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Transkript Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen – Zusammenfassung

So, dann schaut mal rein zu linearen Gleichungssystemen mit 2 Unbekannten und wir wollen uns angucken, was es da für Lösungsverfahren gibt und wie die Lösungsmengen aussehen können. Wie sieht so ein Gleichungssystem erst mal aus? Wir haben hier 2 Gleichungen und 2 Unbekannte. Dieses System heißt homogen, weil die rechten Seiten beide 0 sind. So ein homogenes System hat immer mindestens immer 1 Lösung, nämlich die Nulllösung. Also wo x und y beide 0 sind. Das ist ja klar, wenn man die einsetzt, dass dann überall nur Nullen rauskommen. Es könnte aber auch noch mehr Lösungen geben und um das rauszufinden, wenden wir gleich mal das 1. von 3 Verfahren an, nämlich das Einsetzungsverfahren. Beim Einsetzungsverfahren sucht man sich eine der beiden Gleichungen aus und stellt sie nach einer der Variablen um. Hier nehmen wir zum Beispiel die 1. Gleichung und stellen sie nach y um. Jetzt kommt der Einsetzungsschritt. Das, was man für y rausbekommen hat, setzt man in der anderen Gleichung für y ein, sodass man da dann nur noch x Terme hat. Die Gleichung kann man dann vereinfachen und nach x umstellen. Hier kommt jetzt raus -x-6x=0, also -7x=0, also so ist x=0. So und wenn man den x-Wert hat, geht man zurück zu der Gleichung, die man für y hatte, und setzt den Wert dort ein, sodass man dann also den y-Wert rauskriegt und hier ist der y-Wert auch 0. In diesem Fall ist das also wirklich die einzige Lösung von dem System. So, wie sieht das aber nun aus, wenn es mehrere Lösungen gibt? Dazu schauen wir uns wieder ein Beispiel an und lösen das mit dem Additionsverfahren. Das sind unsere beiden Gleichungen. Das System ist wieder homogen. So und jetzt versucht man, indem man die Gleichungen geschickt addiert, eine Unbekannte loszuwerden. Wenn man hier zum Beispiel die 1. mit 3 multipliziert, entsteht 6x-3y=0 und wenn man das dann mit der 2. Gleichung addiert, fallen die x-Terme weg. Hier fallen jetzt sogar die y-Terme weg, sodass am Ende nur noch 0 = 0 übrig bleibt und wenn das passiert, dann läuten sofort die Glocken, dann weiß man, okay hier gibt es unendlich viele Lösungen. Nun fragt sich, wie man die Lösung dann aufschreibt, ja? Im Prinzip kann man jede der beiden Gleichungen nehmen und die beschreibt die Lösungsmenge schon genau. Wenn wir zum Beispiel die 1. Gleichung nehmen und die nach y umstellen, entsteht y=2x und das ist ja eine Gerade. Und wenn wir die Gerade zeichnen, dann liegen darauf alle Lösungen des Gleichungssystems, also diese Punkte hier zum Beispiel. So bis jetzt haben wir aber nur homogene Systeme gelöst, deswegen machen wir jetzt daraus mal ein inhomogenes System und lösen das mit dem Gleichsetzungsverfahren. Beim Gleichsetzungsverfahren stellt man erst mal beide Gleichungen nach der gleichen Unbekannten um. Das ist also erst mal ein bisschen mehr Arbeit und dann hat man, wie hier jetzt eben 2 Ausdrücke für y und kann die also gleichsetzen. Die erhaltene Gleichung stellt man dann nach der anderen Unbekannten um. Hier kommt dann raus, x=-1 und das setzt man dann wieder in eine der beiden Gleichungen, die man ja für y hat, ein und rechnet y aus. Hier kommt dann 2 raus. x=-1, y=2 ist also hier die eindeutige Lösung. Jetzt möchte ich zeigen, woran man erkennt, wenn es mal gar keine Lösung gibt und dazu nehmen wir mal dieses System und üben daran gleich noch das Einsetzungsverfahren. Wir stellen die 2. Gleichung nach x um. Was wir für x raus haben, setzen wir ja in die 1. Gleichung ein. So, und jetzt wird es spannend, da entsteht nämlich 3y-3y=1, also 0 = 1 und da weiß man dann, okay hier gibt es keine Lösung, denn das ist ja offensichtlich falsch. So, das ist also egal, bei welchem Verfahren das passiert, wenn man auf eine Gleichung kommt, die so aussieht: a=0, wobei a aber eben eine Zahl  ist, die nicht 0 ist, dann gibt es keine Lösung. So, jetzt möchte ich das noch mal zusammenfassen. Wir haben also homogene Systeme gesehen, die haben immer die Nulllösung und eventuell noch viele mehr, die man dann als Gerade darstellen kann und inhomogene Systeme, das sind die, wo rechts nicht überall Nullen stehen. Die haben entweder eine eindeutige Lösung oder unendlich viele, die man dann auch wieder auf einer Geraden darstellen kann oder eben gar keine Lösung, wenn zum Beispiel so eine Gleichung wie 1=0 oder 5 = 0 oder so was entsteht. Und zum Lösen solcher Systeme haben wir ja eben 3 Verfahren kennengelernt. Das Einsetzungsverfahren, das Additionsverfahren und das Gleichsetzungsverfahren, wobei mein persönlicher Favorit das Einsetzungsverfahren ist. Okay, das war es.

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31 Kommentare
  1. Bewerbungsfoto

    Hallo Valentina,
    es gibt noch Videos zur Termumformung, z.B. das hier
    http://www.sofatutor.com/mathematik/videos/gleichungsumformungen-grundrechenarten .
    Aber ansonsten ist dieses Video das einzige zu linearen Gleichungssystemen mit 2 Variablen von mir.
    Viel Erfolg! Steve

    Von Steve Taube, vor etwa 2 Monaten
  2. 18442 5original

    Gut, dass es schnell geht, liegt daran, dass es eine Zusammenfassung ist. Gibt es von Dir aber auch Videos zu diesem Thema, wo du mehr in die Thematik eingehst oder nur diese ZS?

    Von Valentina Weiss, vor etwa 2 Monaten
  3. Thomas

    @Mauricio Carvalho: Wichtig ist, dass du die verschiedenen Verfahren kennst und weißt, wann welches am besten geeignet ist, um ein lineares Gleichungssystem zu lösen.
    In deinem Beispiel würde sich beispielsweise das Gleichsetzungsverfahren anbieten, denn beide linearen Gleichungen sind nach der gleichen Variablen umgestellt (y).
    I : y= -x+7
    II: y= 0,5x+1 (ich denke du hast hier das x vergessen)
    setzt man diese beiden linearen Gleichungen gleich (y=y), erhält man:
    -x+7 = 0,5x+1
    Nun musst du diese Gleichung nach x umstellen (z.B: -1 und +x auf beiden Seiten rechnen) und erhältst:
    6 = 1,5x oder umgedreht 1,5x = 6
    Nun dividiert man beide Seiten der Gleichung durch 1,5 und erhält:
    x=4
    Anschließend musst du noch den passenden Wert für y berechnen, dazu setzt du x=4 in eine der beiden Ausgangsgleichungen ein. (Du kannst x=4 auch in beide Gleichungen einsetzen, kommt bei beiden der gleiche Wert für y heraus, weißt du, dass dein Ergebnis korrekt ist.)
    I : y= -4+7 = 3
    II: y= 0,5*4+1 = 3
    Die Lösungsmenge dieses linearen Gleichungssystems ist also: L={(4;3)}

    Von Thomas Scholz, vor 9 Monaten
  4. Default

    Ich habe das noch nicht richtig verstanden, also hier eine Beispielaufgabe:
    y= -x+7
    y=0,5+1
    Wie würde man diese Lineare Gleichung jetzt lösen/berechnen?
    Lg

    Von Mauricio Carvalho, vor 10 Monaten
  5. Default

    Dankeschön :)

    Von Jolina Stellwagen, vor etwa einem Jahr
  1. Default

    Hallo,
    vielen Dank. Jetzt kenne ich mich endlich aus!!!

    Von Van Zweden, vor mehr als einem Jahr
  2. Bewerbungsfoto

    Hallo nochmal,
    wenn du die Gleichung hast, z.B. y = 3x -2, dann ist die einfachste Methode, um einen Punkt zu ermitteln, für x einfach einen Wert einzusetzen, z.B. x = 0, dann erhältst du für y = -2. Dann ist also der Punkt (0; -2) auf der Geraden, den zeichnest du schonmal ins KS (Koordinatensystem). Auf die gleiche Weise ermittelst du einen zweiten Punkt, der auf der Geraden liegt (wähle einfache Zahlen). Wenn du beide Punkte hast, brauchst du sie nur noch verbinden.
    Zum Schnittpunkt: Beim zeichnerischen Ermitteln eines Schnittpunktes geht es ja nicht ums Errechnen, sondern nur ums Ablesen. D.h. wenn du auf die oben beschriebene Weise zwei Geraden gezeichnet hast und diese sich schneiden, liest du einfach den Schnittpunkt ab. Dies funktioniert allerdings nur, wenn der Schnittpunkt Koordinaten hat, die man auch gut ablesen kann. (Einen Schnittpunkt wie (0,45; 3,125) wird man nicht exakt ablesen können.)
    Man kann auch an der Geradengleichung, wenn sie nach y aufgelöst ist, direkt den y-Achsenabschnitt und die Steigung ablesen:
    Für y = -2x + 1 ist zum Beispiel die Steigung -2 und der y-Achsenabschnitt 1. Der Faktor vor dem x ist immer die Steigung und die Zahl ohne das x ist der y-Achsenabschnitt. Meistens schreibt man das allgemein so: y = m*x + n oder y = m*x + b (Beides ist gebräuchlich). Dann sit also m die Steigung und b bzw. n der y-Achsenabschnitt.
    Um den Schnittpunkt zu ERRECHNEN, wendest du eines der drei Verfahren für Lineare Gleichungssysteme an. Wenn du beide Geradengleichungen schon nach y aufgelöst hast, also z.B.:
    1. Gerade: y = 3x + 4
    2. Gerade: y = -x - 2,
    dann bietet sich das Gleichsetzungsverfahren an.

    Von Steve Taube, vor mehr als einem Jahr
  3. Default

    Hallo,
    vielen Dank für die schnelle Antwort. Ja mit dem zeichnen habe ich Probleme. Wie kann ich aus der Gleichung ablesen welche Punkte ich als Orientierung habe. Steigung, wie geht das? Habe zwar schon Videos gefunden, aber wirklich umsetzen kann ich es nicht.
    Und wie errechne ich den Schnittpunkt sofern es einen gibt? Mit einem der 3 Verfahren zur Lösung einer Gleichung???
    Danke das Sie sich dafür Zeit nehmen!

    Von Van Zweden, vor mehr als einem Jahr
  4. Bewerbungsfoto

    Hallo,
    zur graphischen Lösung:
    Jede der Gleichungen steht für eine Gerade im Koordinatensystem.
    Stelle jede Gleichung so um, dass auf der einen Seite nur noch y steht, also so "y = ...". Das ist dann die Gleichung einer linearen Funktion. Der Graph einer linearen Funktion ist immer eine Gerade. Diese Gerade musst du ins Koordinatensystem zeichnen. (Falls du nicht weißt, wie das geht, schreib nochmal.) Zeichne also so beide Gersden in das Koordinatensystem.
    1. Wenn sie sich schneiden, sind die Koordinaten des Schnittpunktes die Lösung für x und y.
    2. Wenn sie parallel verlaufen, hat das Gleichungssystem keine Lösung.
    3. Wenn sie aufeinander liegen, wenn es also zweimal die gleiche Funktion ist, dann sind alle Punkte der Geraden Lösungen.

    Von Steve Taube, vor mehr als einem Jahr
  5. Default

    Super erklärt!!
    Habe nur noch Probleme wenn Brüche vorkommen, und wie geht das mit der graphischen Lösung?
    Vielen Dank hat mir jetzt schon super geholfen!!

    Von Van Zweden, vor mehr als einem Jahr
  6. Default

    Sehr gut erklärt, tolles Video, hab alles verstanden, Vielen Dank!

    Von Lanou 70, vor mehr als einem Jahr
  7. Bewerbungsfoto

    Hallo Achim,
    ich bin mir nicht sicher, ob es auch ein Video mit 3 Unbekannten gibt. Zumindest habe ich auf Anhieb keins gefunden. Du kannst aber in der Rubrik "Gleichsetzungsverfahren, Einsetzungsverfahren und Additionsverfahren" nachschauen, ob du fündig wirst.
    Viel Erfolg!

    Von Steve Taube, vor fast 2 Jahren
  8. Default

    Gibt es auch ein Video mit 3 unbekannten

    Von Achimgerlach, vor fast 2 Jahren
  9. Eddi

    danke hat mir sehr geholfen mach weiter so :)

    Von Simon D., vor fast 3 Jahren
  10. Bewerbungsfoto

    Hallo Cicero,

    vielleicht hast du eine konkrete Frage, dann kann ich dir die beantworten. Wenn es dir allgemein schwer fällt, überhaupt etwas zu verstehen, dann empfehle ich dir die Videos von Martin Wabnik zur Einführung in lineare Gleichungssysteme. Ich weiß, dass er das Thema in einer Videoreihe von 0 an ganz genau und langsam erklärt. Vielleicht kommst du damit besser zurecht.

    Viel Erfolg!

    Von Steve Taube, vor fast 3 Jahren
  11. Default

    das ist extrem schwer und ich verstehe das überhaupt nicht, weil es 2 gleichungen gibt und diese irgendwie verbindet ich verstehe das aber trotztdem nicht!

    Von Cicero, vor fast 3 Jahren
  12. Bewerbungsfoto

    Ich gebe dir einen HInweis.
    x ist die Anzahl der Tage, an denen er durch den Wald gelaufen ist, y ist die Anzahl der Tage, an denen er entlang des Feldweges gelaufen ist. Versuche nun zwei Gleichungen aufzustellen, die x und y enthalten.

    Von Steve Taube, vor etwa 3 Jahren
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    Hallo Felicia,

    ich nehme inerhalb 2 Wochen hat er insgesamt 60km zurückgelegt oder?

    Von Steve Taube, vor etwa 3 Jahren
  14. Default

    ich habe so eine dumme hausaufgabe :Karl ist begeisteter Jogger
    Jeden Tagg bei wind und wetter läuft er entweder eine 6,0 km lange strecke durch den wald oder eine 4,0 km lange strecke entlang eienes feldweges. innerhalb von 2 wochen hatz er beim jogging insgesamt 6,0 km zurück geöegt.
    an wie vielen tagen war karl im wald joggen ?
    HINWEIS: stelle eine lgs auf und löse es rechnerisch

    Von Felicia Zepp, vor etwa 3 Jahren
  15. Bewerbungsfoto

    Hallo Lusogermany,

    vermutlich hast du irgendwo nicht äquivalent umgeformt oder dich verrechnet. Es ist nicht ganz so einfach. Ich habe im ersten Schritt die zweite Gleichung durch a geteilt (unter der Bedingung, dass a ungleich 0 ist), das Ergebnis II* genannt und dann Gleichung II* von Gleichung I abgezogen.
    Für a ungleich 0 gilt:

    I a + b = x + y
    II* 2b = x + b/a y

    Nach der Subtraktion erhält man also

    I a + b = x + y
    II** a - b = y(1-b/a)

    Gleichung II** kann man nun nach y auflösen. Achte darauf, dass dabei weitere Bedingungen an a und b gestellt werden müssen...

    Von Steve Taube, vor etwa 3 Jahren
  16. Default

    Wie kann ich diese Rechnung ausrechnen?
    I a+b = x+y
    II 2ab = ax+by

    habe das Additionsverfahren benutzt und komme auf y = -a(hoch)2 die richtige Lösung ist aber y = a

    Von Lusogermany, vor etwa 3 Jahren
  17. Bewerbungsfoto

    Wenn x = -1 ist, dann ist -x = -(-1) = 1 und damit -x + 2y = 1 + 2 * 2 = 1 + 4 = 5.

    Alles klar?

    Von Steve Taube, vor mehr als 3 Jahren
  18. Default

    Wenn x=-1 und y=2, wie kann -x + 2y = 5 sein?
    I 3x + y = 3*(-1)+2 = -1
    II -x + 2y = 5 = -1 + 2 * 2 = 3

    oder stehe ich auf dem Schlauch?

    Von Elvis, vor mehr als 3 Jahren
  19. Bewerbungsfoto

    Hallo Info 28,

    doch, eine der gegebenen Lösungen stimmt.
    Deine Lösung (0;0) kann nicht stimmen, da sich in der zweiten Gleichung durch Einsetzen 0+0=3 ergeben würde.

    Von Steve Taube, vor mehr als 3 Jahren
  20. Default

    bei der Aufgabenstellung am Ende des Videos, gibt es drei Lösungsmöglichkeiten, die man ankreuzen kann. Denke keine stimmt ausser (0,0)!
    - oder steh ich auf der Leitung?

    Von Info 28, vor mehr als 3 Jahren
  21. Bewerbungsfoto

    Hallo Armin,

    es ist nicht so, dass man von der einen auf die andere Gleichung kommt, sondern diese beiden Gleichungen sind gegeben! Wir suchen eine Zahl x und eine Zahl y, die die folgenden BEIDEN Gleichungen erfüllen: 3x + y = 0 und -x + 2y = 0.
    Der Lösungsweg besteht dann darin, 3x + y = 0 zu y = -3x umzuformen und dies in die zweite Gleichung einzusetzen.

    Viele Grüße

    Von Steve Taube, vor mehr als 3 Jahren
  22. Default

    Mir auch etwas zu schnell zum Mitdenken....ging aber eigentlich noch.
    Nur eins wie kommt man von -x+2y=0 auf y=-3x??????

    Von Armin Bartsch, vor mehr als 3 Jahren
  23. Vibgyor waves

    war irgentwiee n bisschen schnell aber sonst wars gut

    xDD

    Von Chaos, vor mehr als 3 Jahren
  24. Default

    perfekt

    Von Guitarra, vor mehr als 3 Jahren
  25. Ohne titel 101

    Ist ne super Erklärung!

    Von Henri Tomic, vor mehr als 3 Jahren
  26. Default

    Ist okay :).

    Von T Roesel, vor mehr als 3 Jahren
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