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Transkript Lösen von Gleichungssystemen mit 3 Unbekannten

Hallo! Ihr möchtet gerne wissen, wie man lineare Gleichungssysteme mit 3 Unbekannten löst? Ich erkläre es euch. Wir wissen bereits, wie man eine Gleichung mit nur 1 Unbekannten löst. Unsere Gleichung 3x=12 teilen wir durch 3, um die Lösung x=4 zu erhalten. Nun mit 2 Unbekannten. Wir erweitern das Gleichungssystem und haben nun eine 2. Gleichung. Bei Systemen mit 2 Unbekannten und 2 Gleichungen können wir oft das Einsetzungsverfahren oder das Gleichsetzungsverfahren gut verwenden. Mit dem Einsetzungsverfahren geht das in unserem Fall relativ schnell. Wir lösen die 2. Gleichung nach x auf und setzen dies in die Gleichung 1 ein. Wir rechnen aus, lösen nach y auf und erhalten für y das Ergebnis -3/5. Nun können wir, durch Einsetzen von y, auch x berechnen. Jetzt das Ganze mit 3 Unbekannten. Wir erweitern wieder das Gleichungssystem um eine 3. Gleichung und um eine 3. Variable z. Auch in einem System mit 3 Unbekannten können wir das Einsetzungsverfahren verwenden. Allerdings müssen wir feststellen, dass dies sehr schnell sehr unübersichtlich werden kann. Aber wir kennen ja noch ein anderes Verfahren, mit dem man Gleichungssysteme lösen kann; das Additionsverfahren. Das Prinzip ist einfach. Durch geschickte Addition der Gleichung eliminieren wir zunächst die x aus den Gleichungen 2 und 3, und dann das y der Gleichung 3, sodass ein Dreieck entsteht. Diese Vorgehensweise nennt man auch das Gauß´sche Verfahren. Nun können wir einfach, von unten nach oben vorgehend, die einzelnen Variablen bestimmen. Zunächst bestimmen wir z, setzen z dann in Gleichung 2 ein und können so y berechnen. Danach setzen wir y und z in die Gleichung 1 ein und berechnen so x. Aber wie gelangt man überhaupt zu der Dreiecksform? Dazu ein ausführlicheres Beispiel. Wir benutzen wieder das System von vorhin. Zunächst wollen wir versuchen, die x in Gleichung 2 und 3 zu eliminieren. Schauen wir genau hin, erkennen wir, dass wir dazu die Gleichung 1 mit -2 und Gleichung 2 mit 6 multiplizieren müssen. Denn addieren wir nun die Gleichung 1 zur Gleichung 2, fällt das x weg und wir erhalten: -10y-2z=6. Auch zur 3. Gleichung addieren wir nun die 1. und auch hier fällt das x weg und wir erhalten nun: -2y-5z=-8. Nun müssen wir nur noch das y in Gleichung 3 eliminieren. Durch genaues Hinsehen erkennen wir, dass wir dazu die Gleichung 3 mit -5 multiplizieren müssen. Wir erhalten nun also 10y+25z=40. Jetzt addieren wir die Gleichung 2 zu 3. Nun fällt also auch das y weg und es bleibt nur noch 23z=46. Nun sind wir am Ziel. Wir können jetzt ein Dreieck um das System zeichnen. Nun können wir von unten nach oben vorgehen, um die einzelnen Werte der Variablen zu bestimmen. Zunächst lösen wir nach z auf und erhalten z=2. Dies setzen wir in Gleichung 2 ein. Jetzt können wir auch nach y auflösen und erhalten y=-1. Setzen wir nun die Werte für y und für z in die Gleichung 1 ein , können wir auch nach x auflösen. Wir erhalten das Ergebnis für x, es ist x=1. Nun noch die Lösungsmenge angeben und fertig sind wir. Übrigens, es gibt nicht nur den einen Weg, um zur Lösung zu kommen. Um zu der Dreiecksform zu gelangen, ist es erlaubt, 1., die Gleichungen miteinander zu vertauschen, oder 2., die Reihenfolge der Summanden innerhalb einer Gleichung zu verändern, wenn das in dem Fall sinnvoll erscheint. Außerdem, das Gauß´sche Verfahren kann man auch auf Systeme mit einer sehr großen Anzahl an Variablen und Gleichungen anwenden. Ich hoffe, ich konnte euch helfen, das Lösen von Gleichungssystemen mit 3 Unbekannten und das Gauß´sche Verfahren zu verstehen.

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11 Kommentare
  1. Default

    Traurig aber wahr: Ich habe in diesem einen Video mehr gelernt als in einem halben Jahr Matheunterricht..

    Von Katharinarings, vor mehr als einem Jahr
  2. Default

    tolles Video.

    Von Wekzym, vor etwa 2 Jahren
  3. Default

    Klasse! Das hilft echt :D

    Von Cm Reimer, vor etwa 3 Jahren
  4. Default

    Video ist viel zu schnell erklärt.

    Von Elvis, vor etwa 3 Jahren
  5. Default

    Schön erklärt, ich versteh es jetzt viel besser. :D

    Von Tmk18, vor mehr als 3 Jahren
  1. Img 0397

    Schönes Video aber zu schnell...

    Von Thomas W., vor etwa 4 Jahren
  2. Default

    Sehr schoen erklaert, aber ich komme immernoch nicht durch wenn ich 2 gleichungen mit 3 (V mehr) Variablen zu loesen habe...

    Von Raphael B., vor fast 5 Jahren
  3. Default

    Danke :)

    Von Hannah Petrat, vor etwa 5 Jahren
  4. Default

    Schön übersichtlich. Weiter so!

    Von Deleted User 16168, vor fast 6 Jahren
  5. Default

    super erklärung hab es jetzt endlich verstanden :) Danke

    Von Anja , vor etwa 6 Jahren
  6. Default

    Danke schön. Ein tolles Video. Endlich hab ich es verstanden. Wenn jeder Mathelehrer so erklären könnte, das wäre wunderbar.

    Von Valerie, vor etwa 7 Jahren
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