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Transkript Potenzen mit negative Exponenten – Aufgabe (9)

Hallo, hier ist eine Aufgabe für dich. Der Aufgabentext lautet, schreibe eine Potenz mit negativem Exponenten. Gegeben ist (a/b)^-n. Ja für n kann man natürliche Zahlen einsetzen und dann ist -n nicht positiv. Was kann man tun, man wendet zum Beispiel eins der bekannten Potenzgesetze an, das kann ich hier anwenden, da habe ich ein hoch und ein n. Hier habe ich zwar ein ^-n, aber ich kann für dieses n auch ein -n einsetzen. a und b steht da sowieso schon. Also kann ich das anwenden. Dann ist das a^-n/b^-n. Das ist keine Potenz mit positivem Exponenten. Das ist nämlich ein Bruch. Aber den kann ich ja noch umformen. Und das ist wieder so eine Sache, die du öfter bei diesen Potenzaufgaben hast, du musst einfach was umformen und mal gucken was passiert. Manchmal sind die Aufgaben wirklich so, das man nicht direkt von vorneherein sehen kann, was die Lösung ist. Vielleicht siehst du sie hier. Wenn nicht, dann probier einfach was aus. Also ich könnte zum Beispiel statt b^-n schreiben 1÷bn. Ja das geht, aufgrund dieser Definition und das werde ich jetzt auch mal machen, an dem a^-n mache ich überhaupt nichts, aber statt b^-n schreibe ich 1÷bn. a^-n/1/bn. Das ist jetzt wieder ein Doppelbruch geworden, macht nichts. Wir können ja durch einen Bruch teilen, indem wir mit dem Kehrwert multiplizieren. Also haben wir a^-n, das ist ja der Zähler von vorher, und der Kehrwert von 1÷bn ist bn. Also haben wir a^-n×bn. Das ist immer noch keine Potenz. Denn es ist ein Produkt. Erst wird ja an gerechnet dann wird bn gerechnet und die beiden Ergebnisse werden multipliziert. Die letzte Rechnung ist eine Punktrechnung, also ist es ein Produkt. Aber ich kann ja noch auf a^-n, diese Definition anwenden. Dann steht da statt a^-n, 1÷an und bn, das bleibt, wie es ist. Das kann ich jetzt zu einem Bruch zusammenfassen. Nämlich zu bn/an und da fällt mir ein, das kenne ich doch irgendwoher. Und zwar dieses ist das. Wenn ich hier für a, b einsetze und für b,a einsetze, dann kann ich diesen Satz anwenden. Und dann steht da also: (b/a)n. Wenn n eine natürliche Zahl ist, ist das hier eine Potenz mit positivem Exponenten und man kann sich das auch hier direkt so vorstellen, und das zum Beispiel als Satz formulieren. Dann hätten wir hier jetzt den Beweis für diesen Satz hingeschrieben. Nämlich (a/b)^-n=(b/a)n. Das haben wir rausgefunden, und das passiert öfter. Wenn man jetzt also so eine Aufgabe ausrechnet, dass man vielleicht einen neuen Satz findet. Na ja, der wird schon bekannt sein, eine Weltneuheit ist es wohl nicht. Aber das ist ein Zusammenhang, den man auch so hinschreiben kann. Und hier ist die Begründung dafür. Dann viel Spaß damit, bis bald. Tschüs.

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