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Transkript Partielle Ableitungen für Funktionen mit mehreren Veränderlichen – Beispiele

In diesem Video erkläre ich euch die partiellen Ableitungen. Im Prinzip handelt es sich dabei lediglich um die Ableitungen einer Variablen unter Konstanthaltung der anderen Variablen. Zur Notation: Man schreibt ("f Index xi") fxi=∂f÷∂xi, wobei i den Wert 1, 2, 3 und so weiter annehmen kann, was nichts Anderes bedeutet als x1, x2, x3, oder aber auch x, y, z heißen kann. Folgendes Beispiel soll dies nun zeigen: f(x,y)=x³+7x²y+3xy² Zuerst leiten wir f partiell nach x ab. Dies impliziert die Konstanthaltung der Variablen y. Die Notation lautet: ∂f÷∂x=fx=3x²+14xy+3y² Im 2. Schritt wird die Funktion nun partiell nach y abgeleitet. ∂f÷∂y=fy=[x³ fällt raus, da x konstant gehalten wird]+7x²+6xy Die soeben gezeigten Ableitungen bezeichnet man auch als Ableitungen 1. Ordnung. Sind diese weiterhin differenzierbar und stetig, dann können die partiellen Ableitungen höherer Ordnung gebildet werden. Da die genannten Voraussetzungen gegeben sind, bilden wir folgend die Ableitung 2. Ordnung. Im 1. Schritt wird fx noch mal nach x abgeleitet. Zur Notation: ∂fx÷∂x=fxx=6x+14y (y ist hier konstant.) Im nächsten Schritt wird die partielle Ableitung nach x 1. Ordnung diesmal nach y abgeleitet. Wir erhalten: ∂fx÷∂y=fxy=14x+6y Dabei kommt dasselbe heraus, als würden wir die partielle Ableitung von y 1. Ordnung nach x ableiten. Schließlich fehlt noch die Ableitung von y 1. Ordnung nochmals nach y. Also: ∂fy÷∂y=fyy=6x Das war es zu den partiellen Ableitungen. Diese sind Voraussetzung zur Berechnung des stationären Punktes und vor allen Dingen in Verbindung mit der Lagrange-Funktion essenziell.

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3 Kommentare
  1. Default

    Das, was einige bestimmt nicht verstehen (akustisch), ist wohl nur eine Sprechweise für "Ableitung" - man solle sich darüber nicht allzu große Gedanken machen.

    Von Deleted User 115528, vor etwa 3 Jahren
  2. Default

    Danke, sehr gut erklärt!

    Von Moer16, vor mehr als 4 Jahren
  3. Default

    Danke, gut erklärt! Aber was ist denn mit dem lim Zeugs? Kommt ja in allen Büchern im Zusammenhang mit den partiellen Ableitungen vor :(

    Von Dimba, vor mehr als 7 Jahren