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Transkript Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung – Erklärung (1)

Hallo, ich bin Martin Wabnik, das sind Koordinatensysteme und das sind Papierstreifen und mit denen werde ich jetzt erklären, warum der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung so ist, wie er ist. Dazu braucht man erst mal diesen Satz, der geht so: Integral von a bis b (f(x) dx) =, jetzt brauche ich noch ein Blatt und gleich komme ich dazu, was das bedeutet. Zunächst mal ist das gleich F(b)-F(a), so da ist er, das ist der Hauptsatz. Jetzt kann man sich erst einmal überlegen, was das überhaupt bedeutet. Das ist eine Funktion, das könnte man mal so darstellen, im normalen Leben ist das hier ein Kurvenlineal, aber das soll jetzt mal der Funktionsgraph sein. Dann brauche ich Grenzen, und zwar dieses kleine a ist die untere Grenze und dieses b hier ist die obere Grenze. Und ich möchte jetzt wissen den Flächeninhalt unterhalb dieses Graphen, also zwischen Graph und x-Achse, das ist also diese Fläche. Und laut diesem Satz kann ich diese Fläche ausrechnen, indem ich eine Stammfunktion nehme, also eine Stammfunktion F ist eine Funktion, deren Ableitung nun dieses kleine f ergibt. Ich nehme also eine Stammfunktion, setzte b ein und nehme die gleiche Stammfunktion und setze a ein, ziehe die Werte voneinander ab und erhalte die Fläche. Die Frage ist jetzt natürlich, warum erhalte ich eine Fläche, wenn ich eine Stammfunktion nehme? Eine Stammfunktion ist eine Funktion, deren Ableitung diese Funktion ergibt, deren Steigung also diese Funktion ergibt und da fragt man sich, was hat eine Steigung mit einer Fläche zu tun? Und das möchte ich jetzt gerne jetzt Mal an den Papierstreifen zeigen. Dazu werde ich jetzt hier einfach mal eine Funktion konstruieren, und zwar so, die ist jetzt nicht ganz so, wie normalerweise Funktionen sind, weil sie oben immer gerade ist, das bedeutet stückweise konstant, aber man kann sich vielleicht vorstellen, dass so ungefähr ein Funktionsgraph läuft. Und ich bastel jetzt einfach mal die Fläche dazu. Und zwar fange ich hier an, das hier ist die Fläche, die vom Anfang der Funktion bis hierhin entstanden ist. Was davor ist, interessiert mich nicht weiter, da ist überhaupt keine Fläche, da gibt es die Funktion vielleicht gar nicht. Als Vereinfachung sei das einfach mal angenommen. Wenn ich jetzt die Fläche bestimme vom Anfang der Funktion bis hier hin, dann ist das so viel Fläche, hier steht einfach, diese Fläche zusammen ist so viel. Wenn ich einen Schritt weiter gehe, kommt eben noch die grüne Fläche hinzu, die rote und die orangefarbene sind auch noch da. Wenn ich wissen will, wie groß ist die Fläche von hier bis da, dann kommt noch diese Fläche hinzu, diese pinkfarbene Fläche, naja man ahnt, wie das weiter geht. Ganz am Ende, die Fläche von hier bis hier, da kommt jetzt noch die gelbe Fläche hinzu, da reicht das Koordinatensystem kaum noch aus. So, da ist sie. Jetzt fällt auf, dass diese Flächeninhaltsfunktion immer steigt. Das ist kein Wunder, denn von hier bis hier kommt ja immer mehr Fläche hinzu. Man kann sich jetzt fragen, wie stark steigt die Flächeninhaltsfunktion an? Die steigt so stark an, von hier bis hier zum Beispiel, wie dieser Funktionswert ist. Natürlich, es kommt ja auch diese Fläche hinzu. Wenn der Funktionswert groß ist, wie z.B. hier, steigt die Flächeninhaltsfunktion von da bis da stark an. Wenn der Funktionswert klein ist, wie hier, steigt die Flächeninhaltsfunktion wenig an. Sie steigt immer genau so viel, wie der Funktionswert groß ist. Und das ist nichts anderes als die Steigungsbestimmung, das ist die Ableitung, die Ableitung dieser Flächeninhaltsfunktion ergibt also jeweils diesen Funktionswert. Damit ist der Hauptsatz geklärt, bis hier hin. Das ist eine Funktion, deren Ableitung diese Ausgangsfunktion ergibt und wenn ich die gesamte Fläche bestimmen will, muss ich einfach nur diesen Funktionswert bestimmen. Die Frage ist jetzt, was ist mit diesem -F(a)? Das hat folgenden Sinn: Wenn hier das b ist und ich möchte aber nicht von Anfang der Funktion bis b die Fläche bestimmen, sondern nur von a bis b, dann wäre jetzt die Frage, wie mache ich das? Dann interessiere ich mich also nur für diese Fläche hier. Dann kann ich bei der Flächeninhaltsfunktion hier, einfach das abziehen, was vor dem a ist, nämlich das hier alles. Dann erhalte ich diese Flächeninhaltsfunktion. Und von hier bis da ist genau so viel Fläche unterhalb des Funktionsgraphen. Damit ist der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung vollständig geklärt. Mehr steckt wirklich nicht dahinter. Bis dann. Tschüss.

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4 Kommentare
  1. Default

    Perfektes Viedeo für eine visuelle Lernerin wie mich;)

    Von Tantan90, vor mehr als 4 Jahren
  2. Default

    Top!Weiter so

    Von Mac81, vor fast 7 Jahren
  3. Default

    "Farben wie ein Schlag in die Fresse "...

    Genial (;

    Von Robin Ms, vor fast 7 Jahren
  4. Stephan1

    Eines meiner absoluten top-Videos! Klasse!

    Von Stephan Bayer, vor mehr als 7 Jahren