Exponentielles vs. lineares Wachstum

Exponentielles vs. lineares Wachstum Übung

• Beschreibe lineares und exponentielles Wachstum.

  Tipps

  Der Anfangswert beschreibt den Bestand zum Zeitpunkt $t = 0$.

  Beispiel lineares Wachstum:

  $B(t) = m \cdot t + n \rightarrow$ mit Anfangswert $n$ und Wachstumsfaktor $m$

  Lösung

  Bei Wachstumsprozessen betrachten wir die Änderung eines Bestandes in regelmäßigen Abständen.
  Wir unterscheiden zwischen linearem und exponentiellem Wachstum.

  Genauer beschreiben können wir einen Wachstumsprozess mit einem Anfangswert und einem Wachstumsfaktor.

  Der Anfangswert beschreibt dabei den Bestand zu Beginn, also bei $t = 0$. Der Wachstumsfaktor beschreibt die Änderung des Bestandes.

  Beim linearen Wachstum ändert sich der Wert in gleichmäßigen Abständen um den gleichen Summanden. Wir notieren:

  $B(t) = m\cdot t + n$ mit Anfangswert $n$ und Wachstumsfaktor $m$

  Zum Beispiel beschreibt $B(t) = 0,4 \cdot t + 1$ die Höhe eines Baumes, der von einer Ausgangshöhe von einem Meter jedes Jahr um $40~\text{cm}$ wächst. Dabei ist $n = 1$, $m = 0,4$ und die Zeit $t$ wird in Jahren angegeben.

  Beim exponentiellen Wachstum ändert sich der Wert in gleichmäßigen Abständen um den gleichen Faktor. Wir notieren:

  $B(t) = b \cdot a^t$ mit Anfangswert $b$ und Wachstumsfaktor $a$

  Zum Beispiel beschreibt $B(t) = 20 \cdot 2^t$ die Anzahl an Bakterien nach $t$ Stunden, wenn es zu Beginn $20$ Bakterien waren und sich die Population jede Stunde verdoppelt. Dabei ist $b = 20$, $a = 2$ und die Zeit $t$ wird in Stunden angegeben.

• Gib die Zuordnungsvorschrift zu den Situationen an.

  Tipps

  Entscheide, ob es sich um lineares oder exponentielles Wachstum handelt.

  Bei linearem Wachstum wird in jedem Schritt derselbe Wert addiert. Wir schreiben:

  $\underbrace{m + m + m + \ldots + m}_{t~\text{mal} } = m \cdot t$

  Bei exponentiellem Wachstum wird in jedem Schritt mit demselben Wert multipliziert. Wir schreiben:

  $\underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{t~\text{mal} } = a^t$

  Lösung

  Wir bestimmen für jede Situation den Anfangswert, den Wachstumsfaktor und die Art des Wachstums, um dann in die entsprechende Formel einzusetzen:

  Lineares Wachstum:

  $B(t) = m \cdot t + n$ mit Anfangswert $n$ und Wachstumsfaktor $m$

  Exponentielles Wachstum:

  $B(t) = b \cdot a^t$ mit Anfangswert $b$ und Wachstumsfaktor $a$

  Beispiel 1:

  Ein $1~\text{m}$ hoher Baum wächst jedes Jahr um $70~\text{mm}$.
  Die Höhe des Baumes nimmt mit jedem Jahr um den konstanten Wert $70~\text{mm} = 0,07~\text{m}$ zu $\Rightarrow$ linear.

  Anfangswert: $1$
  Wachstumsfaktor: $0,07$
  $B(t) = 0,07 \cdot t + 1$

  Beispiel 2:

  Auf einem See sind $5~\text{m}^2$ von Algen bedeckt. Die Algenfläche verdreifacht sich jede Woche.
  Die von Algen bedeckte Fläche nimmt jede Woche um den Faktor $3$ zu $\Rightarrow$ exponentiell.

  Anfangswert: $5$
  Wachstumsfaktor: $3$
  $B(t) = 5 \cdot 3^t$

  Beispiel 3:

  Zwei Personen versenden einen Kettenbrief, der jeweils an sieben weitere Freunde verschickt werden soll.
  Die Anzahl der Personen, die den Brief erhalten, erhöht sich immer um den Faktor $7$ $\Rightarrow$ exponentiell.

  Anfangswert: $2$
  Wachstumsfaktor: $7$
  $B(t) = 2 \cdot 7^t$

  Beispiel 4:

  Ein Start-up mit fünf Mitarbeitenden will jeden Monat drei zusätzliche Personen einstellen.
  Die Anzahl der Mitarbeitenden nimmt jeden Monat um den konstanten Wert $3$ zu $\Rightarrow$ linear.

  Anfangswert: $5$
  Wachstumsfaktor: $3$
  $B(t) = 3 \cdot t + 5$

• Entscheide, ob die Aussagen in puncto lineares und exponentielles Wachstum zutreffen oder nicht.

  Tipps

  Überlege dir jeweils ein Beispiel für einen linearen oder einen exponentiellen Wachstumsprozess und überprüfe die Aussagen.

  Beispiel für lineares Wachstum mit Wachstumsfaktor $+~2$:

  $\begin{array}{l|r|r|r|r} \text{t} & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline \text{B(t)} & 15 & 17 & 19 & 21 \\ \end{array}$

  Lösung

  Lineares Wachstum:

  In gleichen Abständen ändert sich der Bestand immer um den gleichen Summanden.

  $B(t) = m \cdot t + n$ mit Anfangswert $n$ und Wachstumsfaktor $m$

  Exponentielles Wachstum:

  In gleichen Abständen ändert sich der Bestand immer um den gleichen Faktor.

  $B(t) = b \cdot a^t$ mit Anfangswert $b$ und Wachstumsfaktor $a$

  Folgende Aussagen sind korrekt:

  • Der Anfangswert entspricht immer dem Bestand bei $t = 0$.

  Der Anfangswert beschreibt den Bestand am Anfang, also bei $t = 0$:

  $\begin{array}{l|l} \text{linear} & B(0) = m \cdot 0 + n = 0 + n = n \\ \hline \text{exponentiell} & B(0) = b \cdot a^0 = b \cdot 1 = b \\ \end{array}$

  • Beim linearen Wachstum ist der Wachstumsfaktor die Differenz aus zwei aufeinanderfolgenden Werten.

  Der Wachstumsfaktor ist beim linearen Wachstum der Summand, um den sich der Bestand erhöht. Daher ist die Differenz zweier aufeinanderfolgender Werte immer gleich dem Wachstumsfaktor.

  Beispiel:

  $\begin{array}{l|r|r|r|r} \text{t} & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline \text{B(t)} & 15 & 17 & 19 & 21 \\ \end{array}$ //

  Der Wachstumsfaktor ist $2$. Es gilt:

  $2 = 17 - 15 = 19 - 17 = \ldots$

  • Haben ein linearer und ein exponentieller Wachstumsprozess beide den Anfangswert $1$ und den Wachstumsfaktor $1,5$, so wächst der exponentielle Prozess auf Dauer stärker.

  Wir vergleichen die Werte für verschiedene Werte von $t$:

  $\begin{array}{l|l} \text{linear} & \text{exponentiell} \\ \hline B(t) = 1,5 \cdot t + 1 & B(t) = 1 \cdot 1,5^t \\ B(1) = 2,5 & B(1) = 1,5 \\ B(2) = 4 & B(2) = 2,25 \\ B(5) = 8,5 & B(5) \approx 7,59 \\ B(10) = 16 & B(10) \approx 57,67 \\ B(30) = 46 & B(30) \approx 191\,751 \end{array}$ //

  Wir erkennen, dass für größere Werte von $t$ der exponentielle Prozess stärker wächst.

  Folgende Aussagen sind inkorrekt:

  • Beim exponentiellen Wachstum ist der Wachstumsfaktor das Produkt aus zwei aufeinanderfolgenden Werten.

  Der Wachstumsfaktor ist beim exponentiellen Wachstum der Faktor, um den sich der Bestand erhöht. Er ergibt sich deshalb als Quotient, nicht als Produkt zweier aufeinander folgender Werte.

  Beispiel:

  $\begin{array}{l|r|r|r|r} \text{t} & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline \text{B(t)} & 10 & 20 & 40 & 80 \\ \end{array}$
  Der Wachstumsfaktor ist $2$, es gilt: $2 = 20 : 10 = 40 : 20 = 80 : 40 = \ldots$

  • Der Anfangswert kann nicht berechnet werden.

  Wir können auf den Anfangswert zurückrechenen, wenn wir den Bestand für einen festen Wert $t$, den Wachstumsfaktor und die Art des Wachstums kennen.

  Beispiel lineares Wachstum:

  $B(2) = 13$, Wachstumsfaktor $2$
  $B(1) = B(2) - 2 = 13 - 2 = 11$
  $B(0) = B(1) - 2 = 11 - 2 = 9$

  Beispiel exponentielles Wachstum:

  $B(2) = 5$, Wachstumsfaktor $2$
  $B(1) = B(2) : 2 = 5 : 2 = 2,5$
  $B(0) = B(1) : 2 = 2,5 : 2 = 1,25$

• Bestimme Anfangswert, Wachstumsfaktor und Art des Wachstums.

  Tipps

  Bei linearem Wachstum erhöht sich der Bestand immer um einen festen Wert.

  Bei exponentiellem Wachstum erhöht sich der Bestand um einen festen Faktor.

  Beispiel:

  Wenn jeder Zuschauer und jede Zuschauerin ein Theaterstück vier Freund*innen weiterempfiehlt, dann steigt die Anzahl der Zuschauer*innen mit jeder Vorstellung um den Faktor $4$.

  Lösung

  Wir unterscheiden zwischen linearen und exponentiellen Wachstumsprozessen. Bei beiden kommt es in regelmäßigen Abständen zu einer Änderung des Bestandes: Ein Wachstumsprozess wird durch einen Anfangswert und einen Wachstumsfaktor charakterisiert.
  Beim linearen Wachstum erhöht sich der Wert immer um den gleichen Summanden.
  Beim exponentiellen Wachstum erhöht sich der Wert immer um den gleichen Faktor.

  Beispiel 1:

  • Im Labor wird eine Bakterienpopulation in einer Nährlösung beobachtet. Zu Beginn werden $20$ Bakterien gezählt. Eine Stunde später sind es bereits $50$ Bakterien. Nach zwei Stunden ist die Population auf $125$ Bakterien angewachsen.

  Da sich die Abstände zwischen den Werten von Stunde zu Stunde verändern, kann es sich nicht um lineares Wachstum mit einem konstanten Summanden handeln. Wir suchen nach dem konstanten Wachstumsfaktor für das exponentielle Wachstum, indem wir den Quotienten aufeinanderfolgender Werte berechnen:

  $50 : 20 = 2,5 = 125 : 50$

  Es handelt sich um exponentielles Wachstum mit Anfangswert $\mathbf{20}$ Bakterien und Wachstumsfaktor $\mathbf{2,5}$.

  Beispiel 2:

  • Der neue Saftladen im Ortszentrum ist sehr beliebt. Am ersten Tag haben bereits $10$ Kunden und Kundinnen den Saft probiert. Alle waren so begeistert, dass sie jeweils $3$ Freund*innen empfohlen haben, den Landen direkt am nächsten Tag auszuprobieren. Auch alle weiteren Kund*innen sprechen wieder Empfehlungen für den nächsten Tag aus.

  Hier wird sich die Anzahl der Kund*innen mit jedem Tag verdreifachen, da für jede Kundin und jeden Kunden an einem Tag am nächsten Tag drei Freund*innen den Laden besuchen. Wir haben also einen konstanten Faktor $3$, um den die Anzahl der Kund*innen zunimmt und somit exponentielles Wachstum.

  Es handelt sich um exponentielles Wachstum mit Anfangswert $\mathbf{10}$ Kunden und Wachstumsfaktor $\mathbf{3}$.

• Vervollständige die dargestellten Wachstumsvorgänge und gib die Art des Wachstums an.

  Tipps

  Bei linearen und exponentiellen Wachstumsprozessen ändert sich der Bestand in regelmäßigen Zeitabständen.

  Hier siehst du ein Beispiel.

  Lösung

  Bei einem Wachstumsprozess ändert sich der Bestand in regelmäßigen Zeitabständen. Liegt ein lineares Wachstum vor, erhöht sich der Bestand immer um den gleichen Wert. Handelt es sich um exponentielles Wachstum, ändert sich der Bestand stets um den gleichen Faktor.

  Der obere Wachstumsprozess ist linear, es wird in jedem Schritt der Wert $3$ addiert:

  $+~3$

  Damit ergibt sich für $t = 3$ der Wert $11 + 3 = 14$.

  Der untere Wachstumsprozess ist exponentiell, es wird in jedem Schritt mit $3$ multipliziert:

  $\cdot ~3$

  Damit ergibt sich für $t = 3$ der Wert $45~\text{m}^2 \cdot 3 = 135~\text{m}^2$.

• Berechne das Wachstum von Celias Follower*innen.

  Tipps

  Überlege, in welchem Zeitraum welches Wachstum vorliegt.

  Wenn sich die Art des Wachstums ändert, dann kannst du zunächst den Bestand am Ende des ersten Zeitraums bestimmen und diesen dann als Anfangswert für den nächsten Zeitabschnitt verwenden.

  Lösung

  In den ersten vier Monaten wächst Celias Follower*innenzahl jeweils konstant um die Zahl $5$. Da sie zu Beginn bereits $7$ Follower*innen hatte, sind es nach den ersten vier Monaten dann $7 + 5 + 5 + 5 + 5 = 27$ Followerinnen und Follower.

  Wir können auch die Formel für das lineare Wachstum mit Anfangswert $n = 7$ und Wachstumsfaktor $m = 5$ nutzen:

  $B(t) = 5 \cdot t + 7$, also nach vier Monaten $B(4) = 5 \cdot 4 + 7 = 20 + 7 = 27$

  Danach schafft Celia es, die Anzahl ihrer Follower*innen jeden Monat zu verdreifachen, Kater Carlo sei Dank.
  Bis zu ihrem Geburtstag sind es noch weitere acht Monate. Wir verwenden die Formel für exponentielles Wachstum mit Anfangswert $b = 27$ und Wachstumsfaktor $a = 3$:

  $B(t) = 27 \cdot 3^t$, also nach weiteren acht Monaten $B(8) = 27 \cdot 3^8 = 27 \cdot 6\,561 = 177\,147$

  Nach einem Jahr hat Celia also bereits $\mathbf{177\,147}$ Follower*innen. Herzlichen Glückwunsch!