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Transkript Funktionsgleichungen – Implizite Funktion (x-y)²=y²

Hallo. Eine Funktion möchte ich noch zeigen, die in impliziter Form gegeben ist. Das bedeutet, dass die Funktionsgleichung noch nicht nach y aufgelöst ist. Und zwar könnte die Gleichung so aussehen: (x-y)²=y² So, wie kommen wir jetzt aus der Nummer wieder raus? Ganz einfach - indem wir diese Klammer auflösen. Nicht wahr, das ist diese ganze Klammer zum Quadrat. Und da erinnerst du dich ja an die binomischen Formeln, von denen ich eine hier rein zufällig hier vorbereitet habe. Ich zoome mich mal näher heran, dann kannst du sie sehen. Das ist jetzt hier schön als Folie gemacht und auf diese farbigen Felder kannst du jetzt die Variablen und Zahlen schreiben, die da quadriert werden. Also ich mache das mal eben und dann kannst du auch das Ergebnis bewundern. Wir haben als Erstes das x stehen und das y. Also x-y und das Ganze zum Quadrat. Bedeutet also x²-2xy+y². So und da ist das eingetragen in diese Formelschablone. Ich hoffe, das ist gut sichtbar. Das werde ich jetzt mal hier auf meine kleine Tafel übertragen. Was mache ich auf beiden Seiten - ich mache eine Termumformung. Also habe hier stehen x² - das heißt, ich löse also die Klammer an, wende die zweite binomische Formel an und dann habe ich hier also stehen x²-2xy+y²=y². Und dann mache ich es mir einfach, ich rechne einfach auf beiden Seiten -y². Warum nicht, dann sieht das schon mal einfacher aus, dann steht hier noch x²-2xy=0. Denn y²-y² ist gleich Null, y²-y² ist auch auf der anderen Seite Null, also bleibt hier die Null und da schreibe ich y² einfach nicht mehr hin.  Dann - was kann ich machen? Ich möchte hier das y alleine haben, ich werden also auf beiden Seiten x² abziehen. Erst kümmere ich mich ja um die Summanden, die das y nicht enthalten. Die bringe ich dann schon mal auf die andere Seite. Also bleibt hier noch übrig: -2xy, was ja bedeutet -2 mal x mal y, das ist gleich -x², denn 0 minus x² ist -x². Und was habe ich noch? Ich möchte ja das y alleine stehen haben, und deshalb teile ich einfach durch die den Vorfaktor, der noch vor dem y steht, das ist -2x. Es wird durch minus 2x geteilt, dann muss ich das hier ankündigen, und zwar mit der Klammer. Wenn ich -2xy durch -2x teile, bleibt das y alleine übrig. Hier also: Das y bleibt. Und wenn ich -x² durch -2x teile, gehe ich der Reihe nach vor. Ich stelle mir vor: minus durch minus ergibt plus. Das heißt, ich kann beide  Minuszeichen weg lassen. x²÷x gibt einfach x. Ich kann ein x kürzen. Die 2, da kann ich nichts mit machen. Die bleibt einfach im Nenner stehen. Dann habe ich hier noch stehen: x÷2. Ja, das ist x÷2, also ½x.  Das kann ich eben noch mal zeigen als Funktionsgraph. Hier noch mal zum Anschauen die gesamte Rechnung, falls du mitschreiben möchtest oder eben etwas abschreiben möchtest. Ich zeige eben, wie das als Funktionsgraph aussieht. Das ist die x-Achse, das ist die y-Achse. Hier ist eine 1, da ist eine 1, um die Einheiten anzudeuten. Du darfst das auch ruhig öfter so schnell machen, nur mal eben so aus der Hand ein Koordinatensystem zeichnen. Der Effekt ist, dass du viele Funktionen zeichnen kannst und ein gutes Gefühl für die Funktionen bekommst. ½x beziehungsweise x÷2 sieht dann ungefähr so aus: Es geht durch den Nullpunkt und das wird der Funktionsgraph sein. Probiere es einfach aus, es ist fast die gleiche Funktion, die du im letzten Film hattest sehen können. So kann es passieren, wenn Funktionen implizit gegeben sind. Erst sehen sie ganz anders aus als das, was hinterher dabei herauskommt. Dann viel Spaß damit. Bis bald. Tschüss.                

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3 Kommentare
  1. Felix

    @Marwa A.: Wenn du in die Funktionsgleichung f(x)=x/2 für x die Zahl 0 einsetzt, bekommst du 0/2=0. Der Punkt (0|0) liegt also auf dem Graphen der Funktion. Ich hoffe, dass ich dir weiterhelfen konnte.

    Von Martin Buettner, vor 3 Monaten
  2. Katze

    Warum genau geht x:2 durch den Nullpunkt?

    Von Marwa A., vor 3 Monaten
  3. Default

    Leider ist in dem Beitrag ein Fehler. Man kann nicht einfach durch x teilen, denn der Autor schließt den Fall x=0 nicht aus und es ist ja allgemein bekannt, dass die Division durch 0 verboten ist. Als ganz elementare Folge aus diesem Fehler schaut man sich mal das Wertepaar (x/y) an der Stelle x=0 an. Laut dem Autor müsste da auch y=0 sein, da ja y=x/2 und damit y = 0/2 = 0. Schaut man sich aber nochmal die Ausgangsform (d.h. die implizite Form) an, so kann y an der Stelle x=0 auch ungleich 0 sein. Es passte nämlich auch das Wertepaar (0/123), denn (0-123)^2 = 123^2 ist eine wahre Aussage. Daher kann man die Funktion nur für x ungleich 0 explizit auflösen. Für x=0 muss die Gleichung implizit bleiben

    Von Deleted User 1423, vor mehr als 7 Jahren