasen ist. Gefragt ist nun, also die Aufgabe ist: Beschreiben sie grob den Verlauf des Graphen im Sachzusammenhang. Ja, was ist da jetzt zu tun? Zunächst mal wird hier gefragt, ob du dir vorstellen kannst, was so ein Graph bedeutet, was diese Zahlen bedeuten, was diese Wachstumsgeschwindigkeit bedeutet und, dass du das irgendwie auch interpretieren kannst. Das ist hier quasi die Aufgabenstellung, das ist gefragt. Was machst du als Erstes, wenn du solche Aufgaben bekommst, die also so ein bisschen Sachzusammenhang haben? Du versuchst dir mal vorzustellen, wie das denn überhaupt aussehen könnte. Da es sich hier um Luftballons handelt, habe ich da natürlich mal was vorbereitet. Ich habe einen Luftballon und ich werde jetzt diesen Luftballon aufblasen und du könntest dann auf die Wachstumsgeschwindigkeit des Längenwachstums achten dabei und mal gucken, ob es sich ungefähr hier so verhält, wie das hier aufgezeichnet ist. Ich werde nicht ganz exakt diesen Verlauf wiedergeben können natürlich, aber es ist sicher denkbar, dass man einen Luftballon so aufblasen kann, dass dieser Graph hier die Längenwachstumsgeschwindigkeit wiedergibt. Also, los geht es. Das ist es noch nicht. Das ist jetzt quasi die Ausganglage und jetzt fange ich an. Das ist der Luftballon, der aufgeblasene Luftballon, und hier ist jetzt das Längenwachstum eigentlich nicht mehr da. Also der Ballon wächst ja nicht mehr. Vielleicht mache ich es noch mal vor. Ich habe ja genügend. Also, Ausgangslage ist das hier. Das ist noch kein Längenwachstum. Ich glaube, ich muss mal etwas kräftiger reinpusten, damit das hier mit diesem Graphen ungefähr hinkommt. Mehr Pusten bringt nicht. Ich habe auch gerade nicht mehr so viel Luft in der Lunge. So, das ist also der aufgeblasene Luftballon, das kannst du erkennen. Was wollte ich jetzt eigentlich sagen? Wie ist jetzt die Aufgabenstellung hier zu bearbeiten? Also, wir können sagen, dass die Wachstumsgeschwindigkeit zum Zeitpunkt 0 bei 0 ist, laut Graph. Wir können zwar solche Sachen grundsätzlich nicht vom Graphen ablesen, also Funktionswerte genau ablesen geht normalerweise nicht, aber wenn hier der Graph schon so gezeichnet ist, und du kannst es ja auch leicht sehen, wenn du für x 0 einsetzt, dann kommt 0 raus, also da darf man ruhig sicher sein. Du wirst da nicht veräppelt mit solchen Aufgaben. Wenn das so aussieht, als ob der Graph durch den Nullpunkt geht, dann tut er das auch. Es sei denn, es steht noch da, dass du genau den Funktionswert ausrechnen sollst an der Stelle, der dann vielleicht nicht ganz 0 ist. Aber wenn man das grob beschreiben soll: Zum Zeitpunkt 0 ist die Wachstumsgeschwindigkeit 0. Sie steigt dann an in der ersten Sekunde - das sind ja hier 10 Zehntelsekunden - also in der ersten Sekunde steigt die Wachstumsgeschwindigkeit auf ein Maximum an. Das Maximum liegt etwas unterhalb von 1,4 cm/(1/10) s. Danach fällt die Wachstumsgeschwindigkeit wieder, der Ballon wächst also langsamer. Er wird zwar noch größer, wächst aber langsamer. Das ist eben auch wichtig, dass du hier erkennst, das ist die Wachstumsgeschwindigkeit, und wenn die Geschwindigkeit des Wachstums runter geht, also weniger wird, dann heißt das nicht, dass der Ballon kleiner wird, sondern nur, dass sich die Längenzunahme verlangsamt. Das ist eben auch wichtig hier, dass du das zeigen kannst, dass du das begriffen hast. Also, die Wachstumsgeschwindigkeit fällt in den nächsten wenigen Sekunden, kann man vielleicht so sagen. Bis hier sind es ja 4 s bis zum x-Wert 40, das ist ja in Zehntelsekunden gemessen, da steht es. Danach wächst der Ballon kaum noch oder sehr wenig, wie man das immer sagen will. Du darfst hier auch noch sagen, dass der Graph im ersten Quadranten des Koordinatensystems verläuft. Nur noch mal zur Erinnerung: y-Achse, x-Achse, 1. Quadrant, 2. Quadrant, 3.Quadrant, 4.Quadrant. Hier verläuft die Funktion, das ist der 1. Quadrant. Die Funktionswerte sind durchweg positiv in diesem Definitionsbereich, was dann bedeutet, dass der Luftballon ständig wächst. Das ist jetzt zwar nicht ganz richtig, aber wir haben ja gesagt näherungsweise oder es steht ja in der Aufgabenstellung drin, dass der Graph also näherungsweise das Längenwachstum beschreibt. Und damit würde ich sagen, mehr kann man da nicht rausholen, wenn man eben vom Graphen her die ganze Sache hier beschreiben soll im Zusammenhang mit dem Luftballon. Dann war es das bis dahin. Viel Spaß. Bis bald. Tschüss.

Informationen zum Video
Alle Videos & Übungen im Thema Exponentielle Wachstumsfunktionen – Kurvendiskussion »