Ortslinie und Ortskurve bei Parabelscharen – Beispiele

Ortslinie und Ortskurve bei Parabelscharen – Beispiele Übung

• Gib den Scheitelpunkt der Parabelschar in Abhängigkeit von dem Parameter $t$ an und bestimme die Ortslinie.

  Tipps

  Der Scheitelpunkt einer Parabel ist je nach Öffnung der tiefste oder höchste Punkt der Parabel.

  Für ein Extremum gilt

  notwendig: Die erste Ableitung ist $0$, also $f'(x)=0$ und

  hinreichend: Es gilt zusätzlich, dass die zweite Ableitung ungleich $0$ ist, also $f''(x)\neq 0$.

  Für die Ableitung einer quadratischen Funktion verwendest du

  • die Potenzregel: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$,
  • die Faktorregel: $(k\cdot f(x))'=k\cdot f'(x)$ sowie
  • die Summenregel: $(f(x)\pm g(x))'=f'(x)\pm g'(x)$.

  Lösung

  Zunächst wird diese Funktion zweimal abgeleitet:

  • $g_t'(x)=-2x+2t$ sowie
  • $g_t''(x)=-2\neq 0$. Es liegt also insbesondere ein Hochpunkt vor.

  Die Gleichung $g_t'(x)=0$ führt zu $-2x+2t=0$, also $2x=2t$ oder $x=t$. Dieser Wert für $x$ wird in der Funktionsgleichung eingesetzt:

  $g_t(t)=-t^2+2t\cdot t-t^2-t=t^2-2t^2-t^2-t=-t$.

  Also ist der Scheitelpunkt $S(t|-t)$.

  Jeder dieser Scheitelpunkte liegt auf der Ursprungsgeraden $y(x)=-x$.

• Ermittle die Ortskurve der Scheitelpunkte.

  Tipps

  Die erste Ableitung muss $0$ sein. Dies führt zu der x-Koordinate des Scheitelpunktes.

  Setze die x-Koordinate in der Funktionsgleichung ein. Dies führt zu der y-Koordinate des Scheitelpunktes.

  Wird die x-Koordinate in der Ortskurve eingesetzt, muss dies zu der gleichen y-Koordinate führen.

  Lösung

  Die ersten beiden Ableitungen dieser Funktion sind

  • $h_q'(x)=4x-3q$ sowie
  • $h_q''(x)=4$.

  Es muss notwendigerweise gelten, dass $h_q'(x)=0$ ist. Dies führt zu der Gleichung $4x-3q=0$.

  Addition von $3q$ und anschließende Division durch $4$ führt zu $x=\frac34q$.

  Die zweite Ableitung ist $h_q''(x)=4>0$. Es liegt also ein Tiefpunkt vor.

  Nun kann $x=\frac34q$ in der Funktionsgleichung eingesetzt werden:

  $h_q\left(\frac34q\right)=2\left(\frac34q\right)^2-3q\cdot \frac34q+q=-\frac98q^2+q$.

  Damit ist jeder Scheitelpunkt gegeben durch

  $S\left(\frac34q\big\vert-\frac98q^2+q\right)$.

  Nun kann überprüft werden, ob jeder der Scheitelpunkte auf der Kurve

  $i(x)=-2x^2+\frac43x$

  liegt. Hierfür wird $x=\frac34q$ in dieser Gleichung eingesetzt:

  $i\left(\frac34q\right)=-2\left(\frac34q\right)^2+\frac43\cdot \frac34q=-\frac98q^2+q$ $~~~~~$ ✓.

• Bestimme die Scheitelpunkte der Funktion.

  Tipps

  Die erste Ableitung von $k_b(x)$ ist

  $k_b'(x)=4x-4b$.

  Hier siehst du den ersten Schritt des Einsetzens von $b$ in der Funktionsgleichung $k_b(x)$.

  Lösung

  Die Verschiebung einer Parabel kann man sich gut an dem Scheitelpunkt klarmachen.

  Wie kann man den Scheitelpunkt einer Parabel bestimmen: Der Scheitelpunkt ist der Extrempunkt der Parabel.

  • Also muss $k_b'(x)=4x-4b=0$ sein. Dies führt zu $x=b$.
  • Die zweite Ableitung $k_b''(x)=4>0$, also liegt ein Tiefpunkt vor.
  • Einsetzen von $x=b$ in der Funktionsgleichung führt zu $y=k_b(b)=2b^2-4b^2+3=-2b^2+3$.

  Somit lautet der Scheitelpunkt $S(b|-2b^2+3)$.

  Ausgehend von der Normalparabel ist diese Parabel

  • um $b$ Einheiten entlang der x-Achse und
  • um $-2b^2+3$ entlang der y-Achse verschoben.
  • Zusätzlich ist die Parabel um den Faktor $2$ gestreckt.

• Leite die Ortskurve der Scheitelpunkte her.

  Tipps

  Eigentlich kannst du die Ortskurve auch direkt ablesen.

  Beachte: Die y-Koordinate muss in Abhängigkeit von $x$ dargestellt werden.

  Lösung

  Wenn man die Scheitelpunkte einer Parabelschar kennt und diese sowohl in der x- als auch in der y-Koordinate von dem Parameter (hier $b$) abhängen, kann man die zugehörige Ortskurve, auf welcher alle Scheitelpunkte der Parabelschar liegen, bestimmen. Dabei geht man wie folgt vor:

  1. Man formt die x-Koordinate nach dem Parameter um. Also gilt hier $b=x$.
  2. Dann setzt man diesen Parameter in der y-Koordinate ein: $y=-2x^2+3$.
  3. Dies ist dann die gesuchte Ortskurve: $y(x)=-2x^2+3$.

• Beschreibe die Bedeutung der Paramater $a$, $b$ sowie $c$.

  Tipps

  Von oben nach unten lauten die Funktionsgleichungen

  • $f(x)=x^2-6x+11$
  • $f(x)=x^2-6x+9$
  • $f(x)=x^2-6x+8$

  Die blaue Parabel gehört zu $a=1$, die grüne zu $a=\frac12$ und die gelbe zu $a=2$.

  Lösung

  Die allgemeine Darstellung einer quadratischen Funktion lautet

  $f(x)=ax^2+bx+c$.

  Wenn jeder Parameter durch eine Zahl ersetzt wird, erhält man eine spezielle quadratische Funktion mit der zugehörigen Parabel.

  Wenn allerdings mindestens ein Parameter erhalten bleibt, spricht man von einer Parabelschar, da zu jedem Wert für diesen Parameter eine Parabel gehört. Es gibt also unendlich viele Parabeln in Abhängigkeit von dem Parameter.

  Wenn zum Beispiel der Parameter $b$ noch frei gewählt werden kann, liegen alle Scheitelpunkte auf einer Ortslinie oder Ortskurve.

  Der Streckfaktor $a$:

  • Für $a>1$ wird die Parabel gestreckt und für $0<a<1$ gestaucht.
  • Ist $a$ negativ, so wird die Parabel gespiegelt.

  Der Parameter $b$:

  Mit Hilfe von $b$ kann die x-Koordinate des Scheitelpunktes einer Parabel bestimmt werden. Das bedeutet, dass die Parabel sowohl entlang der x- als auch der y-Achse verschoben wird.

  Der Parameter $c$:

  ... bewirkt ausschließlich eine Verschiebung entlang der y-Achse. Wenn man in der Funktionsgleichung $x=0$ einsetzt, erhält man $f(0)=c$. An dieser Stelle schneidet die Parabel also die y-Achse.

• Ermittle die Ortskurve der Scheitelpunkte der Parabelschar.

  Tipps

  Die beiden Ableitungen sind

  • $f_t'(x)=4x+4t$ sowie
  • $f_t''(x)=4$.

  Die x-Koordinate des Scheitelpunktes lautet $x=-t$.

  Setze dies in der Funktionsgleichung ein. So erhältst du die y-Koordinate.

  Forme die x-Koordinate des Scheitelpunktes nach $t$ um und setze dieses $t$ in der y-Koordinate ein.

  Die Scheitelpunkte der Parabelschar sind gegeben durch $S(-t|-2t^2+t)$.

  Lösung

  Zur Bestimmung der Scheitelpunkte benötigt man die ersten beiden Ableitungen:

  • $f_t'(x)=4x+4t$ sowie
  • $f_t''(x)=4$.

  Da die zweite Ableitung ungleich $0$ ist, was natürlich bei Parabeln immer der Fall ist, erhält man die x-Koordinate des Scheitelpunktes (der Scheitelpunkte), indem man die Gleichung $f_t'(x)=0$ löst. Dies führt zu $x=-t$.

  Nun wird dieser Term für $x$ in der Funktionsgleichung eingesetzt. So erhält man die y-Koordinate des Scheitelpunktes.

  $y=2(-t)^2+4t\cdot(-t)+t=2t^2-4t^2+t=-2t^2+t$.

  Die Scheitelpunkte der Parabelschar sind gegeben durch

  $S(-t|-2t^2+t)$.

  1. Die x-Koordinate wird nach $t$ umgeformt. Dies führt zu $t=-x$.
  2. Dieses $t$ wird in der y-Koordinate eingesetzt:

  $y=-2(-x)^2+(-x)=-2x^2-x$.

  Dies ist die gesuchte Ortskurve.