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Transkript Integrale ausrechnen – Einführung

Hallo, nachdem es in den letzten beiden Videos dieser Reihe sehr theoretisch zuging, wollen wir jetzt endlich mal ein paar Integrale ausrechnen. Das ist die Formel aus dem Hauptsatz, die werden wir jetzt jedes Mal benutzen und als kleinen Zwischenschritt schreiben wir da so eine Kiste. In die Kiste schreiben wir die Stammfunktion in Abhängigkeit von x und an den rechten Rand der Kiste schreiben wir oben die obere Grenze und unten die untere. Und dann setzen wir eben die obere Grenze erst ein in die Stammfunktion und ziehen dann davon die untere Grenze, in die Stammfunktion eingesetzt, ab. Unsere erste Aufgabe ist das Integral von 0 bis 2 von x2 dx. Als Vorschlag für eine Stammfunktion geb ich hier mal x3, denn da wird ja beim Ableiten aus der x3 ein x2. Nur leider steht da noch der Faktor 3 davor. Aber wenn wir mit 1/3 multiplizieren würden, dann würde sich das ja wieder aufheben. Also multiplizieren wir auch F(x) mit 1/3 und dann haut es hin, dann ist die Ableitung x2. Wir machen also den Kasten auf, schreiben 1/3 x3 rein und Kasten zu und die Grenzen dran. Dann setzen wir für x zuerst 2 ein und dann 0, ziehen das voneinander ab und das ergibt dann 8/3. Mehr ist das eigentlich nicht. Als Nächstes nehmen wir das  Integral von ex dx von 0 bis ln 5. So, da ex sich selber als Ableitung hat, hat es auch sich selber als Stammfunktion, ist also besonders einfach die Stammfunktion, da können wir also schreiben [ex] ln 5 und unten 0, dann setzen wir ln 5 ein, minus e0, das ergibt dann also 5 - 1 und das ist 4. Als Nächstes nehmen wir das Integral von der kontanten Funktion 3 dx in den allgemeinen Grenzen von a bis b. Und da machen wir uns mal eine Skizze, denn da kann man sich schon vorher überlegen, was denn eigentlich für eine Fläche rauskommen muss. Das ist nämlich ein Rechteck mit der Breite b - a und der Höhe 3. So, welche Funktion hat als Ableitung 3, na, das ist 3x. Die Stammfunktion ist also 3x. Also [3x] unten das a, oben das b. Dann setzen wir ein, also 3b - 3a. Da können wir die 3 ausklammern, und dann kommt auch wirklich das Gleiche raus, wie was wir uns an der Zeichnung überlegt haben. So, als Letztes nehmen wir noch das Integral von -4 bis 1 von (-x) dx. Auch hier machen wir noch mal eine Skizze, da liegt nämlich ein Teil der Fläche oberhalb der x-Achse und der andere unterhalb. Gemeint ist hier die Fläche mit dem blauen Punkt zwischen dem Graphen und der x-Achse. Von beiden können wir den Flächeninhalt elementar bestimmen. A1 = 4 × 4/2, also 8 und A2 ist ½. Und ich möchte daran mal demonstrieren, dass das Integral wirklich die obere Fläche addiert und die untere subtrahiert. So, Stammfunktion könnte - x2 sein. Das gibt beim Ableiten aber -2x, also nehme wird noch ½, damit die Stammfunktion stimmt. Schreiben wir also - ½ x2 in die Klammer, unten die -4, oben die 1, und dann setzen wir ein - ½ ×12 - (- c (-4)2). Da sollte man aufmerksam sein, bei so einem Integral, da kann man sich manchmal schon ein bisschen verrechnen mit den ganzen Minuszeichen. So was kommt raus? - ½ - 16/2, also - 8 wird subtrahiert, also +8. Und tatsächlich wird also 8 addiert und  ½ abgezogen. Kommt also 7,5 raus, obwohl die Fläche insgesamt 8,5 ist. Ja, das war's erst mal wieder, und das nächste Mal lernen wir systematisch ein paar Stammfunktionen kennen.

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12 Kommentare
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    Sehr gute Videos von Ihnen, Herr Taube.
    Einige Lehrer benötigen für die Vermittlung von Mathethemen Wochen bzw. Monate und hier kann man 5-6 Themen aufeinmal, an einem Tag lernen. Großen Respekt !

    Von A Bedjan, vor fast 2 Jahren
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    Hallo Soraya 2,

    das ist das Gleiche. In 3 x hoch2 mal 1/3 kann man die Faktoren vertauschen: 3x hoch2 mal 1/3 = 3 mal 1/3 mal x hoch 2 = 1 mal x hoch 2 = x hoch 2.

    Von Steve Taube, vor mehr als 2 Jahren
  3. Default

    Warum lautet die Ableitung der Stammfunktion bei der ersten Aufgabe 3x hoch2 mal 1/3 und nicht x hoch 2? Oder ist das das gleiche?

    Von Soraya 2, vor mehr als 2 Jahren
  4. Bewerbungsfoto

    Hallo Constanze,

    du kannst zum Beispiel die Probe machen, indem du 2/x ableitest. Die Ableitung von f(x)=1/x ist eine Grundableitung, es gilt f'(x)= -1/x². Das kann man sich auch mit Potenzgesetzen und der Ableitungsregel für Potenzen erklären: f(x)= 1/x = x hoch (-1). Nach der Potenzableitungsregel gilt dann f'(x) = (-1)*x hoch (-2) = -1/x². Wenn man das verstanden hat, kann man auch f(x) = 2/x ableiten. Man multipliziert einfach mit dem Faktor 2.
    Ich hoffe, es hat geholfen.

    Von Steve Taube, vor mehr als 2 Jahren
  5. Default

    Warum ist die Stammfunktion von -2: X^2 = 2:X ?

    Von Constanze Budde, vor mehr als 2 Jahren
  1. Default

    Sehr verständliches Video, vielen Dank!

    Von A Ottenschlaeger, vor mehr als 3 Jahren
  2. Default

    Ich finde die Videos sind super und SEHR KLAR! Hier wird tief und nachvollziehbar erklärt, was man danach ausrechnen soll.

    Von Milena B., vor mehr als 3 Jahren
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    Unterschiedliche Ergebnisse ergeben sich natürlich auch, wenn die Funktion komplett unterhalb der x-Achse verläuft.

    Von Steve Taube, vor fast 4 Jahren
  4. Bewerbungsfoto

    Hallo Lars H.,
    In der Aufgabe sind die Grenzen "-1" und "3" gemeint. Zufällig hat das Integral von -1 bis 3 den Wert 8, was genau der Fläche entspricht, die vom Graphen der Funktion, der x-Achse und den Geraden x = 1 und x = 3 eingeschlossen wird.

    Nun zu deiner Frage:
    Das reine Integral und die Flächenformel (also Integral im Betrag) liefern genau dann gleiche Ergebnisse, wenn die Funktion, die integriert wird, sich in den Integrationsgrenzen komplett oberhalb der x-Achse befindet. Du hast z.B. |¹∫³2x dx|=8 berechnet. Das entsprechende Integral ∫(von 1 bis 3) 2x dx hat auch den Wert 8, weil die Funktion f(x) = 2x zwischen x=1 und x=3 oberhalb der x-Achse liegt.
    Unterschiedliche Ergebnisse ergeben sich, wenn die Funktion zwischen den Integrationsgrenzen die x-Achse schneidet, z.B. ∫(von -1 bis 3) 2x dx hat den Wert 8. Die Fläche, die die Funktion zwischen x=-1 und x=3 mit der x-Achse einschließt, ist aber 10.
    Woran liegt das? Stell dir vor, dass das Integral alle Funktionswerte, die zwischen den INtegrationsgrenen liegen, aufsummiert. Dabei werden positive Funktionswerte addiert und negative subtrahiert. D.h. wenn du die Funktion 2x von -1 bis 1 integrierst, erhältst du 0 als Ergebnis, weil genau so viel abgezogen wie addiert wird. Von 1 bis 3 erhältst du dann 8. Deswegen hast du bei deiner Rechnung 8 erhalten. Wenn du nun die Fläche berechnen willst, musst du zuerst überprüfen, wo die Funktion zwischen den Integrationsgrenzen Nullstellen hat. Dann musst du von Nst zu Nst jeweils ein einzelnes Integral MIT den Betragsstrichen berechnen. So bist du sicher, dass sich nicht einzelne Stücke "unterwegs" gegeneinander aufheben und dass die Stücke, die komplett im Negativen liegen durch den Betrag positiv "gemacht" werden. Das ist extrem wichtig: Bei Flächenberechnungen immer nur von Nst zu Nst integrieren und bei jedem Integral die Betragsstriche setzen.

    Viel Erfolg! Steve

    Von Steve Taube, vor fast 4 Jahren
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    Bezug auf die Testfrage.
    Ich habe die Frage mit Hilfe der Formel:
    A= |S(oben:a und unten:b) f(x)dx |
    ausgerechnet. Meine Lösung (die richtig ist) lautet 8 F.E..

    Ich habe doch aber die Flache (A) berechnet, was ich ja gar nicht sollte...

    Wo ist der Unterschied zwischen einem Integral (welcher in dieser Aufgabe 8 ist) und einer Fläche (welche in dieser Aufgabe auch 8 F.E. ist)?

    Von Lars H., vor fast 4 Jahren
  6. Default

    hm, also mir hats sehr geholfen. danke. :)

    Von Hannah Petrat, vor mehr als 4 Jahren
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    Deine Videos sind sooo unklar!!!!
    Tust einfach auswendig weiter ohne erklären! (was,von wo,warum...)!!!
    Die Videos von Martin sind 10 Punkte und 100% zum verstehen!

    Von Kaktuslinz, vor mehr als 4 Jahren
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