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Transkript Exponentielle Wachstumsfunktionen – Notwendige und hinreichende Bedingung für Extrema

Hallo, als Nächstes kommt die Frage zu welchem Zeitpunkt ist das Wachstum des Kuchens am größten. Hier ist ein rechnerischer Nachweis erforderlich und du hast wahrscheinlich schon darauf gewartet, nicht, irgendwann muss doch mal eine Ableitung kommen oder ein Exrremum, das ist es, hier ist es. Natürlich, wenn man sagen soll, hier ist das Wachstum am größten, dann ist danach gefragt, rechnet das Extremum dieser Wachstumsfunktion aus. Und ich möchte jetzt mal ein bisschen Platz schaffen hier. Wir sehen ja, es ist wohl bei 10, also bei Beendigung der 10 Minuten, da wird wohl das Extremum sein und das müssen wir jetzt ausrechnen. Und zwar, altes Lied mit der hinreichenden Bedingung, hier reicht natürlich nicht die notwendige Bedingung, die ist ja nur notwendig, die hinreichende Bedingung ist gefragt. Das bedeutet wir müssen, warum geht der Stift nicht auf, keine Ahnung. Wir müssen also die 1. Ableitung bestimmen. Dieser Funktion hier. Und die 1. Ableitung muss an dieser Stelle, die wir dann ausrechne wollen =0 sein und die 2. Ableitung muss an derselben Stelle ?0 sein, so kann man die hinreichende Bedingung formulieren. Diese beiden Aussagen gehören zur hinreichenden Bedingung. Und hier ist noch angegeben die 2. Ableitung dieser Funktion. Ich les das mal eben vor: f´´(x)=(0,004x2-0,08x+0,2)e-0,2x. Das ist durchaus üblich, dass so eine 2. Ableitung angegeben ist, denn man will nicht unbedingt testen, ob du Hunderte von Ableitungen machen kannst, das ist sowieso relativ einfach Ableitungen zu machen, das muss nicht getestet werden. Es geht hier nur darum, nicht so viele Ableitungen zu machen, sondern eine zu machen, dass du einmal zeigst, ich habe dieses Standardverfahren gelernt, ich weiß Bescheid. Diese Funktion ist abzuleiten und dann darfst du hier bemerken, diese Funktion also, du darfst bemerken, dass es sich um ein Produkt handelt. Du kannst also, die Produktregel anwenden, ich schreib sie noch mal eben auf. Die solltest du im Kopf haben, wenn du also 2 Funktionen hast, die sich zusammensetzen aus u und v und die beiden werden multipliziert, das ist ein Multiplikationszeichen. Dann ist die Ableitung: u´×v+u×v´, also diese Regel musst du hier anwenden und du darfst hier bemerken, sinnvollerweise ist 0,1×x2 hier der erste Teil, der 1. Faktor der Funktion. Das ist der 2. Faktor e-0,2x. Damit haben wir also die Regeln zusammen, auch die hinreichende Bedingung und damit kann es mit dem Ableiten dann richtig losgehen und ja, das zeig ich dann im nächsten Teil. Bis dahin, du kannst sie ja schon einmal selber machen. Mach es erst selber, guck dann, ob du richtig gerechnet hast, bis dahin, tschüss.

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