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Transkript Vorzeichenwechselkriterium – Folgerungen (2)

Hallo! Gilt das Vorzeichenwechselkriterium auch von oben nach unten? Es ist also die Frage, wenn die Funktion ein Minimum oder Maximum hat, hat dann auch die Ableitung an dieser Stelle eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel? Im letzten Film konntest du sehen, dass das nicht der Fall sein muss, wenn man die niederländische Auffassung eines Extremums verfolgt. Das bedeutet, ein Extremum liegt dann vor, zum Beispiel ein Maximum, wenn in der Umgebung kein Punkt höher ist. Ein Minimum liegt dann auch vor, wenn also kein Punkt tiefer ist. Jetzt gibt es aber noch die sogenannte schweizer Auffassung. Die geht so, das kannst du dir so vorstellen. In der Schweiz geht es entweder hoch oder runter, oder man steht auf einem Berg, ganz oben, oder man befindet sich im tiefen, tiefen Tal ganz unten. Wenn man in der Schweiz auf einem Berg steht, ganz oben drauf, dann sind in der Umgebung, um den Gipfel herum, alle Punkte tiefer. Wenn man in einem tiefen, tiefen Tal ist, dann sind in irgendeiner Umgebung alle Punkte höher, als da, wo man steht. Also sie sind nicht nur nicht tiefer, sondern sie sind echt höher. Beim Gipfel sind sie nicht nur nicht höher, sondern sie sind echt tiefer. Was macht die Ableitung an solch einer Stelle? Dazu möchte ich hier mal einen echten schweizer Berg hinmalen. So ungefähr zumindest, so könnte das aussehen und das kann man jetzt mal annähern durch die Steigungsdreiecke. Das habe ich hier vielleicht, na das reicht nicht. Man muss ein bisschen mehr Steigung investieren hier. Vielleicht die 3, ja, das passt so ungefähr. Und hier oben ist die Ableitung 0, da ist man ja auf dem Gipfel. Ja, man muss das mit Magneten befestigen hier. Da ist der Gipfel, ganz oben und hier geht es wieder runter. Danach könnte die Steigung, was habe ich denn da im Angebot, -1,5 vielleicht? -1,5 passt ungefähr, so ganz genau muss es ja nicht sein. Also das sind die Steigungsdreiecke, die man so hier an diese Funktion dranlegen kann, an diesen echten schweizer Berg. Und jetzt guck ich mal, wie sieht das dann als Ableitungsfunktion aus. Da ist die Ableitung positiv, weil man den Berg hinaufläuft. Hier ist sie 0, weil man oben steht. Und da ist die Ableitung negativ. Das bedeutet, die Ableitung wird also ungefähr so verlaufen hier steil nach unten. Na der Berg geht hoch, die Ableitung nimmt ab. Sie geht also steil nach unten und hier ist sie dann ungefähr hier. Also die Ableitung verläuft sehr steil fallend, so ungefähr. So und da kannst du also sehen. Die Ableitung hier hat einen Vorzeichenwechsel. Sie ist hier 0, da wo die Steigung 0 ist, wenn man ganz oben auf dem Berg steht. Sie ist davor positiv, weil man ja hoch den Berg laufen muss. Danach ist sie wieder negativ, weil man wieder runter geht. Das ist also ein Vorzeichenwechsel. Das bedeutet aber auch im Umkehrschluss: Wenn die Ableitung keinen Vorzeichenwechsel hat, keine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel, dann haben wir auch keinen echten schweizer Berg. Wir haben kein echtes Maximum in dem Sinne, also dass wir ein Maximum haben und alle Punkte in der Umgebung echt tiefer sind. Wenn die Ableitung keine Nullstelle hat, dann ist es sowieso egal, denn wenn sie keine Nullstelle hat, können wir auch kein Maximum haben, aber wenn sie eine Nullstelle hat und zum Beispiel kein Vorzeichenwechsel, dann könnte da noch ein niederländisches Maximum sein, also alles flach sein. Aber ein echtes schweizer Maximum, ein schweizer Hochpunkt haben wir da nicht, und wie das mit den Tiefpunkten aussieht, zeige ich im nächsten Film. Bis dahin, tschüss!

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