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Transkript Normalenvektoren von Geraden und Ebenen

Hallo. In diesem Video geht es um den Normalenvektor einer Gerade beziehungsweise einer Ebene. Wir betrachten eine Gerade, die uns in Parameterform gegeben ist. Vektor x = Vektor x₀+t×Vektor v. Ein Normalenvektor ist ein vom Nullvektor verschiedener Vektor, der senkrecht auf der Geraden steht. Das heißt, er steht senkrecht auf allen Vektoren, die auf der Geraden liegen. So auch auf dem Richtungsvektor V. Das heißt, für einen Normalenvektor n muss gelten: Vektor n skalar multipliziert mit Vektor v=0. Wir nehmen nun an, dass wir uns in einem 2-dimensionalen Raum befinden, und bezeichnen die Koordinaten des Richtungsvektors mit v₁, v₂ und die Koordinaten des Normalenvektors mit n₁, n₂. Das Skalarprodukt lässt sich dann in Koordinatenform schreiben und wir bekommen die Gleichung n₁×v₁+n₂×v₂=0. Dies ist eine Gleichung mit 2 Unbekannten n₁ und n₂, das heißt, eine Unbekannte können wir frei wählen. Wir wählen zum Beispiel n₁= -v₂. Dann muss n₂=v₁ sein. Eine andere Möglichkeit wäre, n₁=v₂ zu wählen. In diesem Fall muss n₂= -v₁ sein, damit die Gleichung erfüllt ist. Auf diese Weise bekommen wir 2 Lösungen für die obige Gleichung. n= -v₂v₁, oder n= v₂-v₁. Das heißt, die Normale ist nicht eindeutig bestimmt. Das muss sie auch nicht, denn in jedem Punkt einer Gerade kann man mehrere Vektoren konstruieren, die auf der Geraden senkrecht stehen. Wenn wir uns in einem 3-dimensionalen Raum befinden, so haben die Vektoren 3 Koordinaten und die Gleichung zur Bestimmung eines Normalenvektors, ändert sich dementsprechend. Hier sind 2 Koordinaten frei wählbar. Und jede vom Nullvektor verschiedene Lösung liefert einen Normalenvektor. Wir betrachten nun ein Beispiel. Gegeben sei eine Gerade in der Parameterform. Vektor x= Vektor ⁰₁+t×Vektor ¹₂. Gesucht ist ein Normalenvektor. Wir nehmen den Richtungsvektor ¹₂ und stellen die Gleichung zur Bestimmung eines Normalenvektors auf. n₁+2n₂=0. Eine Koordinate können wir frei wählen. Wir wählen n₁=2. Daraus ergibt sich n₂= -1. Somit haben wir einen Normalenvektor gefunden. n=2-1. Wenn eine Geradengleichung in der Steigerungsform gegeben ist, das heißt y=m×x+k, so ist ein Richtungsvektor, durch den Vektor 1,m gegeben. Das kann man schnell überprüfen. Nach den obigen Überlegungen bekommen wir dann 2 Normalenvektoren -m,1 und m, -1. Wenn eine Geradengleichung in der allgemeinen Form gegeben ist, das heißt, ax+by=c, so ist ein Normalenvektor durch den Vektor a b gegeben. Wir betrachten nun eine Ebene, die uns in Parameterform gegeben ist. Vektor x=Vektor x0+s×Vektor u+t× Vektor v. Ein Normalenvektor einer Ebene ist ein vom Nullvektor verschiedener Vektor, der senkrecht auf der Ebene steht. Eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür ist, dass er senkrecht auf 2 linear unabhängigen Vektoren steht, die auf der Ebene liegen. So zum Beispiel auf den Richtungsvektoren u und v. Das heißt, für einen Normalenvektor n muss gelten: Vektor n skalar multipliziert mit Vektor u=0 und Vektor n skalar multipliziert mit Vektor v=0. Dies führt uns zu einem linearen Gleichungssystem aus 2 Gleichungen und 3 Unbekannten. Das heißt, eine Unbekannte ist frei wählbar. Jede vom Nullvektor verschiedene Lösung des Systems entspricht einem Normalenvektor. Wir betrachten nun ein Beispiel. Es sei eine Ebene in der Parameterform mit dem Stützvektor 1,3,7 und den Richtungsvektoren 1,1,0 und 0,2,1 gegeben. Gesucht ist ein Normalenvektor. Wir nehmen uns die beiden Richtungsvektoren und stellen das Gleichungssystem auf. n₁+n₂=0 und 2n₂+n₃=0. Eine Koordinate ist frei wählbar. Wir wählen n₃=2 und bekommen n₂= -1 und n₁=1. Somit haben wir einen Normalenvektor, mit den Koordinaten 1,-1,2 bekommen. Falls eine Ebenengleichung in der Normalenform gegeben ist, so brauchen wir nicht weiter zu suchen, denn ein Normalenvektor ist in dieser Gleichung auch enthalten. Bei einer Ebene, die in der Koordinatenform gegeben ist, das heißt ax+by+cz=d, ist ein Normalenvektor durch den Vektor a, b, c gegeben. Soviel zu den Normalenvektoren. Danke für ihr Interesse und weiterhin viel Spaß mit Geometrie.

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