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Transkript Potenzfunktionen - Hyperbeln, Definitionsbereich, Graph, Symmetrie, Asymptoten

Hallo! In diesem Video geht es wieder um Potenzfunktionen und diesmal geht es um die Hyperbeln. Und hier habe ich mal den Graph von zwei verschiedenen Hyperbeln gezeichnet. Hyperbeln, das sind Potenzfunktionen, bei denen der Exponent der Potenz eine negative ganze Zahl ist. Also zum Beispiel x-3, x-1, x-2 usw. Ich habe hier jede Potenz gleich auch noch als Bruch geschrieben, damit man sich besser vorstellen kann, was der Term bedeutet. Also 1/x, 1/x3 usw. So, und auch hier sortieren wir, wie auch schon bei den Parabeln, die Funktionen nach geraden und ungeraden Exponenten, denn davon wird ganz entscheidend die Gestalt des Graphen abhängen. Und die Graphen schauen wir uns jetzt gleich mal an. Nehmen wir zuerst x-2 also 1/x2. Da haben wir 1/12=1/1=1. 1/22=¼. Und 1/(½)2=1/¼. Das wäre also schon 4. Dann sieht also der Graph ungefähr so aus. Und wenn wir für x jeweils die negativen Werte einsetzten, kommt eigentlich immer der gleiche Wert raus, weil ja durch das Quadrat das Minus aufgehoben wird. Bei 1/x4 haben wir wieder 1/14 also 1. Dann 1/24, das ist 1/16, also schon sehr klein. Und wenn x kleiner als 1 ist, dann ist x4 noch kleiner als x2, also ist der Kehrwert größer als bei 1/x2. Und auf der linken Seite ist wieder alles ganz symmetrisch. Die Kurve ist insgesamt steiler als 1/x2. Für Werte außerhalb von dem Intervall [-1;1] verläuft sie flacher, und innerhalb verläuft sie oberhalb von 1/x2. Und bei 1/x6 ist das ganze alles noch mal ein Zacken schärfer. Kommen wir jetzt zu 1/x. Da haben wir also bei 1 den Wert 1, bei 2 den Wert ½ und bei ½ haben wir den Wert 2. Im Negativen sieht es dann so aus: 1/-1=-1, 1/-2=-½ und 1/-½=-2. Sieht also dann so aus. Und wieder sehen wir, dass bei den Funktionen mit ungeraden Exponenten der linke Arm nach unten geklappt ist. So x-3 hat bei 1 den Wert 1, bei 2 den Wert 1/8 und bei Werten, die kleiner sind als 1, ist der Nenner wieder kleiner, also der Bruch insgesamt größer als bei 1/x. Und im Negativen sieht das ganze genauso aus, nur am Ursprung gespiegelt. Und bei 1/x5 schließlich ist alles wieder noch ein Stückchen steiler. Okay. Und jetzt schauen wir uns wieder jeweils den Definitions- und Wertebereich an, Symmetrie und Monotonie. So, dieser Term bedeutet ja 1/x2, also darf ich hier keine 0 einsetzen. Ansonsten darf ich aber alles einsetzen. Also Definitionsbereich R ohne 0. Als Funktionswerte haben wir alle möglichen positiven Zahlen, aber nicht die Null. Denn wenn zum Beispiel für ein bestimmtes x 1/x2=0 wäre, dann wäre ja 1=0, wenn wir die Gleichung mit x2 multiplizieren. Das geht nicht, also kann 0 kein Funktionswert sein. Auch hier ist der Definitionsbereich R ohne 0, denn in den Term 1/x zum Beispiel darf ich keine Null einsetzen. Und diesmal kommen als Funktionswerte auch negative Werte infrage, aber nicht die 0, denn 1/x kann eben nicht 0 werden. Die Hyperbeln mit geraden Exponenten sind achsensymmetrisch und die mit ungeraden Exponenten sind punktsymmetrisch zum Ursprung. Also genau wie bei den Parabeln. Diese hier sind, wie man sieht, monoton steigend für negative x und monoton fallend für positive x-Werte, wohingegen die hier im gesamten Definitionsbereich monoton fallend sind. Diese Klasse von Funktionen nennt man also Hyperbeln n-ter Ordnung. Dabei ist der Exponent n eine ganze Zahl, die negativ ist. Und diese typische nach außen flacher werdende Form sollte man sich merken. Am Rand werden alle diese Funktionen sehr flach. Also der Limes für x gegen + oder - unendlich ist jeweils 0. Und wie bei den Parabeln gehen alle diese Funktionen durch den Punkt (1|1). Und damit sind wir erst mal mit den Hyperbeln fertig.

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10 Kommentare
  1. Default

    richtig gut erklärt, danke! hat mir sehr geholfen :)

    Von Cg8000, vor etwa einem Jahr
  2. Default

    gut auf den Punkt gebracht!!Danke

    Von Anjaelmdust, vor mehr als 2 Jahren
  3. Bewerbungsfoto

    Ich habe in die Funktion f(x) = 1/x² den x-Wert 1/2 eingesetzt...

    Von Steve Taube, vor fast 3 Jahren
  4. Default

    Oh, jetzt hab ich's verstanden.

    Von T Roesel, vor fast 3 Jahren
  5. Default

    Wieso muss man bei 1:05 1/(½)^2 machen?

    Von T Roesel, vor fast 3 Jahren
  1. Bewerbungsfoto

    Hallo Cerenalsulu,

    du hast deine Frage leider etwas ungenau gestellt, deswegen bin ich mir unsicher, was du eigentlich fragen wolltest. Falls du eigentlich den Definitionsbereich meintest, schreib bitte nochmal.
    Falls du wirklich den Wertebereich meintest:
    Also der höchste Punkt des Graphen gehört ja selbst zum Graphen, das heißt seine y-Koordinate gehört auf jeden Fall zum Wertebereich. Die Hyperbeln, die ich hier vorstelle, haben aber gar keinen höchsten Punkt. Manche von ihnen haben einen Grenzwert, also eine untere Grenze, die sie nicht unterschreiten. Diese gehört NICHT zum Wertebereich. In den Funktionen aus dem Video ist das immer die 0. Falls die Funktion einen geraden Exponenten hat (1/x hoch 2, 1/x hoch 4, usw.), gehören nur die positiven Zahlen zum Wertebereich (da gehört die 0 nicht dazu). Falls die Funktion einen ungeraden Exponenten hat, gehören alle Zahlen zum Wertebereich, außer die 0. Diese Regel gilt aber nur für die Funktionen aus dem Video. Sobald in der Funktion andere Terme (z.B. zusätzliche x-Potenzen) vorkommen, muss man sich den Wertebereich anders erschließen.

    Viel Erfolg! Wenn noch was unklar ist, frag nochmal!

    Von Steve Taube, vor etwa 3 Jahren
  2. Img 1151

    also ist es so dass man für den wertebereich alle zahlen auser den höhsten punkt der graph schreiben kann ?

    Von Cerenalsulu, vor etwa 3 Jahren
  3. Default

    Erklären tust du es gut, aber du sprichst leider viel zu schnell :/ Man hat zur Not ja noch das Video als Text, aber trotzdem.

    Von Manuela J., vor mehr als 3 Jahren
  4. Default

    Klasse Video ;) Danke

    Von Fhennerich, vor mehr als 3 Jahren
  5. Photo 00033

    super!

    Von Bernadette W., vor fast 4 Jahren
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