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Transkript Rekonstruktion ganzrationaler Funktionen – Oberkante eines Eingangstores

Hallo! Heute möchte ich euch eine Aufgabe zum Thema Modellierung vorstellen. Es wird dabei um eine Polynomfunktion 4. Grades gehen. Die Oberkante des Tores auf der Skizze kann durch den Graphen einer ganzrationalen Funktion beschrieben werden. Eure Aufgabe ist es, diese Funktion zu bestimmen. Die Aufgabenstellung sagt uns, dass das Tor achsensymmetrisch ist, 4 m breit, und dass der obere Teil 2 m hoch ist. Die rot gezeichnete Linie ist der Graph der gesuchten Funktion. Um diese Funktion zu bestimmen, legen wir zunächst einmal ein Koordinatensystem durch die Skizze. Günstigerweise legen wir die y-Achse so, dass unser achsensymmetrisches Bild auch genau in der Mitte geteilt wird. Die x-Achse wählen wir so, dass sie den Unterteil des geschwungenen Teils bildet. Nun überlegen wir uns, welche Punkte wir in das Koordinatensystem eintragen können. Da ist zunächst einmal die 0, also der Koordinatenursprung, aber wir wissen auch, dass unser Tor 4 m breit ist. Deshalb berührt der Graph der Funktion die x-Achse bei x=2 und bei x=-2. Außerdem soll der obere Teil an der höchsten Stelle 2 m hoch sein. Nun überlegen wir uns, was für eine ganzrationale Funktion das sein könnte. Es könnte ja zum Beispiel ein Polynom 2. Grades sein, ein Polynom 3. Grades, 4. Grades oder 5. Grades. Aber welches davon ist es denn nun? Die Antwort ist, dass es sich um ein Polynom 4. Grades handelt. Und warum? Wie man an der Skizze sieht, hat unser Polynom 3 Extremstellen. Eine bei x=0, eine bei x=2 und eine bei x=-2. Da aber nur Polynome vom Grad 4 oder höher 3 Extremstellen haben können, muss unser Polynom mindestens 4. Grades sein. Daher machen wir den Ansatz: f(x)=a×x4+b×x3+c×x2+d×x+e, wobei a, b, c, d und e irgendwelche Konstanten sind. Diese Gleichung gilt ganz allgemein für alle Polynome 4. Grades. Da wir aber wissen, dass unsere Funktion achsensymmetrisch sein soll, können wir alle Terme mit ungeraden Exponenten weglassen. Es bleibt nur noch übrig a×x4+c×x2+e. Der Grund dafür ist, dass in achsensymmetrischen Funktionen immer nur Terme mit geraden Exponenten vorkommen. Also zum Beispiel 1, x2, x4 und so weiter. Bei punktsymmetrischen Funktionen hingegen kommen immer nur Terme mit ungeraden Exponenten vor, also zum Beispiel x, x3, x5 und so weiter. Der Ansatz für unsere gesuchte Funktion lautet also: f(x)=a×x4+c×x2+e. Das heißt, wir suchen jetzt 3 Unbekannte, a, c und e. Um 3 Unbekannte zu bestimmen, benötigt man 3 Gleichungen, die wir aus den Bedingungen ermitteln, die wir an die Funktion stellen. Solche Bedingungen kann man zum Beispiel ermitteln, indem man die Koordinaten von Punkten betrachtet, durch die die Funktion verlaufen soll. In unserem Fall soll die Funktion durch den Punkt (0,2) laufen, also muss f(0)=2 sein. Außerdem läuft unsere Funktion durch den Punkt (2,0), somit ist f(2)=0. Wir könnten jetzt außerdem verwenden, dass die Funktion durch den Punkt (-2,0) verläuft, aber wir werden gleich sehen, dass uns dies keine weitere Information bringt. Nun verwenden wir die beiden Bedingungen, die wir bisher gefunden haben. Wir setzen also f(0)=2 in unseren Ansatz ein, a×x4+c×x2+e=f(x). Also soll a×04+c×02+e=2 sein. Da die ersten beiden Terme 0 sind, wissen wir jetzt schon, das e=2. Wir haben also unsere erste Unbekannte gefunden. Jetzt nehmen wir unserer zweite Bedingung und setzen sie in die Funktionsgleichung ein. Weil f(2)=0 sein soll, ist a×24+c×22+e=0. Wenn wir das zusammenfassen und berücksichtigen, dass wir ja e schon kennen 16a+4c+2=0. Damit haben wir also eine bestimmende Gleichung für a und c. Schauen wir uns doch jetzt mal an, was passieren würde, wenn wir versuchen würden, den Punkt (-2,0) einzusetzen, um daraus eine Gleichung zu ermitteln. Wir erhalten a×(-2)4+c×(-2)2+2=0 und stellen fest, dass das genau die Gleichung ist, die wir schon haben. Wir können sie also nicht dazu verwenden, weitere Information über unsere Funktion zu sammeln. Der Grund dafür ist, dass wir die Information, dass unser Tor achsensymmetrisch ist, bereits verwendet haben, nämlich am Anfang, als wir aus dem Ansatz f(x)=a×x4+b×x3+c×x2+d×x+e die einfachere Gleichung f(x)=a×x4+c×x2+e. Also haben wir immer noch nur eine Gleichung für 2 Unbekannte, das heißt, wir müssen weitere Bedingungen suchen. Das können zum Beispiel Extremstellen sein, denn Extrema sind Nullstellen der 1. Ableitung. Also müssen wir unsere Funktion f(x)=a×x4+c×x2+e ableiten. Dazu kommt die 4 nach vorne, der Faktor a bleibt stehen und der Exponent von x wird um 1 verringert. Wir haben jetzt also 4a×x3+, dann kommt die 2 nach vorne, Faktor c bleibt stehen, 2×c×x, denn auch hier wird der Exponent um 1 verringert. Das konstante Glied am Schluss fällt weg und schon haben wir unsere Ableitung f`'(x). Diese können wir jetzt verwenden, um unser Wissen über die Extremstellen der Funktion zu Gleichungen zu verarbeiten. Wir wissen, dass sich bei x=0 ein Extremum befindet, also ist f'(0)=0. Das setzen wir in die Gleichung für unsere Ableitung ein und erhalten 4×a×03+2×c×0=0, also 0=0. Das ist schade, denn es liefert uns keine Information über a und c. Also brauchen wir noch eine weitere Information, um a und c zu bestimmen. Die haben wir auch, denn wir wissen, dass auch bei x=2 die Ableitung 0 ist, also ein Extremum vorliegt. Wir können also einsetzen: f'(2)=0. Somit gilt dann: 4×a×23+2×c×2=0. Also 32a+4c=0. Das ist die zweite Gleichung, die wir gesucht haben. Nun haben wir endlich 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten, also ein lösbares Gleichungssystem. Wir erhalten a und c, indem wir zunächst einmal die zweite Gleichung nach c umstellen, wir rechnen also -32a und erhalten: 4c=-32a. Dann setzen wir dieses Zwischenergebnis in die erste Gleichung ein: 16a-32a+2=0 und stellen jetzt nach a um. Also Rechenbefehl: -2 und ÷-16. Dann erhalten wir: a=1/8. Wir haben jetzt also schon den Wert von a bestimmt und können ihn benutzen, um c zu bestimmen, indem wir wieder oben einsetzen: 4c=-32a, also -32×1/8. Wir erhalten: 4c=-4 und wenn wir durch 4 teilen, c=-1. Also haben wir auch unsere dritte Variable, c, bestimmt. Nun haben wir die 3 Variablen a, c und e und den Ansatz f(x)=a×x4+c×x2+e. Wir wissen, dass a=1/8, dass c=-1, und dass e=2. Also können wir die Variablen jetzt in den Ansatz einsetzen und erhalten 1/8x4-x2+2=f(x). Das ist schön, denn damit haben wir unsere Funktionsgleichung bestimmt und die Aufgabe gelöst. Zum Abschluss noch mal eine kurze Zusammenfassung des Lösungswegs. Zuerst haben wir den Funktionsgrad unserer Funktion bestimmt, das war in unserem Fall x4. Wir haben den allgemeinen Ansatz für Polynome 4. Grades aufgestellt und dieser lautet f(x)=a×x4+b×x3+c×x2+d×x+e. Dann haben wir die Symmetrie unserer Funktion ausgenutzt und nur noch sie Terme mit geraden Exponenten übrig gelassen. Wir erhalten: f(x)=a×x4+c×x2+e. Um die Variablen a, c und e zu bestimmen, haben wir Bedingungen an die Funktion gestellt. 2 davon haben wir aus Koordinaten von Punkten ermittelt, f(0)=2 und f(2)=0. Die beiden anderen haben wir über die Lage von Extrema aufgestellt: f'(0)=0 und auch f'(2)=0. Anhand dieser Bedingungen konnten wir Gleichungen aufstellen, mit deren Hilfe wir a, c und e ermitteln konnten. Diese setzen wir am Schluss in unseren Ansatz ein und schon sind wir fertig. Das war es für heute von mir. Bis bald.

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3 Kommentare
  1. Default

    Kann es sein dass a=-1/8 , b=1 und c= 2 ist?

    Von Celiaelena, vor etwa 3 Jahren
  2. Default

    Kann es sein dass a=-1/8 , b=1 und c= 2 ist?

    Von Celiaelena, vor etwa 3 Jahren
  3. Default

    Hallo :),
    dein Video hat mir richtig gut gefallen.
    Ich habe gerade so eine ähnliche Aufgabe zu bearbeiten und ich wollte fragen ob du mir vielleicht bei dieser Aufgabe helfen könntest. Die Informationen die in dieser enthalten sind kann ich leider nicht so einordnen.

    Lg.
    golden_times

    Von Golden Times, vor mehr als 4 Jahren