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Transkript Gleichungsumformungen – Grundrechenarten

So, wir wollen uns jetzt mal anschauen, wie man Gleichungen richtig umformt. Das ist nämlich ein sehr wichtiges Hilfsmittel in ganz vielen Bereichen in Mathe. Und zwar wollen wir zu den Umformungen nur die 4 Grundrechenarten zulassen. Meistens hat man eine Größe x, aber man kennt ihren Wert leider nicht. Man hat aber Informationen über die Größe in einer Gleichung verschlüsselt vorliegen. Kann man diese Gleichung richtig umformen, so kennt man dann die Größe. Wie das genau geht, wollen wir uns jetzt mal anschauen. Nehmen wir die Gleichung vom Anfang und stellen uns das Ganze wie auf einer Waage vor. Auf der einen Seite haben wir 3 Mal die Größe x und 5. Und auf der rechten Seite haben wir 17. Und die Waage ist im Gleichgewicht. Ziehen wir auf beiden Seiten 5 ab, bleibt die Waage im Gleichgewicht. Nun teilen wir noch durch 3 und erhalten x=4. Im nächsten Beispiel lassen wir die Waage weg, und schreiben die Rechnung, die wir auf beiden Seiten durchführen, rechts neben die Gleichung. Wir multiplizieren auf beiden Seiten mit 3. Erhalten x-1=6. Dann wird noch mit 1 addiert und wir haben x=7. Wie dürfen wir so eine Gleichung also umformen? Wir dürfen auf beiden Seiten die gleiche Zahl addieren, auf beiden Seiten die gleiche Zahl subtrahieren, mit der gleichen Zahl multiplizieren,nur nicht mit der 0 und durch die gleiche Zahl dividieren, wenn es nicht die 0 ist. Wichtig ist, dass die Rechnung auf beiden Seiten durchgeführt wird, und dass man nicht ×0 oder ÷0 rechnet. Woher weiß man eigentlich immer, welche Rechnung man gerade durchführen muss? Man schaut sich an, was mit dem x passiert, wenn man dafür eine Zahl einsetzt. Hier wäre das zuerst -1 und dann ÷3. Die letzte Operation ist die, die rückgängig gemacht werden muss. Also müssen wir hier ×3 rechnen. Das ergibt x-1=6. Dieses Mal ist die letzte Operation -1. Wir addieren also 1 und erhalten x=7. Dazu noch mal ein größeres Beispiel. Die letzte Operation ist -1, also wird 1 addiert. Dann ist die letzte Operation ×6, also wird durch 6 geteilt. Dann wird +4 durch -4 rückgängig gemacht und am Schluss noch der Bruch. Wir erhalten x=-9. Hat man auf beiden Seiten x-Terme, so ist es besser, erst mal die Seiten zu vereinfachen. Das heißt Klammern auszurechnen und Brüche als Summen einfacher Brüche zu schreiben, so wie hier. Dann sammelt man die x-Terme auf der einen Seite und die Zahlen auf der anderen. Und den Rest, den kennen wir schon. Wichtig beim Zusammenfassen: x-Terme bleiben unter sich und Zahlen bleiben unter sich. Typisch bei Brüchen ist auch das Überkreuzmultiplizieren. Das heißt, man multipliziert die Gleichung mit dem Produkt der Nenner der jeweiligen Seite. Hier ergäbe sich also 4×(x+2)=3x. Klammer ausgerechnet -3x-8 und schon hat man das Ergebnis. So, am Schluss will ich euch noch zeigen, was wahrscheinlich der häufigste Fehler ist bei solchen Umformungen. Viele kommen bei dieser Aufgabe auf die Idee, durch x zu teilen. Man erhält dann 2=3, was natürlich falsch ist und könnte auf die Idee kommen, zu denken, dass die Gleichung gar keine Lösung hat. In Wirklichkeit aber dürfen wir gar nicht durch x teilen, denn x könnte ja auch 0 sein und durch 0 dürfen wir nicht teilen. Richtig geht das so: Man zieht 3x ab und erhält x=0 als Lösung. So, dann noch viel Spaß beim Gleichungen lösen.    

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29 Kommentare
  1. Bewerbungsfoto

    *entschuldige bitte, ich habe schnell getippt --> Sakshi

    Von Steve Taube, vor etwa einem Monat
  2. Bewerbungsfoto

    Hallo Skahi,

    wenn in der Klammer ein x steht, dann kann man die Klammer nicht auflösen, man kennt ja den Wert von x nicht. Man möchte auch an dieser Stelle den Term gar nicht BERECHNEN, sondern NACH X AUFLÖSEN, das sind verschiedene Dinge. Wenn man nach x auflösen möchte, muss man Rechenschritte rückgängig machen. Man fängt mit "mal 3" an, weil im Term ": 3" die letzte Rechnung war.
    Wir berechnen den Term nicht, sondern wir stellen ihn um.

    Wenn du für x eine Zahl einsetzt und damit den Term berechnest, DANN hast du Recht, dann musst du ZUERST die Klammer ausrechnen.

    Viel Erfolg!

    Von Steve Taube, vor etwa einem Monat
  3. Default

    bei 2:02 (ihr erster rechenschritt)

    Von Sakshi M., vor etwa einem Monat
  4. Bewerbungsfoto

    Hallo Sakshi,

    auf welche Stelle im Video beziehst du dich?

    Von Steve Taube, vor etwa einem Monat
  5. Default

    Müssen da nicht wie bei z.b 2:02 erst die klammer aufgelöst werden?

    Von Sakshi M., vor etwa einem Monat
  1. Bewerbungsfoto

    :) super!!!

    Von Steve Taube, vor etwa einem Monat
  2. Default

    ich habe endlich verstanden!!!!!!!

    Von Lucia S., vor etwa einem Monat
  3. Bewerbungsfoto

    Hallo Lucia,
    das ist für die 7te Klasse - je nach Bundesland und Schulform vielleicht auch für die 8te.
    Viele Grüße!

    Von Steve Taube, vor etwa einem Monat
  4. Default

    Also ich habe nichts verstanden!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
    Für welche Klassenstufe ist das????????????????

    Von Lucia S., vor etwa einem Monat
  5. Bewerbungsfoto

    Hallo S Gruenwald,

    du hast recht. Das Video ist etwas schnell geraten. Du kannst das Tempo aber regulieren. Neben der Zeitleiste ist ein kleines Tacho-Symbol. Dort kann man die Geschwindigkeit auf 80% bzw. 50% runterregulieren.

    Viel Erfolg noch!

    Von Steve Taube, vor 3 Monaten
  6. Default

    gut, aber bisschen schnell

    Von Grünwald .., vor 3 Monaten
  7. Default

    Vielen Dank. Sehr einfach dartgestellt.

    Von Adel R., vor 4 Monaten
  8. Default

    das ist sehr gut

    Von Peer K., vor 9 Monaten
  9. Bewerbungsfoto

    Korrekt!
    Viel Erfolg weiter!

    Von Steve Taube, vor mehr als einem Jahr
  10. Default

    Hi Steve,
    Wie löst man die Übungsaufgabe
    1/2 * (3x+8)= -7x --> x= -8/17
    ??
    Danke

    Von Flateric Ch, vor fast 2 Jahren
  11. Default

    Danke jetzt habe ich es endlich verstanden.

    Von Desiree 1, vor fast 2 Jahren
  12. Default

    Vielen Dank für die schnelle antwort habe alles verstanden !

    Von Vasile Valentin122, vor fast 2 Jahren
  13. Bewerbungsfoto

    Hallo Vasile,

    Zunächst multipliziere ich ja beide Seiten mit 3 und dann mit 4.
    Linke Seite: (x+2)/3 * 3 = x+2, nächster Schritt, (x+2)*4 = 4(x+2)
    Rechte Seite: x/4 * 3 = 3x/4, nächster Schritt, 3x/4 * 4 = 3x
    So erhalten wir 4(x+2) = 3x. Um die Klammer aufzulösen, muss man den Faktor vor der Klammer mit jedem Summanden aus der Klammer multiplizieren und die sich Ergebnisse wieder addieren:
    4(x+2) = 4*x + 4*2 = 4x + 8
    Ich hoffe, das beantwortet deine Frage.

    Von Steve Taube, vor fast 2 Jahren
  14. Default

    Wie rechnest du die klammer beim überkreuzmultiplizieren aus ?

    Von Vasile Valentin122, vor fast 2 Jahren
  15. Default

    ja hat geholfen danke

    Von Inespaty, vor fast 2 Jahren
  16. Bewerbungsfoto

    Ich möchte in der Gleichung 4x + 8 = 3x die x-Terme nach links bringen und die Zahlen nach rechts. Deswegen rechne ich "-3x" und erhalte x + 8 = 0, dann rechne ich "-8" und erhalte x = -8. War das deine Frage?

    Von Steve Taube, vor fast 2 Jahren
  17. Default

    ich vertehe den letzten teil noch nicht so ganz.Wie kommt man auf -3x? Aber ansonsten gut

    Von Inespaty, vor fast 2 Jahren
  18. Handy 015

    Ein bisschen zu schnell.. Sonst gut

    Von Dil Ber, vor etwa 2 Jahren
  19. Default

    Super video danke Steven!! habs endlich verstanden!! Unter 10 Minute checkt man sowas echt hammer

    Von Sevosch, vor etwa 2 Jahren
  20. Default

    Gutes Video, aber vllt könnte es das nächste Mal bisschen langsamer sein

    Von Shabana.A, vor mehr als 2 Jahren
  21. Default

    ... die letzte Operation rückgängig machen.... easy!! Wieso hat mir das noch kein "kluger" Kopf gesagt?!?! Danke Steve!!!

    Von S Kohler Dibl, vor mehr als 2 Jahren
  22. Die sprache meiner wahl

    Ich habs kappiert jippi!!!!!!!!!!

    Von Willi Baer, vor mehr als 2 Jahren
  23. Default

    Finde der Erklärt es gut. Das soll hier eine Ergänzung sein, zum regulären Unterricht.

    Von Sadettin Kus, vor etwa 3 Jahren
  24. Default

    Es ist eine Superleistung von vielen Tutoren, die Kompliziertheit unter 10 Minuten zu erklären. Viel Glück bei der Mathearbeit.

    Von Jong Duk Park, vor etwa 4 Jahren
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