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Transkript Lineare Gleichungssysteme zeichnerisch lösen (8)

Hallo, als letzte rein technische Anwendungen des Lösens linearer Gleichungssysteme mit dem grafischen Verfahren, möchte ich mal diese beiden Gleichungen hier zur Diskussion stellen. Zusammen bilden sie ein Gleichungssystem, das wir grafisch lösen können. Das hat diese Form. Wenn es eine normale Form ist, ist es egal. Also hier, weil Brüche bisher zu kurz gekommen sind, habe ich etwas mit Brüchen vorbereitet. Es ist also -3/4x+1/3y =-1 und die andere Gleichung lautet, -x+4/9y= -4/3. So, was machst Du als Erstes, wenn Du solche Gleichungen siehst? Du nimmst Deinen Taschenrechner und wirfst ihn weg. Dann formst Du hier einfach mal nach y um. Normalerweise funktioniert das ja so. Du hast eine Gleichung gegeben, die Du nach y umformst. Die fasst Du als Funktionsgleichung auf. Dazu zeichnest Du den Graph. Mit der anderen Gleichung machst Du das Gleiche. Da wo die Graphen sich schneiden, da ist die Lösung des Gleichungssystems. Nun, was kannst Du hier machen? Du rechnest natürlich erst +3/4x auf beiden Seiten. Dann bleibt 1/3y auf der linken Seite stehen und auf der rechten Seite steht also 3/4x-1. Dann möchten wir ja nicht nach 1/3y auflösen, sondern nach y. Dazu müssen wir also noch durch 1/3 teilen. Man teilt durch einen Bruch, in dem man mit dem Kehrwert multipliziert. Der Kehrwert eines Drittels ist 3/1 also 3. Das bedeutet, wir müssen also auf beiden Seiten mit 3 multiplizieren. Was dazu führt, 3/4x mit 3 multipliziert sind 9/4x. -1 mit 3 multipliziert ist -3. Nun haben wir hier also eine Gleichung, die nach y aufgelöst ist. Manche Leute sagen, das ist schon eine Funktionsgleichung. Manche schreiben noch f(x)= 9/4x-3 dahin. Das mache ich jetzt nicht. Hier haben wir folgende Situation. Wir müssen rechnen +x auf beiden Seiten. Dann stehen hier also 4/9y auf der linken Seite noch. Auf der rechten steht dann ein x und -4/3. Wir müssen noch durch die Vorzahl von y dividieren. Das sind 4/9. Wir teilen den gesamten Bruch durch 4/9. Man teilt durch einen Bruch, in dem man mit dem Kehrwert multipliziert. Der Kehrwert von 4/9 sind 9/4 also multipliziere ich mit 9/4. y bleibt auf der linken Seite stehen. x multipliziert mit 9/4 sind 9/4x und, ja soll ich das aufschreiben, ja ich schreib es auf, also 4/3×9/4. Das ist ausgerechnet also folgendes y= 9/4x-, ja was kann ich machen? Hier kann ich eine 3 kürzen nicht, 9 ist ja 3×3. Eine 4 kann ich auch kürzen. Es bleibt also 3 übrig. Ja, wer hätte das gedacht? Beide Gleichungen stellen dieselbe Funktion dar. Das heißt ja, wir haben eine Schnittmenge, wir haben unendlich viele Schnittpunkte. Die Graphen liegen beide aufeinander. Deshalb zeichne ich sie erst gar nicht. Das weiß ich schon, dass das so sein wird. Ich kann also direkt die Lösungsmenge angeben. Mit dem L und dem Doppelstrich, das wird eine Menge sein. In der Menge befinden sich Zahlenpaare. Nämlich, die haben hier die Bezeichnung x y getrennt durch ein Semikolon. Das muss natürlich eine runde Klammer sein, die geht dann zu und zwar mit der Maßgabe, mit der Eigenschaft, also dass diese Zahlenpaare x,y haben die Eigenschaft, dass y immer = 9/4x-3 ist. Ja, es passt kaum hin und dann geht hier die Mengenklammer zu. Als Ganzes also hier gelesen. Die Lösungsmenge besteht aus allen Zahlenpaaren x,y mit der Eigenschaft, dass y= 9/4x-3 ist. Ja, damit ist die Aufgabe gelöst. Die technischen Details sind geklärt. Jetzt kannst Du grafisch lösen und demnächst kommen dann die Rechenverfahren für die Gleichungen mit 2 Variablen. Bis dahin, viel Spaß, tschüss.

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7 Kommentare
  1. Giuliano test

    @Joniehh:
    Ich denke, dass du das Problem sehr gut erfasst hast. Wenn man ein Gleichungssystem als Schnittpunkt zweier linearer Funktionen ansieht, dann ist die Aufgabe nicht richtig, da x+2=1 ja keine Funktion ist, sondern eine Parallele Linie zur Y-Achse. In dem Sinne kannst du die Lösung allerdings als Schnittpunkt einer Parallele zur Y-Achse und einer Geraden auffassen. Ich hoffe, dass ich helfen konnte.

    Von Giuliano Murgo, vor mehr als 2 Jahren
  2. Default

    Jetzt weiss ich wie man zum Ergebniss kommt. Ich bin nach Tutorials von Herrn Wabnik so verstanden, dass Lösungsmenge sich aus zwei lineare Geraden ergibt. Und zum anderen hat eine Lineare Gerade den Standartform : y=m.x + b.
    In diesem Fall denke ich , dass ich zwei Sachen im Hintergedanken habe, nämlich einen Punkt zu suchen, der auf dem Graph y=-4x+7 liegt oder eine Lösungsmenge zu suchen, die sich aus zwei lineare Geraden ergibt ( aber da ja x+2=1 nicht den linearen Standartform entspricht, hat es mich etwas irritiert und denke dabei, dass sie keine lineare Gerade ist, sondern eine einfache Gleichung). Naja.. Ob der Irrtum bei mir recht ist, weiss ich nicht :)

    Ich frage mich ob die Frage z.b auch korrekt wäre, anders zu formulieren wie zum Beispiel :
    " bestimmen Sie den Punkt als eine Lösung, der auf dem Funktionsgraph y= -4x+ 7 liegt, wobei x = -1"

    Von Joniehh, vor mehr als 2 Jahren
  3. Giuliano test

    @Joniehh:
    Die Gleichungssystem hat zwei Gleichungen und die zweite kannst du ganz einfach umformen. Sie enthält keine zweite Variable Y. Das muss sie auch nicht.
    Du kannst hier das Ergebnis quasi "ablesen".
    Danach setzt du das Ergebnis in die erste Gleichung ein. Die Lösung bezieht sich immer auf beide Gleichungen, d.h. setzt du die vorgegebenen Lösungen in beide Gleichungen ein, so erhälst du eine wahre Aussage. In der zweiten Gleichung kannst du für y nichts einsetzen, aber das x. In der ersten Gleichung musst du beide Werte einsetzen und erhälst eine wahre Aussage.
    Ein Gleichungssystem kann natürlich auch zwei Gleichungen mit jeweils zwei Variablen besitzen. Muss aber nicht.
    Ich hoffe, dass ich helfen konnte.

    Von Giuliano Murgo, vor mehr als 2 Jahren
  4. Default

    Ich habe immer noch nicht verstanden. Soll x+2=1 als Gleichungssystem mit 2 variable betrachtet werden ? Wenn ja, dann wird es doch umgeformt und nach y aufgelöst. Wenn ich grafisch betrachte, bekomme andere Schnittpunkt heraus und damit andere Lösungsmenge. Und wie kann L={(-1;11)} als Lösungsmenge die beiden Gleichungssysteme sein ?

    Von Joniehh, vor mehr als 2 Jahren
  5. Giuliano test

    @Joniehh:
    Das x+2=1 ist so korrekt und es passt auch eine Lösung zu der Aufgabe. Vielleicht sollte ich dir sagen, dass bei der Lösungsmenge immer erst der X-Wert und dann der Y-Wert angegeben wird, d.h. die Lösungsmenge L={-1,11} beudetet: x = - 1 und y = 11.
    Ich hoffe, dass ich helfen konnte.

    Von Giuliano Murgo, vor mehr als 2 Jahren
  1. Default

    Kann sein, dass bei der Aufgabe die zweite lineare Funktion x+12 = 1 sein soll und nicht x + 2= 1 ?

    Von Joniehh, vor mehr als 2 Jahren
  2. Default

    der arme taschenrechner x)

    Von Mare Marie, vor etwa 4 Jahren
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