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Transkript Quadratwurzeln aus Brüchen – Formel (1)

Hallo! Im letzten Film habe ich gezeigt, wie man die Wurzel ziehen kann aus einer Zahl, die eine Potenz ist mit geradem Exponenten. Ich habe das gezeigt an der Zahl 1/210, das ist ja (1/25)×(1/25), und dieses Ergebnis kann man verallgemeinern. Das möchte ich deshalb mal zeigen, weil sich manche Schüler ja fragen: Wer denkt sich so etwas aus? Warum denkt man sich so etwas aus? Wie kommt man auf die ganzen Formeln überhaupt? Und wenn so etwas einem auffällt, wie zum Beispiel, dass im letzten Film, wir haben eine Potenz mit geradem Exponenten, haben da was gemacht, dann kann man sich denken: Ist das denn verallgemeinerbar? Manche Leute interessiert so was und die denken sich das dann aus. Zum Beispiel wenn einen das interessiert und man das vielleicht verallgemeinern möchte, denkt man sich noch ein Beispiel aus dazu. Und zwar nehme ich mal eine Potenz mit geradem Exponenten, ich nehme mal 34. Das ist schön klein, das kann ich noch überblicken. Ich gucke einfach mal, ob das, was mir da aufgefallen ist, jetzt hier wieder auffällt. Das wäre dann ein 2. Beispiel dafür. Also ich weiß ja schon: 34 ist 81. 3×3=9×9=81. Und ich kenne ja dieses Potenzgesetz, dieses hier, das hatten wir schon oft. Wenn jetzt a=3 und m+n=4, dann könnte zum Beispiel m=2 sein und n könnte auch =2 sein. Also statt 34 schreibe ich 32×32. Es ist jetzt sehr einfach, die Wurzel abzulesen, denn die Wurzel ist einer dieser beiden Faktoren, die ja beide gleich groß sind. Damit ist das die Wurzel. Das bedeutet, ich habe ein 2. Beispiel für das gefunden, was mit aufgefallen ist, und jetzt will ich alles. Ich frage mich: Ist das immer so? Wenn das immer so sein sollte, dann gibt es da bestimmt auch irgendeine Formel, die ich verwenden kann. Die muss ich ein bisschen umformen und dann komme ich zu meiner neuen Formel. Zum Beispiel habe ich ja diese Formel hier verwendet und wir hatten schon gesagt, ich hatte sie so verwendet, dass m und n gleich groß sind. m=2, n war auch =2. Das heißt - ich mach das jetzt ein bisschen schnell vor, normalerweise dauert das länger, man macht noch ein paar mehr Beispiele und muss noch ein bisschen mehr überlegen - wir stellen uns Folgendes vor: Ich habe ein a unter einer Wurzel. a ist jetzt irgendeine positive Zahl, sag ich mal, damit ich mit den Minuszeichen keinen Ärger habe, sag ich das mal so, und dieses a hat Exponenten, nämlich ein n+ ein n. Die beiden n's sind also gleich groß. Das kann ich zusammenfassen zu a2n. \sqrt (a2n). n+n ist ja 2n. 2n ist immer eine gerade Zahl. Ich nehme an, dass n eine natürliche Zahl ist. 2× eine natürliche Zahl ist selbstverständlich eine gerade Zahl. Also habe ich hier die Situation: Eine Potenz mit geradem Exponenten. Laut diese Formel hier kann ich das so schreiben: (an)×(an). Da diese beiden Faktoren an und an gleich groß sind, deshalb kann ich also direkt die Wurzel ziehen. Sie ist an. Und damit ist eigentlich unsere Formel schon komplett. Man kann jetzt noch drüber streiten: Ist es diese Gleichung oder ist es diese Gleichung? Ich werde die jetzt einfach mal einrahmen, in schön Rot, das ist die Formel, die wir jetzt so im Schnelldurchgang gefunden haben. So hab ich das mal vorgemacht. Normalerweise dauert es etwas länger, aber das war so dieser Prozess, wie Formeln normalerweise entstehen, und ich bin mir sicher, du kannst das auch. Probier einfach, neue Formeln zu finden, beeindrucke deine Umwelt und deinen Mathelehrer, kann nichts passieren. Viel Spaß damit, bis bald, tschüss!

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