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Textversion des Videos

Transkript Wendepunkte und Sattelpunkte

Hallo. Im folgenden Video möchten wir uns mit Wendepunkten und Sattelpunkten beschäftigen. Um uns klarzumachen, was Wendepunkte überhaupt sind, zeichnen wir uns zuerst einen Graphen. Um Wendepunkte möglichst anschaulich darzustellen, habe ich mein Spielzeugauto mitgebracht. Und was wir jetzt machen ist: Wir stellen uns den Graphen als eine Straße vor, die wir mit dem Auto in x-Richtung abfahren. Wenn wir mit dem Auto die Straße abfahren, in x-Richtung, müssen wir zuerst eine Rechtskurve fahren, dann eine Linkskurve und dann wieder eine Rechtskurve. Wir schauen uns die Fahrt über den Graphen noch einmal an und versetzen uns in die Lage des Fahrers. Der Fahrer muss, wenn er aus der Rechtskurve kommt und vor sich die Linkskurve sieht, das Lenkrad von rechts nach links drehen, genau an diesem Punkt hier. Die Fahrt geht weiter. Diesmal kommt er aus einer Linkskurve und sieht eine Rechtskurve vor sich und muss das Lenkrad erneut umdrehen. Das geschieht genau an diesem Punkt. Diese Punkte sind die Wendepunkte. Wir bezeichnen sie mit W1 und W2. An einem Wendepunkt ändert die Funktion also ihr Krümmungsverhalten. Entweder von einer Rechtskurve in eine Linkskurve, oder von einer Linkskurve in eine Rechtskurve. Deshalb muss der Fahrer des kleinen blauen Autos am Wendepunkt das Lenkrad drehen. Kommen wir nun zu Sattelpunkten. Zeichnen wir uns dazu einen Beispielgraphen und zeichnen den Sattelpunkt ein, der liegt an dieser Stelle. Sattelpunkte sind nur spezielle Wendepunkte, denn auch hier ändert die Funktion ihr Krümmungsverhalten. Im Beispielgraphen von einer Rechtskurve in eine Linkskurve. Der Unterschied zwischen einem Wendepunkt und einem Sattelpunkt liegt in der Steigung der Wendetangente. Eine Tangente ist eine Gerade, so wie dieser schwarze Strich hier. So eine Tangente berührt den Graphen nur an einem Punkt. Z. B. hier, hier, hier, hier oder auch hier. Die Tangente, die den Graphen genau im Wendepunkt berührt, heißt Wendetangente. Das Besondere an einem Sattelpunkt ist nun, dass er eine horizontale Wendetangente hat. Die Wendetangente von W2 ist ansteigend und die von W1 ist fallend. Die Wendetangente von S ist horizontal, also genau parallel zur x-Achse. Kommen wir nun zur Berechnung. Als ersten Schritt müssen wir die 2. Ableitung mit 0 gleichsetzen, daher das Ausrufezeichen über dem  =. Das bedeutet gleichsetzen. Durch das Auflösen dieser Gleichung nach x erhalten wir einen speziellen x-Wert, nämlich xw. xw wollen wir im Folgenden genauer untersuchen. Im zweiten Schritt setzen wir xw in die 3. Ableitung ein. Und wenn dafür ein Wert rauskommt, der ? 0 ist, dann haben wir einen Wendepunkt an der Stelle xw. Ein seltener Fall ist, dass für fIII(x)w 0 herauskommt. Dann müssen wir weitere Ableitungen bilden, also fIV(x), fV(x), fVI(x) usw. und in jede dieser Ableitungen xw einsetzen. Wenn dann erstmals eine ungleiche Ableitung, also die 5. Ableitung oder die 7. Ableitung oder die 9. Ableitung nicht 0 ergibt, dann liegt ein Wendepunkt vor. Ansonsten haben wir keinen Wendepunkt. Die Bedingung für einen Wendepunkt ist also, dass erstmals eine ungerade Ableitung, in die ich xw einsetze nicht 0 ergibt. Im Optimalfall ergibt fIII(x)?0. Für einen Sattelpunkt muss nun zusätzlich zum ersten und zum zweiten Schritt noch eine weitere Bedingung erfüllt sein. Und zwar muss fI'(xw)=0 sein. Das heißt: Wenn man also einen Wendepunkt gefunden hat und nun wissen will, ob dieser auch ein Sattelpunkt ist, dann muss man xw noch mal in die 1. Ableitung einsetzen und den Funktionswert der ersten Ableitung an der Stelle xw berechnen. Wenn dieser 0 ist, dann ist der Wendepunkt ein Sattelpunkt. Versuchen wir nun, das Ganze durch ein Zahlenbeispiel zu veranschaulichen. Dafür betrachten wir die Funktion f(x)=x3-3cx+16 für c > 0. Wie wir von den vorherigen Folien wissen, brauchen wir die 1.,2.und 3. Ableitung. Deshalb ist es sinnvoll, die am Anfang erst mal zu berechnen. Bilden wir also f'(x). f'(x)=3x2-3c. fII'(x)=6x und fIII'(x)=6. Im ersten Schritt setzen wir die 2. Ableitung mit 0 gleich, um unser xw zu ermitteln. 0=6x. Daraus folgt xw=0, weil 0×6=0 ergibt. Im zweiten Schritt setzen wir xw in die 3. Ableitung ein. Wir sehen oben, die 3. Ableitung ist für alle x-Werte 6, also auch für xw=0. fIII'(xw)=6 und das ist ?0. Unsere Bedingung für einen Wendepunkt ist also erfüllt, da erstmals eine ungerade Ableitung, nämlich fIII'(x) an der Stelle xw ?0 ist. Wir haben also einen Wendepunkt an der Stelle xw=0. Als 3. Schritt prüfen wir nun noch, ob unser Wendepunkt auch ein Sattelpunkt ist. Dazu setzen wir xw in die erste Ableitung ein. f'(xw)=f'(0) und das ist 3×0-3c. f'(xw)=-3c. Da c > 0, ist -3c ? 0. Wir haben also keinen Sattelpunkt. Demnach haben wir nur einen Wendepunkt mit den Koordinaten (0|16). 16 ergibt sich, indem wir 0 in die Ausgangsgleichung einsetzen. f(0)=03-3c×0+16, also 16. Wir können uns das noch mal grafisch veranschaulichen. Wir wissen ja, dass die x-Koordinate des Wendepunktes=0 ist und der liegt über der x-Achse, weil die y-Koordinate 16 ist, also da. Das war es zu Sattelpunkt und Wendepunkt, vielen Dank und viel Erfolg.

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12 Kommentare
  1. Default

    danke, kurz, klar, auf den Punkt

    Von Haifischfrauen10, vor 11 Monaten
  2. Felix red

    Lieber Benni,

    vielen Dank für deine Frage. Um zu überprüfen, ob ein Wendepunkt vorliegt oder nicht, ist die gängige Methode tatsächlich, weitere Ableitungen zu berechnen. Manchmal hilft es aber auch schon, eine Skizze oder Monotonietabelle anzufertigen, in welcher du ggf. Extrempunkte einzeichnest sowie die Steigung vor, zwischen und nach diesen Extrempunkten. Ich hoffe, das hilft dir weiter. Alles Gute, Felix

    Von Felix Teege, vor 11 Monaten
  3. Default

    Ich habe eine Frage.
    Wenn f'''(xw)=0 ist muss ich ja eigentlich mit der 4. oder höheren Ableitung fortfahren.
    Wie aber kann ich es ohne weitere Ableitung rechnen, da wir das in der Schule nie so gemacht haben und es deswegen auch so nicht in der Arbeit erlaubt sein wird!
    Ich weiß noch, dass wir das im Unterricht mit dem Untersuchen der Monotonieintervalle gemacht haben, allerdings weiß ich nicht mehr genau, wie ich das bewerkstelligen soll!
    Würde mich über eine Antwort freuen!

    Ansonsten schönes Video und vor allem gut verständlich (nur etw. schnell)

    Von Benni.Rie, vor 11 Monaten
  4. Default

    Ei, hatte schließlich doch Kontakt im Chat. Wurde leider aufgrund einer Dringlichkeit unterbrochen. Dennoch ist mir meine Frage jetzt für die Formulierung karer geworden.
    Die angeführte Bedinung, dass es eine höhere ungerade Ableitung un-gleich null gibt reicht aus, auch glaube man sagt, "ist hinreichen" für die Existenz eines Sattelpunkts! ... Aber ist sie auch notwendig??
    Kann es nicht so sein, dass es keine solche Ableitung un-gleich Null gibt (alle sind gleich Null) und dennoch ein Sattelpunkt existiert?
    Sollte das der Fall sein, dann wäre es schön zu wissen/erfahren, was das für eine Funktion sein könnte.

    Von Eemilelv, vor etwa einem Jahr
  5. Default

    Guten Tag, die folgende Frage habe ich gerade im Hausaufgaben-Chat gestellt, aber dort gibt es keine Reaktion.

    In dem Video „Wendepunkt und Sattelpunkt“ habe ich gelernt, dass ein Sattelpunkt vorliegt, wenn die ersten beiden Ableitungen gleich 0 sind und die dritte Ableitung un-gleich 0 ist. Sollte aber auch diese gleich 0 sein, so muss man weiter ableiten bis man eine ungerade Ableitung findet, die schließlich un-gleich 0 ist, so dass man auf das Vorhandenseins eines Sattelpunkts schließen kann.
    Aber kann es nicht auch vorkommen, dass ein Sattelpunkt existiert und alle Ableitungen gleich 0 sind?
    Kurz: Wenn ein ungerade Ableitung f‘‘‘(x), f‘‘‘‘‘(x) existiert, die un-gleich 0 ist, dann existiert ein Sattelpunkt.
    Doch gilt die U m k e h r u n g auch, dass wenn ein Sattelpunkt existiert eine jener ungeraden Ableitungen 0 sein muss?

    Von Eemilelv, vor etwa einem Jahr
  1. Default

    hilfreiches Video :)

    Von Luisahanschke, vor etwa 2 Jahren
  2. Default

    Danke, ja habe den Fehler selbst noch gefunden, hatte einen Leichtsinns Rechenfehler bei der ersten Ableitung, danke trotzdem:)

    Von Lucas 3, vor etwa 3 Jahren
  3. Schnappschuss von mir 4

    @Lucas 3: Ich denke mal der Fehler könnte in der ersten Ableitung liegen. Wenn man xw=1 in die 1. Ableitung von f(x) = x³-3x²+3x-3 einsetzt ist das Ergebnis 0 und nicht -2. Überprüfe nochmal ob du die 1. Ableitung richtig gebildet hast. Die 1. Ableitung ist f'(x) = 3x²-6x+3.

    Von Rainer Heinich, vor etwa 3 Jahren
  4. Default

    Gutes Video, habe aber auch trotzdem mit der Testfrage Probleme..

    Ich habe xw=1 es in die 3.Abl. ->6 ungleich 0 -> Wendepunkt
    Dann in die 1.Abl. -> -2 ungleich 0 -> Kein Sattelpunkt..

    Aber die Lösung ist Sattelpunkt bei x=1? Bitte um Hilfe, finde meinen fehler nicht!

    Von Lucas 3, vor etwa 3 Jahren
  5. Default

    Du hast einen Rechenfehler:
    die 2. Ableitung ist zwar richtig: 6x-6, aber nach x aufgelöst gibt das 1, weil 6/6=1. Dann kannst Du auch weiterrechnen.

    Von Deleted User 39796, vor mehr als 4 Jahren
  6. Default

    Deine Beispielaufgabe aus dem Video konnte ich übrigens problemlos lösen.

    Von Fabi16, vor mehr als 4 Jahren
  7. Default

    Dein Video ist echt gut aber irgendwie komme ich mit der Testfrage nicht zurecht.
    Ich hab erstmal die Ableitungen gebildet und dann 6x-6 (2.Ableitung) gleich Null gesetzt und nach x aufgelöst wo Null rauskam.
    Dann habe ich xw in die dritte Ableitung eingesetzt wo 6 rauskam ( 3.Ableitung bei mir f'''(x)=6 - und mit xw f'''(0)=6
    Die Null (xw ) hab ich dann in f(x) eingesetzt und es kam -3 raus.
    Wäre um deine Hilfe echt dankbar.

    Von Fabi16, vor mehr als 4 Jahren
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