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Lineare Gleichungssysteme zeichnerisch lösen – Überblick

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Lineare Gleichungssysteme zeichnerisch lösen – Überblick
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Grundlagen zum Thema Lineare Gleichungssysteme zeichnerisch lösen – Überblick

Wie löst man ein lineares Gleichungssystem grafisch?

Aus dem Begriff des linearen Gleichungssystems kann man ableiten, dass es sich um ein System aus Gleichungen, die linear sind, handelt. Lineare Gleichungen sind Geradengleichungen. Ein lineares Gleichungssystem besteht aus mehreren linearen Gleichungen, die jeweils die gleichen Variablen enthalten. Nur die Lösungen, die alle Gleichungen erfüllen, lösen das ganze System. Dabei gilt:

  • Man benötigt mindestens $n$ Gleichungen zur Bestimmung von $n$ Variablen.

Hat ein Gleichungssystem zwei Variablen, so benötigt es mindestens zwei Gleichungen, um die Variablen zu bestimmen. Wir schauen uns in diesem Text an, wie man zwei Variablen in einem System aus zwei Gleichungen bestimmt. Es wird einfach erklärt, wie man lineare Gleichungssysteme grafisch löst. Der Begriff lineares Gleichungssystem kann auch als LGS abgekürzt werden.

Lineares Gleichungssystem grafisch lösen – Erklärung

Schauen wir uns ein Beispiel an. In einer Klasse sind $30$ Kinder. Für eine Klassenfahrt wurden nun $13$ Zimmer gebucht. Es sind sowohl Zwei- als auch Dreibettzimmer vorhanden. Wir suchen nun die Anzahl der Zwei- bzw. Dreibettzimmer. Die gesuchten Größen werden als $x$ und $y$ bezeichnet. So können wir die Zweibettzimmer als $x$ bezeichnen und die Dreibettzimmer als $y$. Die gegebenen Informationen können nun mithilfe dieser Variablen dargestellt werden.

Für die Anzahl der Betten nehmen wir die Variablen mal die Anzahl der Betten, die in diesem Zimmer enthalten sind, und addieren dann beides. Das Ergebnis muss $30$ sein, da es $30$ Kinder gibt. Die Variable $x$ steht für die Zweibettzimmer, weshalb wir diese mit zwei multiplizieren. Die Variable $y$ steht für die Dreibettzimmer, weshalb wir sie mit drei multiplizieren. Beides addiert ergibt die Gesamtzahl der Betten, die der Anzahl der Kinder entsprechen muss:

$(\text{I}) \quad 2\,x + 3\,y = 30$

Die Anzahl der gesamten Zimmer berechnet sich aus der Addition der beiden Zimmeranzahlen. Da es $13$ Zimmer gibt, ist das Ergebnis $13$:

$(\text{II}) \quad x + y = 13$

Das Gleichungssystem bestehend aus zwei linearen Gleichungen mit zwei Variablen lautet:

$(\text{I}) \quad 2\,x + 3\,y = 30$
$(\text{II}) \quad \, \, x + y = 13$

Eine ausführliche Erklärung zum Aufstellen linearer Gleichungen findest du hier auf der Seite im Video über lineare Gleichungen mit zwei Variablen.
Schauen wir uns nun an, wie man das Gleichungssystem grafisch lösen kann. Dafür sind drei Schritte notwendig.

Schritt eins: Gleichungen in die Normalform bringen
Um das Gleichungssystem zu lösen, werden nun beide Gleichungen in die Normalform gebracht. Diese lautet:

$y =m\,x + b$

Die Variable $m$ steht für die Steigung und die Variable $b$ für den $\bf{y}$-Achsenabschnitt. Hierfür kann zunächst bei der ersten Gleichung $2\,x$ auf die andere Seite gebracht werden. Bei der zweiten Gleichung wird das $x$ auf die rechte Seite gebracht. Wir erhalten:

$(\text{I}) \quad 2\,x + 3\,y = 30 \quad \vert -2\,x$
$(\text{II}) \quad \, \, x + y = 13 \quad \vert -x$

$(\text{I}) \quad 3\,y = -2\,x + 30$
$(\text{II}) \quad \, \, y = -x + 13$

Nun muss die erste Gleichung noch durch drei geteilt werden. Das Gleichungssystem in Normalform lautet:

$(\text{I}) \quad 3\,y = -2\,x + 30 \quad \vert :3$
$(\text{II}) \quad \, \, y = -x + 13$

$(\text{I}) \quad \, \, y = -\frac{2}{3}\,x + 10$
$(\text{II}) \quad y = -x + 13$

Schritt zwei: zugehörige Geraden in ein Koordinatensystem einzeichnen
Als Nächstes zeichnen wir die zugehörigen Geraden in ein Koordinatensystem ein. Die Anzahl der Zimmer mit zwei Betten wird auf der $x$-Achse angezeigt. Auf der $y$-Achse wird die Anzahl der Zimmer mit drei Betten angezeigt. Um die Geraden zu zeichnen, müssen wir nun je zwei verschiedene Werte für $x$ einsetzen und erhalten die zugehörigen $y$-Werte. Setzen wir für $x$ null ein, so erhalten wir:

$(\text{I}) \quad y = -\dfrac{2}{3}\,\cdot 0 + 10 \quad \quad y=10$

Der erste Punkt $\bigl(0 \vert 10\bigr)$ kann eingezeichnet werden. Setzen wir als zweiten Wert für $x$ die Zahl drei ein, so erhalten wir für $y$:

$(\text{I}) \quad y = -\dfrac{2}{3}\,\cdot 3 + 10 \quad \quad y=8$

Der zweite Punkt hat demnach die Koordinaten $\bigl(3 \vert 8\bigr)$. Auch dieser kann in das Koordinatensystem eingezeichnet werden. Durch diese beiden Punkte verläuft die erste Gerade.

Das Gleiche wiederholen wir nun mit der zweiten Geraden. Wir können für $x$ einmal die Zahl drei und einmal die Zahl fünf einsetzen und erhalten:

$(\text{II}) \quad y = -3 + 13 \quad \quad y=10$

$(\text{II}) \quad y = -5 + 13 \quad \quad y=8$

Die Punkte mit den Koordinaten $\bigl(3 \vert 10\bigr)$ und $\bigl(5 \vert 8\bigr)$ können nun eingezeichnet und zur zweiten Geraden verbunden werden.

graphische Lösung linearer Gleichungssysteme

Eine ausführliche Erklärung zum Zeichnen von linearen Gleichungen findest du hier auf der Seite im Video über die grafische Darstellung von linearen Gleichungen.

Schritt drei: Schnittpunkt ablesen
Im letzten Schritt bestimmen wir den Geradenschnittpunkt. Die Koordinaten des Schnittpunkts können direkt abgelesen werden. Der Schnittpunkt liegt bei: $\bigl(9 \vert 4\bigr)$.

Da der $x$-Wert die Anzahl der Zweibettzimmer und der $y$-Wert die Anzahl der Dreibettzimmer angibt, werden neun Zimmer mit zwei Betten und vier Zimmer mit drei Betten benötigt.

Lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen grafisch lösen

Betrachten wir ein weiteres Beispiel. Gegeben ist das folgende Gleichungssystem:

$(\text{I}) \quad \, \, 2\,x + 3\,y = 18$
$(\text{II}) \quad 2\,\bigl(9-x\bigr) + 3\,\bigl(4-y\bigr) = 12$

Wir wollen dieses lineare Gleichungssystem nun grafisch lösen. Zunächst bringen wir beide Gleichungen in Normalform.

$(\text{I}) \quad \, \, y = -\dfrac{2}{3}\,x + 6$

$(\text{II}) \quad y = -\dfrac{2}{3}\,x + 6$

Wir stellen fest, das beide Gleichungen identisch sind.

Der zweite Schritt ist es nun, die Geraden zu zeichnen. Setzen wir in die erste Gleichung nacheinander die Zahlen $0$ und $3$ für $x$ ein, so erhalten wir die Punkte $\bigl(0 \vert 6\bigr)$ und $\bigl(3 \vert 4\bigr)$. Die zweite Gerade geht ebenfalls durch diese Punkte, da sie dieselbe Gleichung hat. Die Graphen von identischen Geradengleichungen liegen genau übereinander.

  • Übereinander liegende Geraden haben unendlich viele gemeinsame Punkte. Demnach erhalten wir unendlich viele Lösungen für das Gleichungssystem.

In einer Sachaufgabe kann es nun sein, dass dieses Lösungsfeld eingeschränkt wird. Ist eine Anzahl gesucht, so beschränken sich die Lösungen auf die natürlichen Zahlen. Dieser Bereich kann dann im Koordinatensystem markiert werden.

wie löst man eine lineare Gleichung graphisch?

Wäre das in diesem Beispiel der Fall, so würden nur vier Punkte infrage kommen. Diese lauten: $\bigl(0 \vert 6\bigr)$, $\bigl(3 \vert 4\bigr)$, $\bigl(6 \vert 2\bigr)$ und $\bigl(9 \vert 0\bigr)$

Lineares Gleichungssystem grafisch lösen – Aufgaben mit Lösungen

Schauen wir uns ein drittes Beispiel an. Gegeben ist das folgende lineare Gleichungssystem:

$(\text{I}) \quad \, \, y = 2\,x + 42$
$(\text{II}) \quad y = 2\,x$

Beide Gleichungen sind bereits in ihrer Normalform gegeben, wir können die Geraden somit direkt in ein Koordinatensystem einzeichnen. Dazu berechnen wir wieder zwei Punkte pro Gleichung und verbinden diese jeweils zu einer Geraden.

lineares Gleichungssystem graphisch Loesen

Da die Geraden parallel sind, haben sie keinen Schnittpunkt. Somit hat das Gleichungssystem keine Lösung.

Zusammenfassung – wie löst man ein LGS grafisch?

Die folgenden Stichpunkte fassen noch einmal das Wichtigste zum grafischen Lösen linearer Gleichungssysteme zusammen.

Grafische Lösung linearer Gleichungssysteme

  • Schritt 1: Gleichungen in Normalform $y =m\,x + b$ bringen
  • Schritt 2: beide Geraden in ein Koordinatensystem einzeichnen
  • Schritt 3: Geradenschnittpunkt am Graphen ablesen

Lösungsmöglichkeiten

  • Ein lineares Gleichungssystem kann keine, eine oder unendlich viele Lösungen haben.
  • Schneiden sich beide Geraden in einem Punkt, so besitzt das Gleichungssystem eine Lösung, die durch den Schnittpunkt gegeben ist.
  • Sind beide Geraden identisch, so gibt es unendlich viele Lösungen, da die Geraden genau übereinander liegen und sich somit in jedem ihrer Punkte schneiden.
  • Liegen die Geraden parallel zueinander, so gibt es keinen Schnittpunkt und damit auch keine Lösung für das lineare Gleichungssystem.

Zusätzlich zum Text und dem Video findest du hier auf der Seite noch Arbeitsblätter und Übungen mit Aufgaben zum Thema Lineare Gleichungssysteme grafisch lösen.

Transkript Lineare Gleichungssysteme zeichnerisch lösen – Überblick

Magnolia und Terance bereiten sich auf den großen intergalagtischen Wettkampf mit ihrer Schulklasse vor. Sie sollen ihre Klasse auf die Quartiere verteilen. Um ihnen dabei zu helfen, werden wir lineare Gleichungssysteme graphisch lösen! In dem Begriff, Lineares Gleichungssystem - oder auch kurz LGS, verstecken sich einerseits "lineare Gleichungen", diese kennst du schon in Form von Geradengleichungen. Außerdem geht es um ein "System von Gleichungen". Nur die Lösungen, welchen alle Gleichungen erfüllen, lösen auch das ganze System. "Merke dir dabei folgendes: "Zur Bestimmung von n Variablen benötigst du mindestens n Gleichungen. Anfangs wirst du lernen, zwei Variablen in einem System aus zwei Gleichungen zu bestimmen. Aber zurück zu Magnolia und Terance. In der Klasse sind 30 Schüler - wir brauchen somit 30 Betten. Es wurden 13 Zimmer gebucht! Wir suchen nun die Anzahl der 2-Bett-Zimmer und die Anzahl der 3-Bett-Zimmer, denn größere Zimmer gibt es nicht. Die gesuchten Größen bezeichnen wir als x und y und stellen die gegebenen Informationen mittels dieser Variablen dar: Um aus den verschiedenen Zimmern die Gesamtanzahl der 30 Betten zu erhalten, nehmen wir jeweils die Anzahl der Zimmer mal die Anzahl der enthaltenen Betten: also 2 und 3 mal die entsprechenden Variablen. Außerdem berechnet sich die Anzahl aller Zimmer durch Addition der beiden Zimmeranzahlen. Und nun gehen wir nach folgendem Schema vor: Als erstes bringen wir beide Gleichungen in die Normalform. Hierbei ist m die Steigung und b der y-Achsenabschnitt. Um diese Form zu erreichen, können wir "2x" auf die andere Seite holen und hier das x. Das sieht erstmal so aus. Die erste Gleichung müssen wir noch durch 3 teilen, die zweite liegt bereits nach y aufgelöst vor. Diese beiden Gleichungen können wir nun als Geradengleichungen der Form "y gleich m mal x plus b" betrachten. Im zweiten Schritt wollen wir die beiden zugehörigen Geraden zeichnen. Dabei wird die Anzahl der Zimmer mit zwei Betten auf der x-Achse angezeigt und die mit drei Betten auf der y-Achse. Weißt du noch? - Durch zwei Punkte geht genau eine Gerade! Aus der ersten Gleichung erhalten wir für x gleich Null den y-Wert 10. So erhalten wir den ersten Punkt (0;10). Und setzen wir für x den Wert 3 ein, erhalten wir den y-Wert 8. Das ergibt den zweiten Punkt (3;8). Durch diese Punkte verläuft nun unsere erste Gerade. So machen wir es auch mit der zweiten Geraden. Als nächstes können wir den Geradenschnitt bestimmen! Wir können die Werte des Schnittpunkts direkt ablesen. Wir wissen nun, dass die beiden gegebenen Gleichungen in genau einem Punkt übereinkommen: Es werden also 9 Zimmer mit zwei Betten und 4 Zimmer mit 3 Betten gebraucht! Super, damit haben wir die Lösung gefunden! In der Klasse sind 18 Mädchen und 12 Jungen. Hmm. Mädchen und Jungen schlafen ja meist eher nicht in einem Zimmer!? Klar - alle Mädchen könnten in die 2-Bett-Zimmer gehen.. und alle Jungen in die 3-Bett-Zimmer! Aber gibt es noch eine fairere Lösung? Wir suchen also die Anzahl der 2-Mädchen-Zimmer und die der 3-Mädchen-Zimmer! Und dafür besetzen wir die Variablen x und y neu. Formulieren wir die erste Information als Gleichung: 2-mal die Anzahl aller 2-Mädchen-Zimmer plus 3-mal die Anzahl der 3-Mädchen-Zimmer muss 18 ergeben. Und: 2-mal die Anzahl der 2-Jungen-Zimmer plus 3-mal die Anzahl der 3-Jungen-Zimmer muss 12 ergeben. Mit insgesamt neun 2-Bett-Zimmern erhalten wir hierfür "9 minus x" und wegen den vier 3-Bett-Zimmern erhalten wir hierfür "4 minus y". Nun beginnen wir wieder mit dem Lösen: Die beiden aufgestellten Gleichungen in ihrer Normalform sehen SO aus. Aber die sind ja identisch?! Machen wir mal weiter mit dem zweiten Schritt und zeichnen unsere Geraden. Diesmal beschreibt die x-Achse die Anzahl der Zimmer mit 2 Mädchen und die y-Achse die Anzahl der Zimmer mit 3 Mädchen. Wir zeichnen die erste Gerade durch die Punkte Null, sechs und drei, vier. Die zweite Gerade erhalten wir in diesem Zuge gleich mit - denn die Graphen von identischen Geradengleichungen liegen genau übereinander. Und was ist nun der Geradenschnitt? Übereinanderliegende Geraden schneiden sich sozusagen in jedem ihrer Punkte. Also lösen so viele Punkte unser Gleichungssystem, wie es Punkte auf der Geraden gibt - und das sind unendlich viele! In unserer Aufgabe gibt es aber nur neun Zimmer mit zwei Betten und nur vier Zimmer mit 3 Betten. Außerdem suchen wir eine Anzahl, deshalb müssen x und y natürliche Zahlen sein, somit kommt nur entweder dieser Punkt, dieser oder dieser in Frage. Diese Zimmerverteilung hatten wir schon anfangs abgelehnt! Und in dieser Verteilung bekämen die Jungen nur 2-Bett-Zimmer! Aber dies ist doch eine schöne Aufteilung! - Die nehmen wir! Damit ist die Zimmerverteilung geregelt, wunderbar! - Doch es stellt sich noch eine letzte Frage: Wer wird die Klasse beim Seilspringwettbewerb vertreten? Um den besten Kandidaten zu ermitteln, treten Magnolia und Terance gegeneinander an Armer Terance!! Magnolias kraftvolle Tentakeln haben ihn derart abgelenkt, dass er glatt den Einsatz verpasst hat!! Das verschafft Magnolia einen Vorsprung! Kann Terance sie noch einholen? Magnolia hat schon 42 Sprünge und schafft durchschnittlich 2 Sprünge pro Sekunde! Terance hat noch gar nicht losgelegt und deshalb bisher keine Sprünge er schafft jedoch in der Regel 240 Sprünge in 2 Minuten. Bezeichnen wir die Anzahl an Sekunden mit x und die Anzahl an Sprüngen mit y! Die Anzahl an Magnolias Sprüngen nach x Sekunden ist dann 2 pro Sekunde mal deren Anzahl und sie hat bereits 42 geschafft. Die Anzahl an Terance Sprüngen nach x Sekunden ist "240 in 2 Minuten" oder auch "240 pro 120 Sekunden" mal die Sekundenanzahl und er hat bisher noch keine Sprünge. Die Normalform der beiden Gleichungen ist dies. Nun wollen wir die Geraden einzeichnen, dabei haben wir auf der x-Achse die Anzahl an Sekunden und auf der y-Achse die Anzahl an Sprüngen. Wir zeichnen diese Gerade für Magnolias Sprünge und diese für Terance'. "Die Geraden sind ja parallel! Also haben sie keinen Schnittpunkt." Und das bedeutet, dass das Gleichungssystem keine Lösung hat. Terance hat also keine Chance mehr und Magnolia darf die Klasse im Seilspringen vertreten! Was haben wir denn alles gelernt? Im ersten Schritt bringen wir die Gleichungen in die Normalform. Im zweiten Schritt zeichnen wir die beiden zugehörigen Geraden in ein Koordinatensystem. Zwei Geraden können zusammen entweder so, so oder so aussehen. Im dritten Schritt bestimmen wir den Geradenschnitt! - und den können wir am Graphen ablesen: Schneiden sich die Geraden in einem Punkt, dann ist dieser Schnittpunkt die einzige Lösung. Sind die Geraden identisch, so sind alle Punkte auf der Geraden eine Lösung. - Und das sind unendlich viele. Verlaufen die Geraden parallel, - so gibt es keinen Schnittpunkt und entsprechend auch keine einzige Lösung. Wie schlägt sich denn Magnolia? Wird sie diese Medaille für ihre Klasse holen? Hm, gegen manche Naturgewalten kommt man einfach nicht an!

33 Kommentare
33 Kommentare
  1. und warum bei (2) die 3?

    Von Filippa, vor 10 Monaten
  2. tolles video, aber bei punkt 2 (1) verstehe ich nicht wo die null für x herkommt....

    Von Filippa, vor 10 Monaten
  3. Sehr gut erklärt 👍🏻 Manchmal war es ein bisschen verwirrend, wegen diesen Beispielen, aber ansonsten war es sehr gut.

    Von Ines Mohr 1, vor mehr als 3 Jahren
  4. ok

    Von Omalley, vor fast 4 Jahren
  5. Hallo Maxhax001,
    kannst du genauer sagen, was dir an diesem Video nicht gefallen hat? Was genau würde nicht gut erklärt? Wir freuen uns immer über Verbesserungsvorschläge.
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Cansu A., vor etwa 4 Jahren
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Lineare Gleichungssysteme zeichnerisch lösen – Überblick Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Lineare Gleichungssysteme zeichnerisch lösen – Überblick kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe das Vorgehen beim zeichnerischen Lösen eines linearen Gleichungssystems.

    Tipps

    Um die beiden Geraden in ein Koordinatensystem zeichnen zu können, müssen beide Gleichungen in der Normalform $y=mx+b$ vorliegen.

    Wenn du beide Geraden in ein Koordinatensystem eingezeichnet hast, kannst du als Nächstes ihren Schnittpunkt ablesen. Dieser ist dann die Lösung des linearen Gleichungssystems.

    Lösung

    Um herauszufinden, wie viele der $13$ Zimmer $2$-Bett-Zimmer und wie viele $3$-Bett-Zimmer sein müssen, soll das folgende lineare Gleichungssystem graphisch gelöst werden:

    $\begin{array}{lllllll} && (1) & & 2x+3y &=& 30 \\ && (2) & & x+y &=& 13 \end{array}$

    Dabei steht die Variable $x$ für die Anzahl der $2$-Bett-Zimmer und $y$ für die Anzahl der $3$-Bett-Zimmer. Wir gehen beim graphischen Lösen dieses linearen Gleichungssystems so vor:

    Zunächst bringen wir beide Gleichungen in die Normalform $y=mx+b$. Wir erhalten dann dieses lineare Gleichungssystem:

    $\begin{array}{lllllll} && (1) & & y &=& -\frac 23x+10 \\ && (2) & & y &=& -x+13 \end{array}$

    Die Graphen dieser beiden Gleichungen zeichnen wir jetzt in ein Koordinatensystem ein. Dabei gehen wir so vor:

    • Wir bestimmen für beide Gleichungen je zwei Punkte. Durch diese Punkte verlaufen dann die jeweiligen Geraden.
    • Dann können wir den Schnittpunkt dieser Geraden bestimmen, indem wir diesen einfach nur ablesen. Dabei stellt die $x$-Achse die Anzahl der $2$-Bett-Zimmer und die $y$-Achse die Anzahl der $3$-Bett-Zimmer dar.
    • Wir wissen nun, dass die beiden gegebenen Gleichungen in dem Punkt $(9\vert 4)$ übereinstimmen. Dieser Punkt ist die Lösung des gegebenen linearen Gleichungssystems.

  • Stelle das gesuchte lineare Gleichungssystem auf und löse es graphisch.

    Tipps

    Ein Gleichungssystem aus zwei identischen Geraden hat unendlich viele Lösungen.

    Ein Gleichungssystem aus zwei parallelen Geraden hat keine Lösungen.

    Die Gleichungen setzen sich wie folgt zusammen:

    $2~\cdot$ Anzahl der $2$-Bett-Zimmer $+~3~\cdot$ Anzahl der $3$-Bett-Zimmer $=$ Gesamtzahl Personen

    Die Gleichung $(1)$ stellst du für die Mädchen und die Gleichung $(2)$ für die Jungen auf.

    Bringe die beiden linearen Gleichungen zunächst in die Normalform $y=mx+b$ und zeichne sie anschließend in ein Koordinatensystem ein.

    Lösung

    Zum Aufstellen des gesuchten linearen Gleichungssystems nutzen wir folgende Angaben:

    • $9$ $2$-Bett-Zimmer
    • $4$ $3$-Bett-Zimmer
    • $18$ Mädchen
    • $12$ Jungen

    Für das lineare Gleichungssystem verwenden wir die folgenden Variablen:

    • $x$: Anzahl der $2$-Bett-Mädchen-Zimmer
    • $y$: Anzahl der $3$-Bett-Mädchen-Zimmer

    Demnach entspricht die Anzahl der $2$-Bett-Jungen-Zimmer dem Term $(9-x)$ und die Anzahl der $3$-Bett-Jungen-Zimmer dem Term $(4-y)$. Damit erhalten wir das Gleichungssystem:

    $\begin{array}{lllll} (1) & & 2x+3y &=& 18 \\ (2) & & 2(9-x)+3(4-y) &=& 12 \end{array}$

    Die beiden Gleichungen bringen wir nun in die Normalform $y=mx+b$:

    $\begin{array}{lllll} (1) & & y &=& -\frac 23+6 \\ (2) & & y &=& -\frac 23+6 \end{array}$

    Auf diese Weise erhalten wir zwei identische lineare Gleichungen und somit zwei Geraden, die genau übereinanderliegen. Übereinanderliegende Geraden schneiden sich in jedem ihrer Punkte. Somit hat dieses Gleichungssystem unendlich viele Lösungen.

    Es sind allerdings bloß neun $2$-Bett-Zimmer und vier $3$-Bett-Zimmer gegeben. Außerdem ist hier eine Anzahl gesucht, sodass ausschließlich natürliche Zahlen infrage kommen. Daher treffen nur folgende Punkte als Lösung zu:

    • $(3\vert 4)$
    • $(6\vert 2)$
    • $(9\vert 0)$
  • Bestimme die graphische Lösung der gegebenen linearen Gleichungssysteme.

    Tipps

    Die Normalform einer linearen Gleichung lautet $y=mx+b$.

    Dabei ist $m$ die Geradensteigung und $b$ der $y$-Achsenabschnitt. Ist die Steigung $m$ zweier Funktionsgleichungen gleich und der $y$-Achsenabschnitt $b$ verschieden, so sind die zugehörigen Geraden parallel.

    Schaue dir die hier abgebildete Gerade an. Diese schneidet bei $y=1$ die $y$-Achse. Demnach ist der $y$-Achsenabschnitt $b=1$.

    Die Steigung bestimmst du mithilfe eines Steigungsdreiecks. Du startest hier im Punkt $(0\vert 1)$ und gehst entlang der $y$-Achse eine Einheit nach unten. Anschließend gehst du drei Einheiten entlang der $x$-Achse nach rechts. Es folgt dann $m=\frac {\Delta y}{\Delta x}=-\frac 13$.

    Peter wählt als $x$-Wert $1$ und setzt diesen in die Gleichung $y=x+1$ ein:

    $y=x+1$
    $y=1+1$
    $y=2$

    Somit schneidet die Gerade der Funktion $y=x+1$ den Punkt $(1\vert2)$.

    Lösung

    Um den graphischen Lösungen die zugehörigen linearen Gleichungen zuordnen zu können, betrachten wir zunächst die Normalform einer linearen Gleichung. Diese lautet:

    $y=mx+b$

    Dabei ist $m$ die Geradensteigung und $b$ der $y$-Achsenabschnitt.

    Die Steigung einer Geraden bestimmst du mithilfe eines Steigungsdreiecks. Dabei teilst du die Anzahl der Einheiten entlang der $y$-Achse durch die Anzahl der Einheiten entlang der $x$-Achse. Ist die Gerade fallend, so ist die Steigung $m$ negativ. Für eine positive Steigung $m$ liegt eine steigende Gerade vor.
    Den $y$-Achsenabschnitt $b$ kannst du einfach ablesen. Dieser ist nämlich der $y$-Wert, in dem die Gerade die $y$-Achse schneidet.

    Graphische Lösung 1

    Hier abgebildet ist die erste graphische Lösung. Wir sehen zwei Geraden mit den $y$-Achsenabschnitten $2$ und $1$. Es ist also:

    $\begin{array}{lll} (1) && y=m_1x+2 \\ (2) && y=m_2x-1 \end{array}$

    Für die Steigung der ersten Geraden zählen wir ausgehend von $(0\vert 2)$ eine Einheit entlang der $y$-Achse nach unten und eine Einheit entlang der $x$-Achse nach rechts. Es ist also $m_1=-1$. Für die Steigung der zweiten Geraden zählen wir ausgehend von $(0\vert 1)$ zwei Einheiten entlang der $y$-Achse nach oben und eine Einheit entlang der $x$-Achse nach rechts. Es ist somit $m_2=2$ und das gesuchte lineare Gleichungssystem lautet:

    $\begin{array}{lll} (1) && y=-x+2 \\ (2) && y=2x-1 \end{array}$

    Graphische Lösung 2

    Ebenso gehst du bei diesen Geraden vor und erhältst folgendes Gleichungssystem:

    $\begin{array}{lll} (1) && y=-\frac 12x \\ (2) && y=\frac 12x-1 \end{array}$

    Graphische Lösung 3

    Diese Graphen werden folgendem linearen Gleichungssystem zugeordnet:

    $\begin{array}{lll} (1) && y=x-1 \\ (2) && y=x+1 \end{array}$

  • Ermittle mittels der graphischen Methode die Lösungsmengen der linearen Gleichungssysteme.

    Tipps

    Bringe die Gleichungen eines linearen Gleichungssystems zunächst in die Normalform $y=mx+b$. Zeichne diese anschließend in ein Koordinatensystem.

    Zum Zeichnen einer Geraden genügen zwei Punkte, durch welche diese Gerade verläuft.

    Du kannst mit einer linearen Gleichung der Form $y=mx+b$ für beliebige $x$-Werte die zugehörigen $y$-Werte berechnen, indem du die Größe $x$ in der Gleichung durch die entsprechende Zahl ersetzt und $y$ ausrechnest. Beachte dabei Punkt- vor Strichrechnung.

    Sind zwei Geraden parallel zueinander, hat das zugehörige lineare Gleichungssystem keine Lösung. Zwei parallele Geraden haben dieselbe Steigung $m$ in der Geradengleichung $y=mx+b$.

    Lösung

    Im Folgenden möchten wir die gegebenen linearen Gleichungssysteme graphisch lösen. Hierfür bringen wir die Gleichungen der linearen Gleichungssysteme zunächst in die Normalform $y=mx+b$.

    Anschließend zeichnen wir diese in ein Koordinatensystem und lesen die Lösung ab. Dabei können drei Fälle vorliegen:

    1. Fall: Geraden schneiden sich $\rightarrow$ lineares Gleichungssystem besitzt genau eine Lösung
    2. Fall: Geraden sind parallel zueinander $\rightarrow$ lineares Gleichungssystem besitzt keine Lösung
    3. Fall: Geraden sind identisch $\rightarrow$ lineares Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen
    Für unsere Beispiele erhalten wir folgende Lösungen:

    Beispiel 1

    $\begin{array}{llllr} (1) && 4x+2y &=& 12 \\ (2) && 2x-4y &=& -4 \end{array}$

    In der Normalform lauten die Gleichungen:

    $\begin{array}{llllr} (1) && y &=& -2x+6 \\ (2) && y &=& 0,5x+1 \end{array}$

    Wir zeichnen diese Geraden in ein Koordinatensystem und lesen den Schnittpunkt ab. Wir erhalten dann die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{(2\vert 2)\}$.

    Beispiel 2

    $\begin{array}{llllr} (1) && 2x+y &=& 5 \\ (2) && 2x-2y &=& 2 \end{array}$

    In der Normalform lauten die Gleichungen:

    $\begin{array}{llllr} (1) && y &=& -2x+5 \\ (2) && y &=& x-1 \end{array}$

    Wir zeichnen diese Geraden in ein Koordinatensystem und lesen den Schnittpunkt ab. Wir erhalten dann die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{(2\vert 1)\}$.

    Beispiel 3

    $\begin{array}{llllr} (1) && x+0,5y &=& -1 \\ (2) && x-y &=& -1 \end{array}$

    In der Normalform lauten die Gleichungen:

    $\begin{array}{llllr} (1) && y &=& -2x-2 \\ (2) && y &=& x+1 \end{array}$

    Wir zeichnen diese Geraden in ein Koordinatensystem und lesen den Schnittpunkt ab. Wir erhalten dann die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{(-1\vert 0)\}$.

    Beispiel 4

    $\begin{array}{llllr} (1) && -x+y &=& 3 \\ (2) && -x+y &=& 1 \end{array}$

    In der Normalform lauten die Gleichungen:

    $\begin{array}{llllr} (1) && y &=& x+3 \\ (2) && y &=& -x+1 \end{array}$

    Wir zeichnen diese Geraden in ein Koordinatensystem und lesen den Schnittpunkt ab. Wir erhalten dann die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{(-1\vert 2)\}$.

  • Bestimme die Anzahl der Lösungen der gegebenen linearen Gleichungssysteme.

    Tipps

    Wenn zwei Geraden eines linearen Gleichungssystems übereinanderliegen, so besitzt dieses Gleichungssystem unendlich viele Lösungen.

    Das lineare Gleichungssystem zu den hier abgebildeten Geraden besitzt genau eine Lösung. Diese entspricht dem Schnittpunkt der beiden Geraden.

    Lösung

    Bei der graphischen Lösung eines linearen Gleichungssystems unterscheiden wir diese drei Fälle:

    1. Fall: Geraden schneiden sich $\rightarrow$ lineares Gleichungssystem besitzt genau eine Lösung
    2. Fall: Geraden sind parallel zueinander $\rightarrow$ lineares Gleichungssystem besitzt keine Lösung
    3. Fall: Geraden sind identisch $\rightarrow$ lineares Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen
    Demnach erhalten wir nachfolgende Lösungen für die gegebenen Graphen:

    Beispiel 1

    Die zwei Geraden schneiden sich in dem Punkt $(-1\vert 0)$. Dieser Schnittpunkt ist die Lösung des zugehörigen linearen Gleichungssystems. Es hat daher genau eine Lösung.

    Beispiel 2

    Die zwei Geraden sind parallel zueinander. Da diese beiden Geraden in keinem einzigen Punkt übereinstimmen werden, hat das zugehörige lineare Gleichungssystem keine Lösung.

    Beispiel 3

    Die zwei Geraden schneiden sich in dem Punkt $(1\vert2)$. Dieser Schnittpunkt ist die Lösung des zugehörigen linearen Gleichungssystems. Es hat deshalb genau eine Lösung.

    Beispiel 4

    Die zwei Geraden liegen exakt übereinander. Übereinanderliegende Geraden schneiden sich in jedem Punkt. Darum hat das zugehörige lineare Gleichungssystem unendlich viele Lösungen.

  • Prüfe die Aussagen zu linearen Gleichungssystemen auf ihre Richtigkeit.

    Tipps

    Die Normalform einer linearen Gleichung lautet $y=mx+b$. In dieser Gleichung ist $m$ die Steigung der Geraden und $b$ der $y$-Achsenabschnitt.

    Stimmen Steigung und $y$-Achsenabschnitt zweier Geraden überein, so liegen diese beiden Geraden übereinander.

    Geraden mit unterschiedlichen Steigungen schneiden sich in genau einem Punkt.

    Lösung

    Wir betrachten das folgende lineare Gleichungssystem:

    $\begin{array}{llllr} (1) && y &=& m_1x+b_1 \\ (2) && y &=& m_2x+b_2 \end{array}$

    Die beiden linearen Gleichungen sind je in der Normalform gegeben. Die Normalform einer linearen Gleichung lautet $y=mx+b$. In dieser Gleichung ist $m$ die Steigung der Geraden und $b$ der $y$-Achsenabschnitt.

    Für dieses Gleichungssystem schauen wir uns jetzt einige Spezialfälle an:

    Gleiche Steigungen und $y$-Achsenabschnitte

    Wenn $m_1=m_2$ und $b_1=b_2$ gilt, besitzt das lineare Gleichungssystem unendlich viele Lösungen. Es handelt sich dann nämlich um zwei identische Geraden.

    Gleiche Steigungen und unterschiedliche $y$-Achsenabschnitte

    Wenn $m_1=m_2$ und $b_1\neq b_2$ gilt, besitzt das lineare Gleichungssystem keine Lösungen. Es handelt sich dann nämlich um zwei parallele Geraden.

    Unterschiedliche Steigungen

    Wenn $m_1\neq m_2$ gilt, besitzt das lineare Gleichungssystem genau eine Lösung. Es handelt sich dann nämlich um zwei Geraden, welche unterschiedliche Steigungen besitzen und sich somit in genau einem Punkt schneiden.

    Unterschiedliche Steigungen und gleiche $y$-Achsenabschnitte

    Wenn $m_1\neq m_2$ und $b_1=b_2$ gilt, besitzt das lineare Gleichungssystem die Lösung $(0\vert b_1)$. Es handelt sich dann nämlich um zwei Geraden, welche unterschiedliche Steigungen besitzen und die $y$-Achse je im gleichen Punkt schneiden. Daher schneiden sich die beiden Geraden genau in ihren $y$-Achsenschnittpunkten.