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Wurzelfunktionen 05:46 min

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Transkript Wurzelfunktionen

Hallo. In diesem Video wollen wir uns noch mal mit einer bestimmten Sorte Potenzfunktionen beschäftigen, mit den Wurzelfunktionen. Das sind nämlich die Umkehrfunktionen von Parabeln und Hyperbeln. Fangen wir mit der Umkehrfunktion einer Parabel mal an. Dazu habe ich hier mal die Parabeln x², x³ und x/4 eingezeichnet. Und als Erstes wollen wir mal probieren, rechnerisch die Umkehrfunktion von y=x/n rauszubekommen. Da ziehen wir die n-te\sqrt, also kriegen wir n-te\sqrt aus y=x. Dann vertauschen wir die Variablennamen und nennen das neue y f^-1 von x. Dieser Wurzelterm hier ist aber nur definiert, wenn x größer oder gleich 0 ist. Wurzeln aus negativen Zahlen ziehen wir nicht. Das heißt, der Definitionsbereich der Umkehrfunktion sind die positiven reellen Zahlen und 0. Und wenn es sich hier um Umkehrfunktionen handeln soll, dann muss das auch der Wertebereich von f sein. So, dann können wir also alle negativen Werte von f schon mal rausstreichen. Und jetzt schreiben wir mal die Umkehrfunktion für n=2 hin. Also f^-1 von x=2.\sqrt aus x. Damit ist immer die positive Wurzel gemeint. Das heißt, der Wertebereich der Umkehrfunktion sind auch bloß positive reelle Zahlen und die 0. Und das ist ja gleich dem Definitionsbereich der Ursprungsfunktion. Das heißt, wir können sogar alles wegstreichen, was bei den Parabeln im negativen x-Bereich ist. Da bleiben also letztendlich nur noch diese 3 Äste übrig, jeweils im 1. Quadranten und die wollen wir jetzt an der Winkelhalbierenden spiegeln. Bei x² ist die Umkehrfunktion 2.\sqrt aus x, deren Graph muss also so aussehen. Dann haben wir als Umkehrfunktion von x³ 3.\sqrt aus x und die läuft zwischen 0 und 1, etwas oberhalb der Funktion \sqrt(x) und danach verläuft sie unterhalb der Funktion \sqrt(x). Und die Funktion 4. \sqrt aus x verläuft noch ein Stückchen weiter oben zwischen 0 und 1, und hat danach einen noch flacheren Anstieg. Den Definitions- und Wertebereich der Wurzelfunktion hatten wir eben schon bestimmt. Das waren jeweils die positiven reellen Zahlen und 0. Und jetzt sehen wir auch, dass, wenn wir von x² den linken Ast auch noch mit gespiegelt hätten, wäre der unter der x-Achse gelandet und das wäre dann keine Funktion mehr. Deswegen geht das nicht. Was die Monotonie angeht, da sind sowohl die Parabeln als auch die Wurzelfunktionen monoton steigend und alle gehen durch die Punkte (0|0) und (1|1). Ok, dann kommen wir jetzt zur Umkehrfunktion einer Hyperbel. Diese 3 Hyperbeln habe ich schon mal vorbereitet. 1/x, 1/x² und 1/x³. Und erst mal versuchen wir es wieder rechnerisch. y=1/xn. Dann ist 1/y=xn und daraus ziehen wir dann noch die n-te\sqrt. Das können wir auch schreiben als 1/n-te\sqrt aus y, vertauschen dann die Variablennamen und nennen y wieder f^-1 von x. Auch hier darf wegen der Wurzel das x wieder nur positive Werte annehmen. Diesmal nicht mal die 0, weil das auch noch im Nenner steht. Das heißt, der Wertebereich von f, was ja der Definitionsbereich von f^-1, sind die positiven reellen Zahlen. Wir können also im Wertebereich von f schon mal alles wegnehmen, was auf der negativen y-Achse ist. Jetzt nehmen wir wieder das Beispiel mit der 2.\sqrt, da ist auch hier immer die positive Lösung gemeint, also ist der Term > 0. Das heißt, der Wertebereich von der Umkehrfunktion, also der Definitionsbereich von der Funktion sind auch die positiven reellen Zahlen. Das heißt, auch diesen linken Ast hier auf der negativen x-Achse, den können wir uns sparen. So, jetzt machen wir uns hier unten rechts mal ein bisschen Platz. Da kommen jetzt nämlich die Graphen der Umkehrfunktion hin. Die Umkehrfunktion von 1/x ist 1/x. Der Graph sieht also genauso aus. Die Umkehrfunktion von 1/x² ist 1/\sqrt aus x, und wenn wir 1/x² an der Winkelhalbierenden spiegeln, kommt fast derselbe Graph raus nur, dass er zwischen 0 und 1 näher an der y-Achse liegt, als 1/x und für x-Werte oberhalb von 1/x liegt. Die letzte Umkehrfunktion ist dann 1/ 3.\sqrt aus x und die liegt auch zwischen 0 und 1 noch näher an der y-Achse, und ab 1 noch weiter oben. Also das sieht so aus, als wären die Funktionen alle nur so ein bisschen gekippt. So, noch zur Monotonie: Die Funktionen sind natürlich alle monoton fallend auf dem ganzen Definitionsbereich und sie gehen alle durch den Punkt 1. Und noch mal zur Verdeutlichung, warum wir nur den rechten Ast betrachten: Hätten wir von 1/x² den linken auch noch mitgespiegelt, dann wäre der hier unten, unter der x-Achse, gelandet und das wäre dann eben keine Funktion. Deswegen machen wir das nicht. ok, und jetzt wissen wir ganz genau, wie Parabeln aussehen, wie Hyperbeln aussehen, und wie Wurzelfunktionen aussehen. Das war es.

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12 Kommentare
  1. Bewerbungsfoto

    Hallo Suel,
    man kann die Wurzelfunktionen auch nur für sich behandeln, ohne die Potenzfunktionen. Du solltest wissen, wie die normale Wurzelfunktion, also f(x) = Wurzel(x) verläuft und solltest ihren Definitionsbereich kennen. Von einer allgemeinen Wurzelfunktion, also z.B. f(x) = Wurzel(3x-2) solltest du auch den Definitionsbereich bestimmen können, Werte bilden können, sodass du den Graphen skizzieren kannst. Eventuell kann man sich noch Verschiebungen der normalen Wurzelfunktion in x- und y-Richtung anschauen. Ich weiß aber nicht, ob ihr das gemacht habt.
    Du solltest auch zu einem gegebenen y-Wert eines Punktes, der auf dem Graphen einer Wurzelfunktion liegt, die x-Koordinate berechnen können.

    Von Steve Taube, vor 7 Monaten
  2. Default

    Hallo lieber Herr Taube,
    stehen Wurzelfunktionen immer im Zusammenhand mit der Umkehrfunktion. In meiner Mathearbeit werden wir nämlich Wurzelfunktionen behandeln, aber nicht die Umkehrfunktion. Nun weiss ich nicht genau, was ich nur zu den Wurzelfunktionen lernen soll. Es würde mich freuen, wenn Sie mir helfen könnten.
    LG

    Von Suel, vor 7 Monaten
  3. Default

    Wie kommt man ab 3:10 von der nten Wurzel aus 1/4 = x zu 1/ nte Wurzel aus y? Wie ist die Regel dazu? Ich bin nach langem Nachdenken leider nicht darauf gekommen und schreibe noch Klausur... Um Hilfe wäre ich sehr dankbar!!
    Liebe Grüße!

    Von Auditeme, vor mehr als einem Jahr
  4. Bewerbungsfoto

    Eine Wertetabelle kannst du dir leicht mit dem TR oder einem Tabellenkalkulationsprogramm erstellen. Auf dem TR musst du dir anschauen, wie genau du einen Wurzelterm eingeben musst:
    Für die Funktion f(x) = (2-te) Wurzel(x) sehen die ersten Werte so aus:
    f(0) = 0, f(1/2) ungef. 0,707, f(1) = 1, f(2) ungef. 1,4141, f(3) ungef. 1,732, f(4) = 2, ...
    Die Umkehrung nochmal langsam:
    f(x) = y = x² | wir ziehen die Wurzel
    Wurzel(y) = x | nun haben wir nach x aufgelöst und vertauschen die Variablennamen, also ist die Umkehrfunktion:
    Wurzel(x) = y bzw. f*(x) = Wurzel(x), wobei f* die Umkehrfunktion von f bezeichnen soll.
    Mit den anderen Potenzen geht es entsprechend.

    Von Steve Taube, vor fast 2 Jahren
  5. Default

    Wie würde eine Wertetabelle aussehen ? Beim Schritt, der Umkehrung der Funktion komme ich nicht ganz nach.

    Von C Bornhauser, vor fast 2 Jahren
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    :) Korrekt! Gute Frage.
    Du meinst sicher n = 3 und x = -27, also dritte Wurzel aus -27. Du hast recht. Man könnte sagen, dass -3 die dritte Wurzel aus -27 ist, weil (-3)³=-27. Die Mathematiker haben sich hier darauf geeinigt, dies nicht zuzulassen, da man daraus bei Anwendung von Potenzgesetzen Widersprüche erzeugen kann. Das ist keine sehr befriedigende Antwort, aber so ist es. Ein Beispiel:
    -3 = 3te Wurzel aus -27 = (-27) hoch (1/3) = (-27) hoch (2/6) = 6te Wurzel aus ((-27)²) = 6te Wurzel aus 729 = 3
    Dies liegt auch daran, dass man sich eben entschieden hat bei Wurzelfunktionen mit geraden Exponenten als Ergebnis immer die positive Lösung zu wählen, also 3te Wurzel aus 8 ist 2 und nicht -2. Dies ist eine Festlegung. Beides kann man nicht wählen, da sonst die Wurzelfunktion keine Funktion mehr ist. Es ist also im Prinzip einfach eine Festlegungssache.

    Von Steve Taube, vor mehr als 2 Jahren
  2. Default

    Hallo Steve T, danke für deine Antwort. "Jede reelle Zahl ist quadriert positiv oder 0, aber niemals negativ", stimmt, aber woher weisst du, dass n eine gerade Zahl ist? Warum darf n nicht -3 sein? (und x 27 zum Beispiel)

    Von Cardenas 100, vor mehr als 2 Jahren
  3. Bewerbungsfoto

    Hallo Cardenas 100,

    dieser Schritt ist wahrscheinlich etwas schnell im Video. Was ich zeigen will ist folgendes: Wir haben die Funktion f(x) = x hoch n. Wir wollen wissen, was die Umkehrfunktion von y = x hoch n ist. Wir müssen also die Frage beantworten: "Was müssen wir mit dem y anstellen, damit wieder x rauskommt?" Damit man aus y = x hoch n wieder x erhält, muss man die n-te Wurzel ziehen. Die Funktion, die die Funktion y = x hoch n umkehrt bzw. rückgängig macht, ist also genau die, bei der man die n-te Wurzel zieht. Also die Funktion n-te Wurzel aus x. Ich nenne diese Funktion dann f hoch (-1) von x, weil sie die Umkehrfunktion von f(x) ist. Diese letzte Schreibweise ist zugegebenermaßen verwirrend. Man könnte auch denken, es ist eine Potenz von f(x) gemeint, das ist aber nicht so. f hoch (-1) bedeutet: Das ist die Funktion, die genau das, was die Funktion f(x) macht, wieder rückgängig macht.

    Zur zweiten Frage:
    Die Wurzel aus einer Zahl x ziehen bedeutet ja Folgendes: Man möchte wissen, welche Zahl man quadrieren muss, damit x rauskommt. Wenn man mit reellen Zahlen arbeitet und sich fragt, welche Zahl man quadrieren muss, damit eine negative Zahl rauskommt (z.B. "Was zum Quadrat ergibt -1?"), dann merkt man, dass es solche Zahlen nicht gibt. Jede reelle Zahl ist quadriert positiv oder 0, aber niemals negativ. Das heißt, aus einer negativen Zahl kann man die Quadratwurzel nicht ziehen.

    Von Steve Taube, vor mehr als 2 Jahren
  4. Default

    0:52. "Wurzeln aus negativen Zahlen ziehen wir nicht". Warum?

    Von Cardenas 100, vor mehr als 2 Jahren
  5. Default

    0:47 . Warum (nte Wurzel aus x)= (f hoch -1 von x )und nicht (nte Wurzel aus x) = (f von x) ?

    Von Cardenas 100, vor mehr als 2 Jahren
  6. Bewerbungsfoto

    Hallo Anna S 1,

    das ist eine gute Frage. Das Vertauschen der Variablen ist nur eine Umbenennung: Normalerweise heißt unsere Variable immer x und die abhängige Größe, also die Funktion, heißt y. Wenn wir die Funktionsgleichung y = x² nach x auflösen, erhalten wir x = Wurzel aus y. Das heißt, wir wissen jetzt, wie y von x abhängt und sind eigentlich fertig und eigentlich wäre es auch richtig, die Umkehrfunktion so zu schreiben.
    Die allermeisten Lehrbücher und Lehrer vertauschen aber am Ende die Variablen, weil es verwirrend ist, dass plötzlich die Funktion x heißt und die unabhängige Variable y. Ich selber bin mir auch nicht sicher, was für Schüler leichter verständlich ist.
    Wenn man vereinbart hat, dass man Funktionen immer als y = f(x) schreiben möchte, dann muss man eben am Ende der Umformung die Funktion, die man erhalten hat, umbenennen. Dies macht man durch Vertauschen von x und y.
    Es ist ziemlich verwirrend. Es reicht aber wirklich, wenn du es dir einfach als Schritt merkst. In Wirklichkeit ist es keine Vertauschung, sondern eine Neubennenung der Funktion und der Variablen.

    Von Steve Taube, vor fast 3 Jahren
  7. Default

    Hallo, was ich noch nicht ganz verstehe ist wie du ganz am Anfang bei Umkehrfunktion von Parabeln. Bei der rechnerischen Herleitung einfach die Variablen austauschen darfst

    Von Anna S 1, vor fast 3 Jahren
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