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Transkript Wurzeln und irrationale Zahlen (5)

Hallo, jetzt nimmt unser Beweis etwas an Fahrt auf. Wie ich hier auf dieser Tafel im letzten Film gezeigt habe, das, was du jetzt nicht mehr sehen kannst, also wie ich da gezeigt habe, kann p nur eine gerade Zahl sein. Deshalb kann man jetzt schreiben - das schreibe ich darunter einfach - sei p = 2b, zum Beispiel. Das darf man machen, und zwar deshalb, weil ja p eine gerade Zahl ist. Dann können wir es auch durch eine Zahl ersetzen. Also wenn wir jetzt p durch 2 teilen, kommt ja eine natürliche Zahl heraus und deshalb soll die Zahl jetzt mal b heißen. Deshalb sind also 2b = p. Ja, wir gehen ja immer noch davon aus, was wäre, wenn die ?2 ein Bruch wäre. Und wir folgern jetzt weiter, dann wäre p auch hier eine gerade Zahl, dann können wir die ersetzen durch 2 b. Daraus folgt dann, ja jetzt mach ich hier das Äquivalenszeichen hin, da hab ich sie etwas verschlampt, die Äquivalenzzeichen, naja schöner wirds jetzt auch nicht, egal. Wenn also p durch 2b ersetzt wird, dann steht hier auf der rechten Seite: 2b × 2b. Denn hier steht ja p², wenn wir statt p 2b² oder eben einfach 2b × 2b. Das bedeutet aber, dass wir jetzt diese Gleichung hier, durch 2 teilen können. Und das werde ich jetzt mal machen: Dann haben wir also q² noch, die 2 ist dann weggekürzt, eine 2 kann ich hier auch kürzen. 2b× 2b ÷ 2 ist dann nur noch 2 × b². Und jetzt kommt der entscheidende Punkt, denn ich sage hier auf der rechten Seite steht ja eine gerade Zahl: 2 × b² ist eine gerade Zahl, denn die Zahl ist durch 2 teilbar, klar. Ist q gerade oder ungerade? Wir haben schon gesehen, in der Überlegung aus dem letzten Film, wenn q² eine gerade Zahl ist, das ist ja der Fall, weil q²  = 2b ist. 2b ist eine gerade Zahl und damit ist q² auch eine gerade Zahl. Wenn q² also eine gerade Zahl ist, dann ist q auch eine gerade Zahl. Das bedeutet, ich kann also q durch etwas anderes ersetzen, und zwar zum Beispiel - was nehmen wir mal - 2 m, warum nicht. Irgendeinen Buchstaben. Wenn q eine gerade Zahl ist, dann kann ich auch q = 2m schreiben. Dann wird es ein m geben für das gilt: 2 × m = q ist. Dann kann ich Gleichung, die hier steht also folgendermaßen schreiben: 2m * 2m = 2b². Und das kann ich jetzt wieder durch 2 kürzen: Dann steht hier auf der linken Seite noch - eine 2 kürzt sich ja weg: 2 × m² = b².  Das sieht im Moment vielleicht noch, wenn man das nicht so gewöhnt ist, etwas komisch aus. Und wie der Sinn davon ist, das zeige ich im 4. Teil. Bis dahin, viel Spaß. Tschüs. 

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1 Kommentar
  1. Default

    bisschen professioneller pls

    Von Lejo B., vor etwa einem Jahr