Advent, Advent, 1 Monat weihnachtliche Laufzeit geschenkt.

Nicht bis zur Bescherung warten, Aktion nur gültig bis zum 18.12.2016!

Textversion des Videos

Transkript Vorzeichenwechselkriterium – Erklärung (1)

Hallo, jetzt möchte einmal das Vorzeichenwechselkriterium erläutern, und zwar wieder mithilfe dieser Steigungsdreiecke.   Das Vorzeichenwechselkriterium besagt, zumindest in Richtung von unten nach oben, das heißt von Ableitung auf Ausgangsfunkton geschlossen, es besagt, wenn die Ableitung eine Nullstelle hat, wenn die Ableitung 0 ist und das Vorzeichen der Ableitung wechselt von Plus nach Minus, dann hat die Ausgangsfunktion ein Maximum. Die Ausgangsfunktion ist schon hier, die beachten wir jetzt nicht weiter und gucken einmal, was passiert, also wenn die Ableitung eine Nullstelle hat und einen Vorzeichenwechsel.   Dazu brauche ich jetzt wieder ein Steigungsdreieck, nämlich dieses Nullsteigungsdreieck, das gar keins ist. Das werde ich jetzt einmal hierhin packen. Muss ich richtig herum halten, bei 0 ist das nicht ganz so klar, wo oben und unten ist. Also, hier soll einmal keine Steigung sein, hier hat die Ableitung eine Nullstelle. Oh, das kann man jetzt gar nicht sehen, das ist natürlich doof. Also werde ich das jetzt noch einmal so machen. Da hat also die Ableitung eine Nullstelle und ich habe gerade gesagt, die Ableitung soll einen Vorzeichenwechsel von Plus nach Minus haben. Das bedeutet, sie muss hier vorne positiv sein, das ist zum Beispiel mit so einem Steigungsdreieck der Fall, hier geht dieser rote Balken nach oben. Da ist die Ableitung positiv, danach soll sie negativ sein. Das geht zum Beispiel so. Hier ist ein Steigungsdreieck mit negativem Vorzeichen, also der Balken geht nach unten. Das zeige ich hier noch einmal in nahe dran.   Was bedeutet das jetzt für die Ausgangsfunktion? Ich kann diese Steigungsdreiecke einfach hier irgendwo dransetzen, zum Beispiel hierhin. Die Funktion geht nach oben, die Steigung ist positiv. Hier ist die Steigung überhaupt nicht da, zumindest auf einem ganz kleinen Stück, man betrachtet in der Differentialrechnung ja ganz kleine Stücke, eben unendlich kleine nach der Leibnizschen Auffassung oder Grenzwerte oder so. Will ich jetzt gar nicht weiter drauf eingehen, nur um diesen grafischen Bezug hier deutlich zu machen. Danach kann ich also rechts davon, das bedeutet danach, kann ich also dieses Steigungsdreieck da dransetzen, das hat ein Gefälle. Der rote Balken geht nach unten. Und wenn das der Fall ist, hier ist die Ableitung positiv, da ist sie 0, da ist sie negativ, Vorzeichenwechsel also von Plus nach Minus, dann ist hier auch ein Maximum. Ja, ist klar, wenn ich erst den Berg heraufgegangen bin und hinterher wieder heruntergehe, zwischendurch habe ich da gestanden, ohne Steigung, dann war da bestimmt der Gipfel, nicht nur bestimmt, sondern ganz sicher, dann war da der Gipfel und das ist quasi die mathematische Folgerung des Vorzeichenwechselkriteriums. Wenn die Ableitung eine Nullstelle hat und von Plus nach Minus, dann ist in der Ausgangsfunktion ein Maximum.   Dann viel Spaß damit, bis bald, tschüss.

Informationen zum Video
2 Kommentare
  1. Default

    Ich finde das Video ausgezeichnetg. Es geht ja darum das Vorzeichenwechselkriterium anhand der Steigungen zu erklären. Das ist mit den kleinen Steigungsdreiecken sehr gut dargestellt.

    Von Eemilelv, vor etwa einem Jahr
  2. Default

    Ich finde es Schade, dass man in der Übung eine Gleichung bekommt, jedoch im Video noch keinen rechnerischen Weg erklärt bekommt.

    Von Netban, vor fast 2 Jahren
Alle Videos & Übungen im Thema Grundlagen zur Kurvendiskussion »