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Transkript Exponentielle Wachstumsfunktionen – Wachstum einer Größe und Größe selbst

Hallo!   Hier ist eine e-Funktion. Diese e-Funktion gibt die Geschwindigkeit des Wachstums eines Luftballons beim Aufblasen an. Hier ist diese Funktion dargestellt. Die Einheiten hier auf der x-Achse sind jeweils Zehntelsekunden, auf der y-Achse haben wir Zentimeter pro Zehntelsekunde, und eine Stammfunktion dieser e-Funktion hier ist auch schon gegeben und gefragt ist: Wie lang ist der Ballon nach 4 s des Aufblasens? Ich darf das noch mal vormachen, hoffe ich. So ist er am Anfang, das ist die Länge am Anfang. So. Größer wird er nicht mehr. Das ist ungefähr die Größe des Ballons nach 4 s. Ich habe jetzt ein bisschen länger gepustet, aber es hat sich ja eh nicht mehr viel getan, so am Ende. Und die Frage ist, warum machen wir das zum einen Mal so kompliziert? Wir könnten ja jetzt auch einfach nachmessen, wie lang dieses Ding hier ist. Ja, das machen wir nicht nur, weil wir jetzt hier in der Mathematik sind, sondern man macht ja solche Rechnungen um das zu verallgemeinern, und zwar auch auf Luftballons, die noch gar nicht existieren. Zum Beispiel könnte man, wenn man solche Rechnungen gemacht hat, die Frage beantworten: Welche Wachstumsgeschwindigkeiten müssten Luftballons haben, damit sie nach 4 s zum Beispiel 30 cm lang sind, und dann macht man ja Aussagen über Ballons, die es noch gar nicht gibt und insofern macht das schon Sinn, das einmal auch so kompliziert auszurechnen und nicht einfach einen Ballon zu nehmen und die Länge nachzumessen.   Es geht hier also grundsätzlich um das Integral. Wenn ich hier die Länge rauskriegen möchte und ich habe die Geschwindigkeit des Längenwachstums, dann muss ich das Integral bilden, also die Fläche unter dieser Kurve, das bestimmte Integral von 0 bis 40. Das gibt mir dann die Länge des Ballons an, wenn ich die Anfangslänge des Ballons noch dazu addiere. Wichtig hierbei ist, dass die Funktion am Nullpunkt beginnt. Das heißt nicht, dass der Ballon hier am Anfang keine Länge hat, sondern die Geschwindigkeit des Wachstums ist hier 0, das heißt nicht, dass der Ballon auch 0 cm lang ist. Wie das Integral berechnet wird, möchte ich in einem anderen Teil zeigen. Hier noch mal eben zur grundsätzlichen Überlegung: Warum ist die Fläche der Geschwindigkeitsfunktion die Länge beziehungsweise warum ist das die Strecke oder der Weg? Falls dir dieser Zusammenhang nicht mehr ganz geläufig sein sollte, möchte ich eine kleine Sache dazu noch zeigen. Ja, es gibt nicht viele Sachen, die du aus der Physik noch so im Kopf haben solltest, aber das ist eine davon. Deshalb sage ich noch mal kurz etwas dazu. Angenommen, du bewegst dich mit irgendeiner Geschwindigkeit, einer bestimmten konstanten Geschwindigkeit, eine gewisse Zeit lang. Zum Beispiel sage ich hier mal 10 km/h und das soll jetzt hier mal eine Stunde sein. Die wird ja meist mit h abgekürzt, dann mache ich das auch mal. Also diese Strecke hier, h, eine Stunde, ist so lang, das sind hier 10 km/h, das ist die Geschwindigkeit, mit der du dich 1 h lang bewegst. Es ist die Frage: Wie weit bist du dann gekommen? Antwort selbstverständlich: 10 km. Wie rechnest du das? Du rechnest einfach diese Strecke × diese Höhe, also du rechnest letzten Endes die Fläche aus, um auf die Anzahl der zurückgelegten km zu kommen. Angenommen, danach bewegst du dich mit 15 km/h jetzt nicht 1 h lang, sondern 2 h lang, wie weit bist du dann gekommen? Klarer Fall! 2×15 - pro Stunde hast du ja 15 km zurückgelegt, in 2 Stunden sind das dann 30 km. Was du hier letzten Endes berechnest, ist also hier diese Strecke 2×15. Das ist die Fläche zwischen Graph und x-Achse, die du damit ausrechnest und das kann man natürlich mit allen möglichen anderen Geschwindigkeiten auch machen, auch wenn diese Streckenabschnitte kürzer sind, dann haben wir hier 40 Minuten × 17 km/h, und so weiter. Auch wenn das kleiner wird, und ich glaube, wenn du die Abschnitte auf der x-Achse immer kleiner machst, dann erinnerst du dich wieder an die Definition des Integrals mit der Ober- und der Untersumme. Da hast du so was ähnlich gemacht. Ja, das nur zur Erinnerung. Also, immer, wenn du eine Geschwindigkeitsfunktion hast und die jetzt quasi mit der x-Achse multipliziert, ganz salopp gesagt, dann kriegst du die Länge. Genauer geht es natürlich mit dem Integral. Letzten Endes musst du die Fläche zwischen Graph und x-Achse bestimmen und bekommst dann immer die zurückgelegte Strecke. Im nächsten Teil zeige ich dann, wie das Integral konkret funktioniert. Bis dann. Tschüss.

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