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Transkript Vektoren – Basisdarstellung

Hallo, in diesem Video geht es um die Koordinaten eines Vektors bezüglich einer Basis und um die Eindeutigkeit dieser Koordinaten. Wir betrachten eine Teilmenge M eines Vektorraumes V über dem Körper K. Ferner betrachten wir die Menge aller Vektoren, die sich als lineare Kombination der Vektoren aus der Menge m darstellen lassen. Falls diese Menge den gesamten Vektorraum V ausmacht, so heißt sie Erzeugendensystem. Als Beispiel betrachten wir den Raum R2, er wird von den Vektoren 1,0 und 0,1 erzeugt. Teilmenge B heißt Basis eines Vektorraumes, falls folgende Bedingungen erfüllt sind: B ist ein Erzeugendensystem und B ist linear unabhängig. Die beiden Vektoren aus dem obrigen Beispiel 1,0 und 0,1 bilden eine Basis in R2, diese Basis heißt kanonische Einheitsbasis, denn die Vektoren haben die Länge 1. Diese Basis wird oft auch als Standardbasis bezeichnet. Da die Basis ein Erzeugendensystem ist, können wir einen beliebigen Vektor als lineare Kombination von Basiselementen schreiben. Die Zahlen α1 bis αn nennt man Koordinaten des Vektors V bezüglich der Basis. Wir zeigen nun, dass die Basisdarstellung eindeutig ist. Wir nehmen an, dass eine weitere Darstellung existiert, mit den Koordinaten β1 bis βn. Wir subtrahieren eine Darstellung von der anderen und bekommen den Nullvektor als lineare Kombination der Basisvektoren. Nach Definition sind aber die Basisvektoren linear unabhängig. Das heißt, der Nullvektor lässt sich aus ihnen nur trivial kombinieren. Das bedeutet αk-βk=0 für alle k von 1 bis n. Das wiederum bedeutet, dass die Koordinaten αk und βk gleich sind. Damit ist die Eindeutigkeit gezeigt. Soviel zu der Basisdarstellung der Vektoren. Danke für Ihr Interesse und weiterhin viel Spaß mit Mathematik.

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