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Transkript Wendepunkt – Erklärung (1)

Hallo! Was passiert, wenn die Ableitung positiv ist und ein Minimum hat? Das möchte ich jetzt hier mal demonstrieren. Die Ableitung könnte zum Beispiel so aussehen. Wir hatten ja schon den Fall, dass die Ableitung ein Minimum hat und an der Minimalstelle gleich 0 ist. Jetzt möchte ich mal zeigen was passiert, wenn also die Ableitung ein Minimum hat, aber dort nicht 0 ist, sondern, wie hier zum Beispiel, positiv. Was passiert dann mit der Ausgangsfunktion? Die Ausgangsfunktion lasse ich jetzt mal hier anfangen, die kann ja sonst wo anfangen, ist ja völlig egal. Die soll jetzt mal hier anfangen und sie steigt stark, weil die Ableitungswerte groß sind. Hier sind die Ableitungswerte auch noch da, aber die Ableitung ist kleiner geworden. Die Ausgangsfunktion steigt also nicht mehr so stark. Das will ich mal so andeuten. Hier steigt sie immer weniger. Das ist da ungefähr. Und danach steigt sie wieder stärker, also rechts davon, das meine ich mit danach. Da steigt sie wieder stärker, so zum Beispiel. Ich mache das noch mal, das sieht man nicht gut. Sie muss dann schon richtig stärker steigen, also zum Beispiel so. Da geht es hier dann richtig nach oben. So, das zeige ich auch noch mal in der Nahaufnahme. So sieht das also aus. Das ist die Ableitungsfunktion. Da ist die Ableitungsfunktion am kleinsten. Hier steigt die Ausgangsfunktion am wenigsten. Hier steigt sie stärker, da steigt sie auch stärker, weil die Ableitungswerte dort und dort auch größer sind. Wie nennt man dieses Ding, diesen entscheidenden Punkt hier? Den, da wo die Ableitung am kleinsten ist? Ich hoffe, das stimmt so ungefähr. Aber du weißt, was ich meine. Dieser Punkt heißt Wendepunkt. Vorher hatten wir ein Minimum der Ableitung, bei dem nicht nur ein Minimum vorliegt, sondern die Ableitung auch gleich 0 ist. Hier haben wir nur ein Minimum, also den etwas allgemeineren Fall, und da heißt dieser Punkt also Wendepunkt. Kurz gesagt: Wenn die Ableitung ein Minimum hat, hat die Ausgangsfunktion einen Wendepunkt. Wir werden noch allgemein dazu kommen. Wenn die Ableitung ein Extremum hat, hat die Ausgangsfunktion einen Wendepunkt. Hier haben wir den Fall "Ableitung ist positiv und sie hat ein Minimum", das bedeutet, hier haben wir eine Rechtskurve der Ausgangsfunktion, danach eine Linkskurve der Ausgangsfunktion. Hier steigt sie am wenigsten. Es ist also das Minimum der Steigung und das ist hier also ein Wendepunkt. Dann viel Spaß damit. Bis bald. Tschüss.

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