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Transkript Exponentielle Wachstumsfunktionen – Uneigentliche Integrale (2)

Hallo, wir haben eine Funktion, eine Stammfunktion, einen Graphen und wir suchen hier im positiven Teil der x-Achse bzw. im nicht negativen Teil der x-Achse, die 0 soll mit dazugehören. Auf diesem Teil der x-Achse suchen wir also in diesem Ebreich die Fläche zwischen Graph und x-Achse, die ist jetzt zu bestimmen. Was kann man da machen? Es schreit quasi nach dem uneigentlichen Integral von 0 bis unendlich und viel mehr wird hier auch nicht abgefragt. Eine Stammfunktion ist ja schon gegeben, integrieren musst Du also nicht mehr. Jetzt ist nur noch interessant: Weißt Du, was ein uneigentliches Integral ist und wie man es aufschreibt? Man kann das so aufschreiben. Wir nehmen den Grenzwert von klein a, das ist hier ein kleines a bis plus unendlich, wenn nichts weiter da steht, ist immer plus unendlich gemeint, also lim(a) gegen unendlich des Integrals von 0 bis a der Funktion f(x)dx. Und das kann man jetzt natürlich mit dem Hauptsatz wieder machen. Wir suchen also den Grenzwert von a gegen unendlich von F[x] in den Grenzen von 0 bis a. Und da möchte ich jetzt einfach mal F einsetzen. So was passiert dann? Ich kann es hier einfach einsetzen, ich setze a ein und bekomme dann den limes von a gegen unendlich. Und zwar von (-0,5a×2-5a-25)e^×-0,2×a. Und das entsteht hier also, wenn ich a einsetze, jetzt muss ich noch rechnen minus das Ganze, wenn ich 0 einsetze, die 0 muss auch noch eingesetzt werden. Und das seh ich so, wenn ich hier 0 einsetze, dann steht da e0, das ist 1, hier kommt 0 raus, da kommt 0 raus. -25 bleibt übrig, minus mal minus ergibt plus, hier steht also letzten Endes +25. Und das wollte ich eigentlich gar nicht hier haben, ich wollte das ein bisschen an der Seite haben, also schreibe ich einfach +25 hin, weil es nicht mehr ganz drauf gegangen ist. Denn ich möchte hier jetzt folgende Überlegung anstellen.  Wir haben hier einen Term, der sich irgendwie verhält, wenn die ganze Sache gegen, also wenn das a hier  gegen plus unendlich strebt. Was ist dazu zu sagen? Dieser Term hier wird gegen minus unendlich gehen. Also ich mach das hier jetzt mal ein bisschen salopp, nicht wahr, das wird in einigen Bundesländern so gemacht, deshalb mach ich das hier so vor. Als Mathematiker bin ich nicht so ganz glücklich damit, wäre eine ordentliche Grenzwertbetrachtung, ein richtiger Nachweis meiner Ansicht nach besser gewesen, aber so wird es behandelt und so zeige ich es hier eben auch.  Dieser Term ist ein quadratischer Term, das heißt das a2 wird irgendwann dominierend werden für genügend große a. Da steht hier also eine negative Zahl mal a2. Deshalb geht diese ganze Sache hier gegen -unendlich und dann haben wir noch hier diesen Term mit e hoch irgendwas. e hoch eine negative Zahl mal a. Wenn a gegen plus unendlich wird, dann geht dieser Exponent gegen minus unendlich. Und e hoch etwas das gegen minus unendlich geht, das geht gegen 0. Nun ist also die Frage, wohin geht das Produkt und da benutzt man einfach diese Hierarchie in den Funktionstypen. Wir wissen, dass Exponentialfunktionen immer schneller gegen 0 oder plus unendlich oder minus unendlich gehen als alle ganzrationalen Funktionen. Hier, das ist ja ein Polynom, das ist ein Term einer ganzrationalen Funktion. Exponentialfunktionen sind immer schneller als diese und das führt also dazu, dass das Produkt gegen 0 geht. Und damit haben wir einen Grenzwert. Wir haben nämlich jetzt limes von a gegen unendlich, ja wie schreibe ich das am besten auf. Ich nehme das hier wieder, die eckige Klammer. F[x] in den Grenzen von 0 bis a und dieser Integral, dieser Grenzwert, dieses uneigentliche Integral, das ist gleich 25. Denn dieser gesamte Teil hier geht gegen 0, +25 bleibt übrig, deshalb ist hier dieser Grenzwert, also das uneigentliche Integral, gleich 25. Ich glaube, mehr ist nicht zu sagen. Viel Spaß damit, tschüss!

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