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Transkript Wurzeln und irrationale Zahlen (3)

Hallo. Wir haben schon gesehen, dass ?2 keine endliche, dezimale Zahl sein kann, das heißt eine Kommazahl mit mehreren Nachkommastellen, die sich nicht immer wiederholen. ?2 kann eine solche, endliche Dezimalzahl nicht sein. Kann ?2 ein Bruch sein? Das wäre die nächste Frage. Wir wollen im Prinzip darauf hinaus, dass ?2 eine irrationale Zahl ist, also keine rationale Zahl sein kann. Das müssen wir noch beweisen, dass das nicht geht. Könnte also?2 ein Bruch sein? Mal angenommen ?2 wäre ein Bruch. Ich mache jetzt einen Widerspruchsbeweis, der ist an Euklid angelehnt, den habe ich nicht selber erfunden. Das soll hier ein q sein, ich hoffe das sieht man gut genug. Wir gehen also davon aus: Was wäre, wenn ?2 ein Bruch wäre? Dann wären p und q natürliche Zahlen und wir könnten die gesamte Gleichung quadrieren. Das deutet man ja so an. Das bedeutet ?2×?2=2. Einen Bruch multipliziert man Zähler × Zähler, Nenner × Nenner. Also bekommen wir im Zähler p² und im Nenner q². Das muss ich nicht weiter begründen, das ist die Bruchmultiplikation, da sag ich jetzt nicht mehr viel zu. Also das alles unter der Annahme: Was wäre, wenn ?2 ein Bruch wäre? Hier haben wir jetzt wieder eine ganz normale Gleichung, Ich darf da Äquivalenzumformungen drauf anwenden. Z. B. kann ich rechnen: ×q². Dann habe ich auf der linken Seite stehen: 2xq². Und q² würde sich hier jetzt rauskürzen, wie man so sagt. Da steht dann also nur noch p² auf der rechten Seite. So weit, so gut. Und jetzt kommt das langsam so mit den Tricks, dass man das also langsam untersucht und zum Widerspruch führt. Da habe ich mich jetzt verschrieben. Das ist natürlich kein q, das ist ein p. Ja, manchmal gerät das beim umgekehrt Schreiben so durcheinander. Jetzt ist es richtig 2q²=p². Da habe ich es auch richtig gemacht, ja, Okay, wir können uns jetzt einfach so überlegen: Ist p gerade oder ungerade? Hier auf der linken Seite steht eine gerade Zahl. Das ist unbestritten, denn 2x eine natürliche Zahl ist eine gerade Zahl. p² ist auch eine gerade Zahl, denn p² ist ja so groß wie diese Zahl hier. Die Frage ist: ist p selber gerade oder ungerade? Und das kann man sich mit einer kleinen Nebenrechnung verdeutlichen, die ich dann im nächsten Film zeige. Bis dahin viel Spaß. Tschüss

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1 Kommentar
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    DANKE für Ihre Videos! Bei Ihnen verstehe ich Zusammenhänge - toll wie Sie Wissen anderen Menschen an die Hand geben! DANKE!

    Von S Kohler Dibl, vor fast 3 Jahren