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Transkript Quadratwurzeln aus Brüchen (9)

Hallo! Eine kleine Sache möchte ich noch zeigen. Hier zu diesem Zahlenstrahl und zu den Abständen und den Größenverhältnissen der Wurzeln und der Zahlen, aus denen die Wurzeln bestimmt werden oder deren Wurzeln gezogen werden. Falls diese Zahlen also alle < 1 sind, sich zwischen 0 und 1 befinden und dazu möchte ich mal folgendes anstellen. Wir haben 1⁄100. 1⁄100 wissen wir, ist 0,01. Wir wissen auch, dass 1 und 100 Quadratzahlen sind, also können wir einfach mal schreiben: Wurzel aus 1⁄10 × 1⁄10. 1⁄10 × 1⁄10 ist ja 1⁄100. Das muss ich nicht weiter erläutern. Damit ist die √1⁄100 = 1⁄10. In Dezimalzahlen sieht das also so aus. 1⁄100 ist 0,01, 1⁄10 ist 0,1. 1⁄10 ist hier, ja das pack ich mal so hin, weil 1⁄9 und 1⁄10 jetzt ja sehr nah beieinander liegen. Dieses Zehntel ist die Wurzel aus 1⁄100 und 1⁄100 ist der zehnte Teil eines Zehntels. Das Hundertstel ist hier. Warum zeig ich das jetzt nochmal? Eigentlich ist es ja schon klar geworden, wie man Wurzeln aus Brüche zieht, deren Zähler und Nenner Quadratzahlen sind, beziehungsweise genauer gesagt Zahlen, also Quadrate natürlicher Zahlen sind. Ich zeig das nochmal, weil hier der Abstand zwischen Zahl, aus der die Wurzel gezogen wird und der Wurzel selber ziemlich gering ist. Hier ist der Abstand größer, hier ist der Abstand noch größer, bei der Wurzel aus 1⁄4 und 1⁄2. Und hier ist der Abstand wieder kleiner. Wenn wir Wurzeln aus Zahlen bestimmen, die > 1 sind, da haben wir festgestellt, je größer die Zahl wird, desto weiter ist auch die Wurzel weg. Das wächst ziemlich schnell. Die Größe, also der Abstand zwischen Zahl und Wurzel. Das kann man an einer Tausendertabelle oder einem Tausenderzahlenstrahl sehr gut sehen. Aber hier in dem Bereich zwischen 0 und 1 ist es ein bisschen anders. Das scheint so zu sein, dass - also hier in der Mitte - der größte Abstand ist oder dass er irgendwie größer ist, als wenn man mit Zahlen aus der die Wurzel gezogen wird und der Wurzel selber weiter nach links geht. Auch wenn man weiter nach rechts geht. Man kann sich das auch so erklären, dass der Abstand, der hier immer kleiner werden muss; denn wenn eine Zahl sehr nahe bei 0 ist, dann kann natürlich die Wurzel nicht hier oben in dem Bereich irgendwo sein. Dann wird sie auch da unten sein, denn sonst würde das da hier mit der Kontinuität irgendwie nicht passen. Das sieht man schon so aus mathematischer Erfahrung. Das ist jetzt kein Beweis natürlich. Auf der anderen Seite kann man sich vorstellen, wenn eine Zahl knapp unter 1 ist, ein bisschen weniger als 1, dann wissen wir, dass die Wurzel größer sein muss, weil die Zahl selber kleiner als 1 ist, aus der die Wurzel gezogen wird. Die Wurzel selbst muss also größer als 1  als die Zahl selber sein, aus der sie gezogen wird, aber sie muss kleiner als 1 sein. Das heißt, je näher eine Zahl, aus der die Wurzel gezogen wird, zu 1 kommt, desto kleiner ist der Abstand, in dem die Wurzel sich noch befinden kann. Und das ist eine Aufgabe, find ich, das kann man ruhig mal experimentieren, wo denn der größte Abstand ist, man kann sich das auch versuchen vorzustellen, man kann das auch versuchen zu beweisen, wo der Abstand am größten sein muss. Ist eine interessante Aufgabe. Geht übrigens auch mit der Differentialrechnung, ist eine typische Extremwertaufgabe, bei der man dann auch noch was über Wurzeln lernen kann. Find ich, ist eine ganz nette Sache, wollte ich einfach mal gesagt haben. Hier möchte ich es nicht lösen, um dir also die Möglichkeit zu geben, wirklich neue Ideen zu entwickeln, das wäre ganz gut hier und das geht auch ganz gut und deshalb möchte ich dabei weiter gar nicht viel sagen. Viel Spaß damit, bis bald, tschüss!  

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