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Transkript Vom Graphen einer Ableitung auf die Funktion schließen

Hallo! Jetzt kommt ein Moment, auf den ich mich schon lange gefreut habe, denn ich darf eine Idee von Herrn Sven Seiger aus Münster verwenden, die darf ich hier mal verwursteln in einem kleinen Film. Danke, Sven, dafür! Die Idee finde ich ziemlich klasse. Es geht darum, aus einer Ableitung eine Ausgangsfunktion zu machen. Das geht auch mit diesen lustigen Steigungsdreiecken. Hier ist eine Sammlung von Steigungsdreiecken. Übrigens, wenn wir das jetzt als Ableitungsfunktion auffassen und hier die Ausgangsfunktion suchen, dann machen wir den gleichen Prozess, den man macht, wenn man integriert. Das sähe dann so aus, hier ist eine Funktion gegeben und wir suchen eine Stammfunktion dazu. Der Prozess von unten nach oben nennt sich dann integrieren, manche sagen auch aufleiten, ich mag das überhaupt nicht, aber egal. Dieser Prozess zurück ist beides mal, ob man nun Stammfunktion sucht oder Ausgangsfunktion ist beides mal grafisch genau derselbe. Ich werde hier aber von Ableitung und Ausgangsfunktion sprechen. Also hier ist f'(x) und da f(x). Wenn das eine Ableitungsfunktion ist, dann wissen wir ja, dass die Werte der Ableitungsfunktion ungefähr so groß sind wie diese roten Balken der Steigungsdreiecke. Das heißt, die Höhen der Steigungsdreiecke, die hier oben mal in der Funktion drin waren. Das können wir genauso umgekehrt machen. Ich habe die mal vorbereitet, die Steigungsdreiecke, damit ich jetzt nicht so lange suchen muss. Hier ist die Steigung 0 übrigens, das ist gar kein richtiges Dreieck mehr, das ist einfach eine Linie, aber, naja, da steigt halt nichts. Es geht weiter hier mit -1. Wo kommt das hin? Hier. Ja so ungefähr passt das wohl. Hier haben wir -0,5 und hier -0,25. Wenn das jetzt eine Ableitung ist, dann sind die Funktionswerte der Ableitung so groß wie diese Höhen der Steigungsdreiecke, wie diese roten Balken also hier. Wie kommt man jetzt zu der Ausgangsfunktion. Ja, und da gibt es diesen Trick. Man nimmt sich einfach ein Steigungsdreieck und packt es irgendwohin, also natürlich in diesem Intervall hier. Aber irgendwohin, völlig egal, zum Beispiel in dieser Höhe, da soll es sein. Die Funktion könnte also so verlaufen, wie dieser schwarze Strich. Wenn sie so verläuft, dann ist die Steigung hier so groß wie der rote Strich, und das ist dann die Ableitung dazu. Jetzt muss ich das nächste Dreieck einfach daransetzen. Und zwar würde die Funktion ja hier einfach weitergehen. Ja, da muss ich auch noch mal näher ran, damit du das besser sehen kannst. Die Funktion würde also hier einfach weitergehen. Da ist die Steigung der Funktion 0, also bleibt sie auf der Höhe. Hier kommen die anderen Steigungsdreiecke dazu, und dann kriege ich einfach irgendeine Funktion, die diese Steigung hat, die Steigung, die hier unten angegeben ist. Das muss ich noch mal machen, hier. Das ist also so eine Funktion, so würde sie aussehen. Ich werde das einmal eben hier nachzeichnen. Da geht sie steil nach oben, dann quasi gar nicht mehr. Jetzt komme ich einfach mal hier da drunter, und so verläuft sie immer weiter. Das ist jetzt ein bisschen hakelig, weil ich da einfach in diese Steigungsdreiecke oder unter den Dingern hier hergemalt habe. Aber du siehst, so ungefähr sieht das aus. Und wenn du den anderen Film gesehen hast, den vorigen, dann wirst du erkennen, na ja, das ist wieder so eine Funktion, den Bogen kenne ich doch schon. Die andere Funktion aus dem vorigen Film sah fast genauso aus, nur quasi etwas tiefer. Sie ging hier durch die x-Achse durch. Und du kannst also sehen, wenn du die Steigungsdreiecke hier von der Ableitungsfunktion einfach hier irgendwohin setzt und dann immer wieder diese Dreiecke aneinandersetzt, bekommst du so eine Funktion. Hättest du die hier hingesetzt  und da angefangen, wäre die Funktion so verlaufen, circa. Das zeigt wieder, die Höhe der Ausgangsfunktion ist für die Ableitung völlig irrelevant, beziehungsweise, wenn du Integralrechnung gemacht hast, bedeutet das: Zu einer Ausgangsfunktion gibt es immer mehrere Stammfunktionen, die sich in der Höhe unterscheiden. So weit, so gut. Viel Spaß damit, tschüss.

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3 Kommentare
  1. Default

    Super erklärt. Aber bei der Frage mit der Gerade f die Paralel zu x-achse verläuft. Ich bekomme nach deiner regel eine steigende Gerade raus.

    Von Rimas, vor etwa 4 Jahren
  2. Default

    Hallo Lernenlernenlernen,
    wahrscheinlich hast du mittlerweile schon eine Antwort herausgefunden....
    Aber generell: Ich denke, es sind einfach nur 2 Koordinatensysteme in einem dargestellt... so als ob du 2 einzelne machen wuerdest ;) In der Praxis also einfach.

    Von Nessafee, vor fast 5 Jahren
  3. Default

    Gutes Video, frage mich jetzt nur wie ich das in der Praxis machen soll.

    Habe schließlich nur die X / Y Achse. und nicht 2 "x-achsen" wie im Beispiel angezeichnet.

    Von Lernenlernenlernen, vor mehr als 5 Jahren