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Transkript Gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion zweier Zufallsgrößen

Hallo. In diesem Video möchte ich in einem Beispiel erläutern, was die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion zweier Zufallsgrößen ist. Dazu brauchen wir erst einmal ein Zufallsexperiment. Dazu nehmen wir uns 2 Würfel und würfeln einmal gleichzeitig mit beiden Würfeln. Jetzt brauchen wir noch 2 Zufallsgrößen. Die Zufallsgröße X, soll uns dabei die Anzahl der 6en Anzeigen und die Zufallsgröße Y soll beschreiben, wie viel der Würfe eine Augenzahl ≤4 haben. Jetzt schreiben wir uns erst einmal die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Zufallsgröße x in einer Wertetabelle auf. Es kann entweder keine 6 oder eine 6 oder zwei 6en geben, wir haben ja nur 2 Würfe. Die Wahrscheinlichkeit für keine 6 ist 5/6×5/6, denn bei jedem der Würfe haben wir 5 von 6 Möglichkeiten dafür, dass es keine 6 ist. Die Wahrscheinlichkeit für eine 6 ergibt sich folgendermaßen: 5/6 für eine 1 bis 5 auf dem einen Würfel, 1/6 für eine 6 auf dem anderen und dann noch mit 2 multiplizieren, je nachdem auf welchem Würfel die 6 ist. Die Wahrscheinlichkeit für zwei 6en ist natürlich 1/6×1/6. Jetzt schreiben wir die Wahrscheinlichkeiten jeweils als 36tel auf und die Summe ist auch wirklich 1 und schauen uns dann die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Zufallsgröße y an. Auch hier kommen nur die Werte 0, 1 und 2 infrage. Keine Zahl ≤4, eine oder zwei. Die Wahrscheinlichkeit, dass keine Zahl ≤4 kommt, ist 2/6×2/6. Man hat jeweils nur die Möglichkeiten 5 oder 6. Dann wieder 4 Möglichkeiten auf dem einen Würfel und 2 auf dem anderen und mit 2 multiplizieren, je nachdem auf welchem Würfel die Zahl ist. Die Wahrscheinlichkeit für 2 Zahlen ≤4 ist 4/6×4/6. Auch das schreiben wir wieder als 36tel. Wie wir bereits wissen, ordnet also die Wahrscheinlichkeitsfunktion einer einzelnen Zufallsgröße jedem Wert, den diese Größe annehmen kann, dessen Wahrscheinlichkeit zu. Wenn wir jetzt aber alle Paare von Werten betrachten, also immer xi und yi zusammen und denen die Wahrscheinlichkeit zuordnen, dass die Variable x den Wert xi annimmt und die Variable y den Wert yi gleichzeitig, dann ist das die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion von x und y. Am besten schauen wir uns das jetzt einmal an unserem Beispiel an. Wir zeichnen eine Tabelle mit 3 Zeilen und 3 Spalten. An den Kopf jeder Spalte kommen die Werte, die x annehmen kann und an den Anfang jeder Zeile, kommen die Werte, die die Zufallsgröße y annehmen kann. So haben wir also alle möglichen Paare von Werten übersichtlich dargestellt und in das Kästchen, wo sich die Zeile von yi und die Spalte von xi treffen, schreiben wir die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße x den Wert xi und die Zufallsgröße y gleichzeitig den Wert yi annimmt. Hier  zum Beispiel kommt die Wahrscheinlichkeit dafür hin, dass x=0 und y=0 ist, dass also keine 6 gewürfelt wird und keine Zahl ≤4. Da bleibt natürlich nur der 5er Pasch, also 1/36 ist die Wahrscheinlichkeit. Hier ist die Wahrscheinlichkeit für keine 6 und eine Zahl ≤4 gesucht. Das heißt, die eine Zahl ist schon einmal 5 und für die andere Zahl haben wir die Möglichkeiten 1 bis 4 und das können wir jeweils noch auf den Würfeln vertauschen, also haben wir 8 Möglichkeiten insgesamt. Die Wahrscheinlichkeit ist 8/36. Und wenn wir keine 6 haben wollen und zwei Zahlen ≤4, haben wir auf jeden der Würfel 4 Möglichkeiten, also insgesamt 16 Möglichkeiten. 16/36 ist die Wahrscheinlichkeit. Die Summe der einzelnen Wahrscheinlichkeiten, bei denen keine 6 vorkommt, ist auch tatsächlich die Wahrscheinlichkeit, die in der Wertetabelle für x bei dem Wert 0 steht. Jetzt bestimmen wir die Wahrscheinlichkeitsfunktion weiter. Wenn wir genau eine 6 haben und keine Zahl ≤4, dann müsste das eine 5 und eine 6 sein. Also haben wir zwei Möglichkeiten. Das sind 2/36. Wenn eine Zahl 6 sein soll und die andere Zahl ≤4, haben wir wieder 4 Möglichkeiten und auf die beiden Würfel verteilt 8. Wenn wir gleichzeitig eine 6 haben wollen und zwei Zahlen ≤4, dann geht das natürlich nicht. Also ist die Wahrscheinlichkeit 0. Die Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten entspricht 10/36 und das ist tatsächlich auf die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man eine 6 hat. Die Wahrscheinlichkeit für zwei 6en und keine Zahl ≤4 ist 1/36 und danach sind die Wahrscheinlichkeiten 0, weil man nicht eine oder zwei Zahlen ≤4 haben kann, wenn man schon zwei 6 hat. Die Summe deckt sich also auch wieder mit dem Wert in der Tabelle für x. Das Gleiche können wir natürlich auch zeilenweise machen. Dabei entstehen dann die Wahrscheinlichkeiten aus der Wertetabelle für y. Wenn man am Schluss die Werte am Rand mit aufaddiert, dann muss sich auf jeden Fall 1 ergeben. Die Zeilensummen spiegeln also genau die Wahrscheinlichkeitsfunktion von y wieder, und die Spaltensummen spiegeln die Wahrscheinlichkeitsfunktion von x wieder und weil sie in dieser Tabellendarstellung am Rand stehen, heißen sie auch Randwahrscheinlichkeiten. Wir haben also unsere gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion in einer Wertetabelle dargestellt. Die Darstellung in Histogrammen oder Stabdiagrammen ist hier eher unüblich. Ok und das war es.

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1 Kommentar
  1. Default

    Ahaaa! - endlich hab ich verstanden was eine Randverteilung ist - danke ! !

    Von Joh87, vor fast 7 Jahren