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Transkript Exponentielle Wachstumsfunktionen – Grenzverhalten

Hallo! Wir wissen schon, wie der Graph sich verhält an den Wendepunkten und den Maxima und Minima, soweit vorhanden, und wir möchten noch beurteilen, wie realistisch die Längenwachstumsgeschwindigkeit des Ballons für große x-Werte ist, die die Funktion hier angibt. Und ich möchte auf eine Sache hinweisen, die oft durcheinander geschmissen wird. Wir haben hier zwar die Situation, dass der Graph für große x-Werte oberhalb der x-Achse ist. Das bedeutet in diesem Fall, dass die Wachstumsgeschwindigkeit zwar immer kleiner wird, aber doch immer vorhanden und immer positiv ist. Das kann man sich hier auch mal vorstellen, wenn man den Funktionsterm ein bisschen durchgeht. Man sieht: Für große x-Werte kommen zwar kleine y-Werte heraus, aber die y-Werte sind positiv. Das bedeutet laut Graph zwar, dass der Ballon immer wächst, das bedeutet aber nicht, dass er unendlich groß wird. Es ist auch möglich, dass es etwas immer größer wird, ohne, dass er unendlich groß wird. Der Wachstumszeitraum ist unbegrenzt, etwas wächst immer weiter, ohne aber unendlich groß zu werden. Das wollte ich noch mal sagen, da es öfters durcheinander geschmissen wird. Das muss hier also nicht der Fall sein. Also solltest du dann schreiben: Laut Graph muss der Ballon unendlich groß werden, das ist unrealistisch -  leider verloren, das ist hier in dem Fall nicht richtig. Aber wir haben ja schon geklärt, oder ich habe es schon gesagt, dass der Graph immer oberhalb der x-Achse ist, die Funktionswerte werden für große x nicht 0, sie bleiben positiv. Nun kann man auf der einen Seite argumentieren, da dies so ist, müsste über eine unendlich langen Zeitraum, Luft in diesen Ballon strömen. Aber wie du ja bereits gesehen hast, geht das nicht. Ich habe auch nicht so viel Luft. Ich müsste dann höchstens noch mal Luft holen und dann den Ballon weiter aufblasen. Dann würde die Wachstumsgeschwindigkeit aber nicht gegen 0 gehen, sondern sie würde sich dann wieder erhöhen. Und der Ballon würde auch irgendwann platzen und dann stimmt das sowieso nicht mehr. Also wenn ich nur einen Atemzug, nur ein Lungenvolumen da hinein puste, dann hört das Wachstum irgendwann auf, es wird geringer, weil ich dann keine Luft mehr habe. Und von daher ist das, was diese Funktion angibt, also nicht ganz richtig. Denn laut Funktion müsste der Ballon ja immer wachsen, immer weniger wachsen und das über einen unbegrenzten Zeitraum hinaus. Das wäre also eine richtige Antwort. Auf der anderen Seite kann man aber auch sagen, dass in der Aufgabenstellung ja stand, dass dieser Graph hier näherungsweise die Längenwachstumsgeschwindigkeit eines Luftballons wiedergibt. Natürlich kann man einen Luftballon nicht so genau aufblasen, dass das hier 100%ig übereinstimmt. Wir wissen, dass die Funktionswerte ziemlich schnell - ich sag mal nach wenigen Sekunden - fast 0 sind. Also, sie sind mit vernünftigen Mitteln, wenn man das jetzt mal auf den Ballons bezieht,  vom Wachstum 0 nicht mehr zu unterscheiden und insofern hat dieser Graph doch recht. Zwar sind die Werte immer oberhalb der x-Achse, das ist aber eigentlich nur theoretisch interessant. Sie werden so schnell, so klein diese Werte, dass man von einem 0-Wachstum sprechen kann. Und dann könnte man sagen, das ist so weit realistisch. Wenn man natürlich bedenkt, dass hier bei einer Zeitachse, die gegeben ist, die bis in die Unendlichkeit geht - das ist natürlich klar, dass kein Ballon sich unendlich lange hält. Ich weiß nicht, ob man das dazuschreiben muss. Auf jeden Fall ist wichtig, dass du hier berücksichtigst, dass die Wachstumsgeschwindigkeit gegen 0 geht. Und ob du das nun so, oder so herum ausdrückst, ist egal. Also du musst zeigen, dass du diesen Zusammenhang begriffen hast. Beide Antworten stellen das sicher. Ich hoffe, du siehst das genauso. Ich bin damit fertig. Bis bald, tschüss!  

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