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Transkript Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen – Standardform

Hallo, lineare Gleichungssysteme mit 2 Gleichungen und 2 Variablen - der Definition 2. Teil folgt jetzt. Einmal, wenn ein Gleichungssystem so aussieht wie hier: Zahl×x+Zahl×y=weitere Zahl und unten noch mal in der gleichen Form - nicht unbedingt mit den gleichen Zahlen, dann ist es ein lineares Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 2 Variablen. Aber es gibt auch die Möglichkeit, das Gleichungssysteme anders aussehen. Trotzdem sind sie lineare Gleichungssysteme mit 2 Gleichungen und 2 Variablen, wenn du sie nämlich zum Beispiel durch Äquivalenzumformung auf diese Form bringen kannst. Und dazu möchte ich mal ein Gleichungssystem zeigen, das jetzt nicht diese Form hat. Und zwar ist es x+x-3y-1=4x+y-½. Du siehst, es ist ziemlich willkürlich gewählt hier alles. Und wir brauchen eine 2. Gleichung: y=2x+3. Hier unten, das kennst du schon, so eine Gleichung, das ist eine lineare Funktionsgleichung - die Gleichung einer linearen Funktion. Das ganze hier ist ein Gleichungssystem und wir können es auf diese Form bringen, durch Äquivalenzumformungen - hier fass ich zum Beispiel alle x zusammen, weil ich die auf der linken Seite stehen haben möchte. x+x=2x - hier stehen 4x - ich zieh auf beiden Seiten 4x ab. Es bleiben übrig auf der linken Seite -2x. Hier habe ich ein +y, hier habe ich -3y. Damit das y nicht mehr auf der rechten Seite ist, denn wie du hier siehst, auf der linken Seite ist nur das y und rechts ist keins. Deshalb möchte ich das y hier rechts auch nicht mehr haben. Y abziehen auf beiden Seiten, das hilft: Dann habe ich also hier -4y.Ich mache hier mal einen Trennstrich, damit du siehst, dass das eine Gleichungssystem bis hier geht. Und hier schreibe ich das noch mal hin, aber umgeformt. Ich möchte hier diese Zahl alleine nicht stehen haben, diese -1. Also rechne ich +1 auf beiden Seiten, es kommt raus: +½ auf der rechten Seite und +½, da lässt man das Pluszeichen natürlich weg. Das ist die obere Gleichung umgeformt, damit sie diese Form erhält. Die Untere kann ich auch umformen. Was muss ich machen? Hier steht ja eine 3 auf der rechten Seite, die kann da bleiben. 2x auf der rechten Seite stören mich noch, ich rechne auf beiden Seiten -2x, dann steht das hier auch. Das y ist schon da, da stelle ich mir noch eine 1 dazu. Das mache ich deshalb, weil du hier ja vor dem y auch Farbflächen siehst. Wenn da nichts steht, kannst du eine 1 schreiben, dann steht da eine Zahl. So, das ist jetzt das untere Gleichungssystem, ist äquivalent zu dem oberen. Das bedeutet, die Lösungsmenge ist gleich. Es ist ein lineares Gleichungssystem mit dieser Form hier. Aber auch das obere Gleichungssystem, diese beiden Gleichungen, das ist ein lineares Gleichungssystem mit 2 Variablen und 2 Gleichungen. Ich möchte eins noch zeigen: x=0, 1=y. Auch das hier ist ein lineares Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 2 Variablen. Mit etwas Böswilligkeit hat es diese Form. Auch Böswilligkeit braucht man manchmal in der Mathematik. Und zwar mache ich das jetzt folgendermaßen: Ich brauche das x auf der rechten Seite, da steht es schon. Weil keine Zahl davor steht, denke ich mir eine 1 dazu. Dann steht da 1×x. Ich sehe in der ersten Gleichung kein y, trotzdem ist es da. Ja, hier sind wir im Wunderland der Mathematik, da ist so was möglich. Dinge existieren, die du nicht sehen kannst - nämlich 0×y steht da. Das ist ja immer null, und wenn etwas immer 0 ist, dann kann man es auch in der Addition weglassen. Das ist hier anscheinend gemacht worden - da ist es wieder aufgetaucht. Jetzt habe ich auf der Seite hier bei der unteren Gleichung auf der linken Seite kein x und kein y, deshalb sage ich einfach: Da steht 0×x - das darf man machen, ist aber keine Äquivalenzumformung - trotzdem erlaubt. Jetzt mache ich mit der Gleichung eine Äquivalenzumformung, ich werde auf beiden Seiten y abziehen, dann steht es hier auf der linken Seite. Auf beiden Seiten muss ich noch 1 abziehen, dann steht -1 auf der rechten Seite. Und damit habe ich also hier ein lineares Gleichungssystem - Ich habe eine Sache vergessen: Es soll ja nicht nur -y da stehen, sondern eine richtige Zahl. Eine 1, warum nicht? So, jetzt habe ich aber endgültig die Form, die ich haben wollte. Hier der Beweis: Es ist ein lineares Gleichungssystem mit 2 Variablen und 2 Gleichungen. Aber meistens werden wir uns natürlich mit Gleichungssystemen beschäftigen, die nicht so komisch sind, sondern ganz normal sind. Also viel Spaß damit. Bis bald. Tschüss.

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4 Kommentare
  1. Default

    @Roxanafber: y=mx+t ist eine andere Form von y=mx+n oder auch y=mx+b. Diese Form ist die Grundform der linearen FUNKTION glaube ich. Dieses Video handelt ja von linearen GLEICHUNGSSYSTEMEN;) Deswegen glaube ich stimmen die Formeln nicht überein :)

    Von Lea 25, vor mehr als 2 Jahren
  2. Default

    Tolles Video, .. aber leider verstehe ich es immer noch nicht.
    Wir haben eine schreckliche Lehrerin..
    Wir benutzen die Formel "y = mx + t" welche ich aber leider nirgends finde..

    Von Roxanafber, vor etwa 3 Jahren
  3. Default

    Hallo! Muss es nicht bei der zweiten Gleichung -2x+1y= 3 (statt 2) lauten?

    Von Achimo, vor etwa 4 Jahren
  4. Bild166

    Video ist echt super habe alles verstanden!!! :D

    Von Celina M., vor mehr als 4 Jahren