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Transkript Stammfunktionen der Exponentialfunktion, Sinusfunktion und Cosinusfunktion

Hallo, in diesem Video bestimmen wir die Stammfunktionen von ex, ax, sinx und cosx und berechnen gleich noch ein paar Flächen dazu. Wir machen uns wieder eine kleine Übersicht: Von links nach rechts wird immer integriert, also wenn links die Funktion steht, steht rechts ihre Stammfunktion. Und von rechts nach links wird abgeleitet.   Die Funktion ex ist die Dankbarste aller Funktionen, die hat nämlich sich selber als Ableitung, also hat sie auch sich selber als Stammfunktion. Das kann man sich wirklich kann einfach merken. Die Funktion ax, also für eine allgemeine Basis "a", hat die Ableitung ln aax. Warum das so ist, könnt ihr in einem anderen Video von mir sehen. Das heißt, das Integral von ln aax dx = ax. Und da darf ich jetzt die konstante Zahl ln a aus dem Integral rausziehen nach der Faktorregel und dann brauch ich nur noch durch ln a teilen, dann fällt nämlich links ln a weg. Und die Stammfunktion von ax ist dann also 1/ln a * ax + c. Als Beispiel für eine Flächenberechnung nehmen wir jetzt einmal die Funktion "1/2x + x". Deren Graph sieht in etwa so aus. Und wir wollen wissen, welche Fläche sie mit der x-Achse zwischen -3 und 0 einschließt. Und das machen wir jetzt eben mit einem Integral der gegebenen Funktion. A = | Integral von -3 bis 0 von der Funktion (1/2x + x) dx | Den Betrag mache ich deswegen, weil es sich hier um eine Fläche handelt. Wir sehen zwar, dass die Funktion nur im Positiven verläuft, also könnte ich mir das auch sparen, aber bei Flächen würde ich allgemein sagen: Sicher ist sicher, lieber Betragstriche drumrum machen. Jetzt wenden wir für das Integral die Summenregel an, schreiben also zwei einzelne Integrale und dann schreiben wir die Stammfunktion von 1/2x auf. Nach unserer Regel von gerade ist das 1/2x * 1 / ln der Basis, also 1 / ln 1/2, und das Ganze in den Grenzen von -3 bis 0. Die schreiben wir noch einmal an die eckigen Klammern dran. + Stammfunktion von x, das ist nach der Potenzregel 1/2 x2, eckige Klammer drum und wieder die Grenzen ranschreiben. Jetzt setzen wir die Grenzen ein: 1/ ln1/2 * 1/20 - 1/ ln1/2 * 1/2^-3 Also immer die obere Grenze minus die Untere. Und dann + 1/202 - 1/2(-3)2 und die Betragstriche bleiben außen herum. Das ist 1/ ln1/2 * 1 - 1/ ln1/2 * 8 + 0 - 9/2 Da können wir 1/ ln1/2 noch ausklammern, das ist dann also 1/ ln1/2 * (-7) - 9/2 Und das ergibt ungefähr 5,6 Flächeneinheiten.

Bei den Ableitungen von Sinus und Cosinus, da kommt man leicht mit dem Minus durcheinander. Man weiß nur Sinus hat irgendwie Cosinus als Ableitung und Cosinus als Sinus, aber wann das Minus da hinkommt, ist nicht ganz klar. Deswegen versuche ich jetzt einmal zu erklären, wie ich mir das merke und vielleicht hilft euch das ja. Also der Sinus war zuerst da, denn der Cosinus ist ja nur der Cosinus. Also der Sinus ist sozusagen der wahre Sinus. Deswegen hat der die beste Ableitung bekommen, nämlich ohne Minus, also ganz sauber Sinus' = Cosinus. Und eigentlich ist das wirklich das Einzige, was man sich merken muss, weil alles andere sich daraus ergibt. Der Cosinus hat dann eben den Sinus als Ableitung bekommen, aber für den war eben nur noch die Version mit dem Minus übrig. Will ich die Ableitung von - Sinus wissen, brauche ich eigentlich in der ersten Zeile überall nur ein Minus dazumachen, also - Cosinus. Und für die Ableitung von - Cosinus muss ich in der zweiten Zeile nur überall ein Minus dazumachen, da habe ich also - - sin x, also sin x. Und daraus ergibt sich dann gleich Integral von Sinus ist - Cosinus und Integral von Cosinus ist Sinus. Und die anderen beiden ergeben sich dann auch gleich wieder daraus.   Den Merkkasten schreiben wir uns jetzt noch einmal oben in die Ecke. "Der Sinus war zuerst da", also kriegt der als Ableitung Cosinus und der Cosinus nur - Sinus.   Das ist der Graph des Sinus zwischen -4 und pi und wir wollen jetzt einmal die rote Fläche bestimmen. Dabei besteht die Gesamtfläche aus diesen beiden Teilflächen, die sind aber gleich groß. Also reicht es, wenn ich 2 * die zweite Fläche zum Beispiel berechne. Ich habe also 2 * | Integral von 0 bis pi von sinx dx | Jetzt habe ich hier Sinus als Integrant, aber aus den beiden Regeln da oben geht nur die Stammfunktion von - Sinus hervor. Das ist aber nicht schlimm, weil dann mache ich vor die Stammfunktion einfach noch ein Minus und dann habe ich eben die Stammfunktion. Ist also 2 * | [ - cos x] von 0 bis pi | Jetzt werden die Grenzen eingesetzt. Da haben wir also - cos pi - (- cos 0) | Also auch hier muss man mit dem Minus aufpassen. = 2 * Cosinus pi ist -1, also entsteht vorne eine 1, Cosinus 0 ist 1, also haben wir --1, also +1. Also kommt insgesamt raus: 4 Flächeneinheiten Jetzt kennen wir eigentlich schon alle Grundintegrale und beim nächsten Mal werden wir üben, wie man dann wirklich auch schwierigere Flächen ausrechnet.

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14 Kommentare
  1. Bewerbungsfoto

    Hallo Urs,
    einen Zusammenhang zwischen der e-Funktion und den Sin-/Cos-Funktionen gibt es nur, wenn man mit komplexen Zahlen rechnet. Da dies für die Schule nicht relevant ist, gibt es also keinen Zusammenhang. Da du sin' und cos' mit Strich geschrieben hast, bin ich mir jetzt nicht sicher, ob du die Ableitungen meinst oder die normalen Funktionen. Die Themen sind hier sehr übersichtlich aufbereitet. Ich gebe dir hier die Links zu den einzelnen Unterthemen. Dort musst du dir allerdings das richtige Video raussuchen.
    Zu Exponentialfunktionen:
    http://www.sofatutor.com/mathematik/funktionen-und-analysis/exponentialfunktionen-und-logarithmusfunktionen/exponentialfunktionen-f-x-b-a-x
    Achtung: die meisten Videos behandeln allgemeine Exponentialfunktionen der Form a*b^x. Du musst schauen, welche Videos die natürliche Exponentialfunktion e^x behandeln.

    Zu den Winkelfunktionen:
    http://www.sofatutor.com/mathematik/funktionen-und-analysis/winkelfunktionen/die-winkelfunktionen-sin-x-cos-x-und-tan-x-im-winkelmass-und-bogenmass
    und
    http://www.sofatutor.com/mathematik/funktionen-und-analysis/winkelfunktionen/funktionen-der-form-f-x-a-sin-b-x-d-e

    Falls du die Ableitungen meintest, Exponentialfunktionen:
    http://www.sofatutor.com/mathematik/funktionen-und-analysis/ableitungen/ableitung-von-exponentialfunktionen-und-logarithmusfunktionen
    Winkelfunktionen:
    http://www.sofatutor.com/mathematik/funktionen-und-analysis/ableitungen/ableitungsregeln-fuer-sinus-kosinus-und-die-hyperbelfunktionen

    Nochmal alles in der Übersicht findest du hier:
    http://www.sofatutor.com/mathematik/funktionen-und-analysis

    Viel Erfolg. Wenn du noch konkrete Fragen hast zu e^x oder sin(x), cos(x), dann frag.

    Von Steve Taube, vor mehr als einem Jahr
  2. Img 20151011 002133

    Ich suche ein video das mit der e-funktion und sin', cos' zu tun hat.gibt es da überhaupt einen zusammenhang? Integralrechnung kenne ich iwie in der 11. Klasse noch nicht.

    Von Juliane G., vor mehr als einem Jahr
  3. Default

    noch schneller geht es nicht?

    Von Chadjahasan, vor mehr als einem Jahr
  4. Default

    wo findet man das vom tutor genannte video zur ableitung von a^x?

    Von Bootylicious1, vor fast 4 Jahren
  5. Default

    Wie immer klasse Tutorium! Inzwischen sogar mit kleinen Pausen zum sacken lassen und Luft holen. :) TOP!

    Von Cuibono, vor fast 4 Jahren
  1. Default

    sorry.. ist schon nen bisschen später :)
    Die Frage war völliger blödsinn ! :D

    Von Janmoe, vor fast 4 Jahren
  2. Default

    Ein sehr gut gemachtes Video !
    Leicht verständlich, logisch und auch freundlich erklärte Sacheverhalte !
    Vielen dank dafür.
    Ich hab dennoch nicht verstanden:
    Warum ist die Stammfunktion von a^x nicht F= 1/x+1 * a^x+1 für x element R ungleich -1 ?

    Von Janmoe, vor fast 4 Jahren
  3. Default

    Ich verstehe nicht, warum (-cos Pi) zu -(-1) wird. Meinen Berechnungen zufolge ist (-cos Pi) = -0,998497. ???????

    Von Deni Machtnix, vor mehr als 4 Jahren
  4. Default

    Ich finde diese Übungsaufgabe sehr schwer. Auch mit deinem Tipp, Steve. Wie bekommt man den von der Funktion 1/3*cos*x die Nullstellen? Du sagstest es gibt zwei Nullstellen. Also müsste man von -Pi bis zur Ersten, von der Ersten zur Zweiten und von der Zweiten bis +Pi integrieren. Das kommt mir sehr umständlich vor im Verhältnis zu den anderen Übungsaufgaben. Kannst du das bitte noch genauer erläutern? Beziehungsweise den genauen Lösungsweg beschreiben?

    Von Fred Vom Jupiter, vor mehr als 4 Jahren
  5. Bewerbungsfoto

    Ihr dürft nicht von -Pi bis +Pi durchintegrieren. Dazwischen liegen zwei Nullstellen. Ihr dürft immer nur von Nullstelle zu Nullstelle integrieren und um jedes dieser Integrale muss ein Betrag.

    Von Steve Taube, vor fast 5 Jahren
  6. Default

    das problem hab ich auch. da steht halt am ende 0-0 ... und ein I 0-0 I bringt mich da auch nicht weiter :/

    Von Yevgeniy Y., vor fast 5 Jahren
  7. Default

    Das das Ergebnis eines Betrages immer Positiv ist? Aber was heißt das hier konkret? Bitte um Auflösung.

    Von Saschkai, vor etwa 6 Jahren
  8. Bewerbungsfoto

    Genau, deswegen steht da der Hinweis. Gesucht ist die Fläche, an was musst du da denken?

    Von Steve Taube, vor etwa 6 Jahren
  9. Default

    Zur Aufgabe ganz am Ende: Stammfunktion zu 1/3 cos x ist doch 1/3 sin x , oder?
    Wenn ich pi einsetze habe ich ein Problem weil sin pi= 0
    1/3 sin pi -(1/3 sin-pi) ??

    Von Saschkai, vor etwa 6 Jahren
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