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Transkript Kreuzprodukt – Eigenschaften

Ihr seid herzlich willkommen zu einer kleiner Einführung in das Vektorprodukt im R3. Was man sich erst einmal merken sollte: Das Vektorprodukt ist nur für 2 Vektoren im R3 definiert. Und das Ergebnis ist immer ein Vektor. So, schauen wir uns die Definitionen mal an. Wir nehmen 2 Vektoren a1, a2, a3, b1, b2, b3 und das Ergebnis ist dann a2 b3 - a3 b2, a3 b1 - a1 b3 und a1 b2 - a2 b1. So, wie soll man sich das jetzt merken? Man schreibt sich den 1. Eintrag jedes Vektors nochmal unten drunter. Um den 1. Eintrag zu erhalten, nimmt man von den 2. und 3. Einträgen gewissermaßen die Determinante. Deswegen heißt das Produkt auch Kreuzprodukt, weil man da ja über Kreuz rechnet. Für den 2. Eintrag rutschen wir 1 nach unten und bilden die Determinante der 3. und 1. Zeile. Und für den 3. Eintrag machen wir das gleiche mit der 1. und 2. Zeile. Bilden wir zum Beispiel mal das Kreuzprodukt dieser beiden Vektoren. Wir schreiben die obersten Einträge nochmal drunter und rechnen in der 1. Zeile: 0×1-(-1)×3. In der 2.: 3×2-1×1. Und in der 3.: 1×(-1)-2×0. Das ergibt: (3, 5, -1). Der Ergebnisvektor steht senkrecht auf beiden gekreuzten Vektoren. Das kann man mit dem Skalarprodukt hier mal nachprüfen. Braucht man also irgendwann mal zu 2 Vektoren einen 3., der senkrecht auf beiden steht, so bildet man einfach deren Kreuzprodukt. Achtung! Das Kreuzprodukt ist nicht kommutativ, sondern es gilt: a Kreuz b = -b Kreuz a. Wer Lust hat, kann das ja mal nachrechnen zu Hause. Das Kreuzprodukt steckt auch noch in 2 sehr hilfreichen Formeln. Zum Beispiel für die Fläche eines Parallelogramms. Das von den Vektoren a und b aufgespannte Parallelogramm hat die Fläche: Betrag des Kreuzprodukts von a und b. Volumen des Spats. Sucht man das Volumen des Spats, der von den Vektoren a, b und c aufgespannt wird, so nimmt man das Kreuzprodukt der Vektoren a und b, und von dem Ergebnisvektor das Skalarprodukt mit dem Vektor c. Das ist dann eine Zahl. Ja, das war's auch schon zum Kreuzprodukt.

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7 Kommentare
  1. Largebg

    sehr gut

    Von Riya Riya, vor etwa 2 Jahren
  2. Bewerbungsfoto

    Hallo Zana,
    welches Vektorprodukt meinst du denn und was kommt da bei deinem Taschenrechner raus??? Sei dir sicher, dass du im TR auch wirklich die Funktion "Vektorprodukt" (oder "Kreuzprodukt") gewählt hast.

    Von Steve Taube, vor mehr als 2 Jahren
  3. Default

    wieso kommt beim vektorprodukt was andres raus als beim taschenrechner ????

    Von Zana Bvb, vor mehr als 2 Jahren
  4. Bewerbungsfoto

    Was ein Spat ist, siehst du hier.
    http://de.wikipedia.org/wiki/Parallelepiped
    Er heißt auch Parallelepiped.

    Von Steve Taube, vor fast 3 Jahren
  5. Default

    was ist denn ein spat?

    Von Ballerbenni, vor fast 3 Jahren
  1. Default

    Vielen dank. Die Stelle mit dem senkrechten Vektor hat mir sehr geholfen:)

    Von Black Brush, vor mehr als 4 Jahren
  2. Dmbtest

    Müsste die Antwort nicht a x b = (3,-12,9) lauten?

    Von Paschu, vor mehr als 4 Jahren
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