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Transkript Grenzwertsätze für Funktionen – Überblick

In diesem Video erkläre ich euch die Grenzwertsätze für Funktionen. Die folgenden 3 Grenzwerte sollten wir dazu schon kennen: Der Grenzwert x gegen ∞ von der konstanten Funktion k=k. Der Grenzwert x gegen ∞ von x = ∞. Und der Grenzwert von 1/x gegen ∞ = 0. Zu jeder Rechenart gibt es nun einen Grenzwertsatz. Hier ist der für die Summe zweier Funktionen. Existiert der Grenzwert von f(x) und g(x) für x gegen x0, so gilt: Der Grenzwert der Summe für x gegen x0 ist gleich der Summe für Grenzwerte für x gegen x0. Dass der Grenzwert der Funktion existiert, soll dabei bedeuten, dass das eine Zahl ist und nicht ∞. Lässt man x nicht gegen eine Stelle, sondern gegen ∞ laufen, gilt der Satz genauso. Das ist zwar ganz schön, aber leider hat man trotzdem häufig Summen in denen einige Funktionen gegen ∞ streben. Damit man den Satz dann aber trotzdem anwenden kann, merkt man sich einfach diese folgenden Regeln. Unenedlich + eine endliche Zahl ist Unendlich, also: ∞+α=∞. Undendlich + Unendlich ist natürlich erst recht Unendlich, also: ∞+∞ ist natürlich erst recht ∞. Nur bei ∞ +(-∞) und -∞+∞ da kann man den Satz nicht anwenden. Da braucht man dann andere Mittel, um herauszubekommen, was der Grenzwert ist. Unser 1. Beispiel ist Limes für x gegen 3 von x+1/x, da trennen wir die Grenzwerte also einfach auf und können dann 3 jeweils einsetzen. Das ergibt 10/3. Nimmt man die gleiche Funktion und lässt x gegen ∞ streben, dann entsteht auf der linken Seite ∞ und auf der rechten 0. Und das addiert - in Anführungszeichen - ergibt ∞.   Kommen wir jetzt zur Differenz: Existieren die Grenzwerte von f und g für x gegen x0, so gilt: Der Grenzwert der Differenz für x gegen x0 ist gleich der Differenz der Grenzwerte für x gegen x0. Und Gleiches gilt auch wieder für x gegen ∞. Und auch hier kommt man häufig viel weiter, wenn man sich noch folgendes merkt: -∞-∞ ist natürlich wieder -∞. Wenn ich von ∞ eine endliche Zahl (a) abziehe, erhalte ich immer noch ∞. Wenn ich von einer Zahl (α) unendlich viel abziehe erhalte ich -∞ und der einzige Fall, den dieser Satz nicht abdeckt, ist der Fall ∞-∞. Damit ist also der Grenzwert von x-3 gleich dem Grenzwert von x - dem Grenzwert von 3, links setz ich das x ein, rechts bleibt die Konstante, also kommt -1 raus. Der Limes von 4-x für x gegen ∞ wird auch wieder aufgeteilt, links ist eine konstante Funktion und rechts kommt Unendlich raus. Und wenn wir ∞ von 4 - in Anführungszeichen - abziehen, kommt -∞ raus.   Beim Produkt zweier Funktionen sieht der Grenzwertsatz wieder genauso aus. Existieren die beiden Grenzwerte, so gilt: Der Grenzwert des Produkts ist gleich dem Produkt der Grenzwerte. Und für x gegen ∞ gilt wieder das Gleiche. Und sollte der Grenzwert mal nicht existieren, kann man sich trotzdem noch mit diesen Tipps helfen: Eine feste Zahl mal Unendlich, α×∞, also ein Vielfaches von ∞ ist wieder ∞. ∞×∞ natürlich erst recht, hier muss man nur mit den Vorzeichen aufpassen, -×+ gibt z.B. - und -×- gibt natürlich +. Der einzige Ausnahmefall für den Satz ist hier ∞×0. Der Limes des Produkts 2/7×7-1/x für x gegen ∞, ist also der Limes von 2/7× den Limes der Klammer. Die 2/7 bleiben stehen und rechts wenden wir noch die Differenzenregel an, da kommt auf der linken Seite wieder eine Konstante und der Limes von 1/x=0. Also entsteht 2/7×7 also 2. Bei dieser Funktion wenden wir zuerst den Summensatz an und dann den Produktsatz auf die Potenzen. Man sieht hier dass x-Potenzen für x gegen ∞ auch auf jeden Fall gegen ∞ gehen. Am Schluss ergibt sich bei uns wieder ∞.   Beim Satz über den Grenzwert eines Quotienten wird zusätzlich zur Existenz der Grenzwerte noch verlangt, dass der Grenzwert im Nenner nicht 0 ist, denn durch den wird ja geteilt und dann gilt, dass der Grenzwert des Quotienten gleich dem Quotienten der Grenzwerte ist. Und das Gleiche auch wieder für x gegen ∞. Und jetzt greifen wir noch ein letztes Mal in die Trickkiste, falls einer der Grenzwerte nicht existiert. ∞ geteilt durch eine Zahl ist ∞ und eine Zahl geteilt durch ∞ ist 0. Über die Fälle ∞ geteilt durch ∞ und 0 durch 0 lässt sich mit diesem Satz nichts aussagen. Der Limes von 2÷x für x gegen 5 berechnet sich demnach so und unten kann man für das x die 5 einfach einsetzen. Bei dieser Funktion teilt man also den Grenzwert des Zählers durch den Grenzwert des Nenners. Im Nenner haben wir eine Differenz, die teilen wir wieder auf und davon der Subtrahend hat dann die Gestalt 1/x, also 0 und das ergibt dann 1/3.   Was haben wir also gelernt? Potenzen von x gehen gegen ∞ für x gegen ∞. Vierfache uns  Summen solcher Potenzen auch und die Therme 1/x, 1/x2, usw. gehen alle gegen 0 für x gegen ∞. Ist doch eigentlich alles nicht so schwer.      

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11 Kommentare
  1. Bewerbungsfoto

    Hallo Raven Burdy,
    wenn man probiert, 5 einzusetzen, erhält man im Zähler 75 und im Nenner 0. Zugegebenermaßen wurde dieser Fall im Video nicht explizit erwähnt. Du kannst dir als Faustregel merken, dass ein Bruch, wenn der Zähler gegen eine feste Zahl (nicht 0) geht und der Nenner gegen 0, dann geht der gesamte Bruch gegen unendlich. Schau dir mal die Folge 5/(1/10), 5/(1/100), 5/(1/1000),... an die kann man schreiben als 5*10, 5*100, 5*1000, die Werte werden also immer größer und streben gegen unendlich. Genauer wird dies im Video
    http://www.sofatutor.com/mathematik/videos/grenzwerte-gebrochenrationaler-funktionen-an-definitionsluecken
    beschrieben. Beachte auch, dass man sich noch die Vorzeichen des Zählers und Nenners überlegen muss, um zu entscheiden, ob sich der Bruch gegen +unendlich oder -unendlich bewegt.

    Viel Erfolg!

    Von Steve Taube, vor fast 3 Jahren
  2. Default

    hey wie kommt man bei dem test da auf unendlich ?

    Von Raven Burdy, vor fast 3 Jahren
  3. Bewerbungsfoto

    Hallo Issam,

    ja du hast recht. Ich habe leider nicht immer die angewandte Regel dazu genannt. Aber ein bisschen Hinterfragen und Überlegen schadet ja auch nicht.

    Viel Erfolg!

    Von Steve Taube, vor fast 3 Jahren
  4. Default

    du könntest ruhig die regeln erklären die dort immer anwendest wie bei 4:21 differenzenregel

    Von Issam Stayler, vor fast 3 Jahren
  5. Default

    Ich kapier gar nix

    Von Svenjabach, vor mehr als 3 Jahren
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    Hallo Consuela,
    lies dir mal bitte die ersten beiden Kommentare zu diesem Video durch. Dann betrachte außerdem mal die folgende Zahlenfolge:
    75/1; 75/0,5; 75/0,1; 75/0,001; 75/0,0001 usw. im Nenner steht also immer 75, im Zähler werden die Zahlen immer kleiner und gehen immer näher an 0 heran. Was beobachtest du aber für den Quotienten? Was kannst du daraus für den Grenzwert lim für x-->0 von 75/x schließen?

    Grüße, Steve

    Von Steve Taube, vor etwa 6 Jahren
  2. Default

    hallo!

    warum ist bei der aufgabe nach dem video (3x^2/(2x-10)^2 für x gegen 5) die lösung unendlich und nicht 0? wenn ich x gegen 5 einsetze habe ich doch 75/0 und das geht dann doch gegen 0, oder?

    gruß,
    c.

    Von Consuela, vor etwa 6 Jahren
  3. Bewerbungsfoto

    Hallo Rebecca,

    es war nicht meine Absicht, die Sonderfälle zu behandeln, sondern ich wollte mich erstmal nur um die Standardfälle kümmern, also die, die man mit den Grenzwertsätzen gut berechnen kann.
    Zu den "roten" Fällen:
    Die Fälle mit "·" und "÷" kann man mit der Regel von de l'Hôpital lösen, dazu gibt es hier
    http://www.sofatutor.com/mathematik/videos/die-regel-von-bernoulli-de-l-hopital
    ein Video. Für die Fälle mit "+" und "-" gibt es meines Wissens nach kein Standardrezept. Da muss man jeden Fall für sich betrachten und den Grenzwert durch geschicktes Umformen bestimmen.

    Ich versuche jemanden zu finden, der dazu ein Video machen kann. Ich selber habe im Moment dafür leider keine Zeit. Aber mit der Regel von de l'Hôpital ist dir sicher auch schonmal geholfen.

    Viele Grüße. Steve.

    Von Steve Taube, vor etwa 7 Jahren
  4. Default

    Hi,

    Form Toll, aber die interessanten Faelle, naehmlich alle, die du rot angemalt hast, fehlten ja einfach mal komplett....
    Schade. Das waeren die, die mir weitregeholfen haetten.
    Machst du noch ein Viedeo dafuer?

    Gruesse

    Von Rebecca C., vor etwa 7 Jahren
  5. Bewerbungsfoto

    Hallo Bum, da hast du recht. Dies ist einer der Sonderfälle, die bei Quotienten auftreten können. Dieser Fall ist vom Typ a/0, also im Zähler steht eine Zahl und im Nenner eine 0. In diesem Fall ist der Grenzwert des gesamten Ausdrucks "unendlich". Das kannst du dir zum Beispiel so erklären: betrachte 3/(1/x), dann hast du im Zähler eine feste Zahl und im Nenner eine Funktion, die für x-->unendlich gegen 0 geht, also quasi "3/0". Du kannst aber den Bruch auch schreiben als 3*(x/1), also 3x. Und das geht für x--> unendlich gegen unendlich.

    Von Steve Taube, vor mehr als 7 Jahren
  6. Vlcsnap 2009 08 30 16h04m43s69

    Bei der Frage zum Schluss geht der Nenner g(x) gegen Null, wenn x gegen 5 geht. In diesem Fall ist doch der lim x->x0 f(x) / g(x) gar nicht definiert !?

    Von Bum, vor mehr als 7 Jahren
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