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Transkript Potenzen mit negativen Exponenten – Erklärung (2)

Hallo. Ich möchte noch ein erklärendes Beispiel für die Definition a^-n=1/an bringen. n soll eine natürliche Zahl sein, dann ist -n eine negative Zahl und a0=1, falls man jeweils hier für a nicht die 0 einsetzt. Wie kann man das verstehen? Ich habe hier wieder einen Papierstreifen, einen ganz normalen Papierstreifen. Und wir könnten uns jetzt einmal vorstellen, um diese Prozesshaftigkeit dieser Definition sich vorzustellen, dass dieser Papierstreifen, aus welchen Gründen auch immer, sich jede Minute halbiert. Dann hat er in der jetzigen Minute die Länge p. In der nächsten Minute, wenn er sich jede Minute halbiert, wird er dann noch halb so groß sein, also so groß. Das bedeutet, ich muss die Länge mit 1/2 multiplizieren. Und da wir ja bei den Potenzen sind, kann ich auch schreiben p×(1/2)1. Das ist also eine Minute weiter. Er hat sich halbiert. Noch eine Minute weiter, wird er dann noch einmal halb so groß sein, jetzt kann man es schon kaum noch sehen. Das bedeutet, er hat sich dann nach 2 Minuten zweimal halbiert, also 1/2×1/2 ist die Länge und das bedeutet p×(1/2)2. So, ich halte das jetzt einmal hoch, weil ich es ein bisschen klein geschrieben habe da oben: p×(1/2)2, also p×1/2×1/2 das ist dann diese Größe, wenn er sich von dieser Ausgangsgröße aus zweimal halbiert. Was ist in dieser jetzigen Minute, wenn er sich noch gar nicht halbiert hat? Wie oft muss ich dann ×1/2 rechnen? Ja, gar nicht, nämlich p×(1/2)0=p. Und damit muss natürlich (1/2)0=1 sein. Er hat sich ja hier gar nicht verändert, das ist ja die Ausgangslage und er ist so lang, wie er eben lang ist. Jetzt kann ich mir allerdings vorstellen, was war denn vor dieser Halbierung, also was war denn vor einer Minute, also, was war bei p×(1/2)^-1? Da kann er ja nur doppelt so groß gewesen sein, wenn er sich jede Minute halbiert und jetzt so groß ist. Dann war er vorher doppelt so groß. Also, wenn man das so interpretieren möchte, kann man rechnen: p×2, also ist (1/2)^-1=2. Und das kann man eben so verstehen, dass es gleich 2 ist, wenn man sagt, ^-1 bedeutet 1 durch. Dann habe ich also 1/(1/2) und nach der Kehrwertregel, man teilt ein "Hoch", indem man mit dem Kehrwert multipliziert, ist 1/(1/2)=2. Also vorher war er doppelt so groß, das ist vernünftig. Jetzt ist er so und vor einer Minute war er so groß. Was war denn jetzt vor zwei Minuten? Das kann ich also so schreiben. p×(1/2)^-2. Dann müsste er vor 2 Minuten, also wenn dieser Halbierungsprozess auch in der Vergangenheit war, noch einmal doppelt so groß gewesen sein. Also haben wir dann hier: vor 2 Minuten, also zum Zeitpunkt -2, war er dann viermal so groß wie jetzt, also zum Zeitpunkt 0 zum jetzt gegenwärtigen Zeitpunkt. Also kann ich hier schreiben p×1/(1/2)2. Und (1/2)2=1/4. 1/(1/4)=4. Vor zwei Minuten war er also viermal so groß, weil er sich dann eine Minute weiter halbiert hat und dann hat er sich zum gegenwärtigen Zeitpunkt, um die gegenwärtige Größe zu erreichen, musste er sich noch einmal halbieren. Also war er vor 2 Minuten viermal so groß. Ja, und so kann man das jetzt weiterführen. Und hier kannst du sehen, dass es durchaus vernünftig ist, wenn man das so interpretiert, dass man auch Brüche mit negativen Zahlen potenzieren kann und dass dann jeweils der Kehrwert dieser Brüche herauskommt, wenn man ^-1 rechnet oder eben der mehrfach potenzierte Kehrwert, wenn man ^-2 oder ^-3 usw. rechnet. Das zu den Interpretationen. Jetzt kommen dann weitere Aufgaben dazu und Beispiele. Viel Spaß damit, bis bald. Tschüss.

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