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Transkript Wurzeln ziehen mit Primfaktorzerlegung (6)

Hallo, hier ist der zweite Teil unserer Aufgabe: 19044 und davon suchen wir die Wurzel. Ich habe gesagt, ich sehe schon direkt, dass 529 die Quadratzahl einer Primzahl ist. Das Quadrat einer Primzahl muss es sein, es setzt sich nicht mehr aus 2 verschiedenen Faktoren zusammen. Die Frage ist natürlich: Woher weiß ich das?Zunächst einmal überlege ich mir: Ist das Ding durch 3 teilbar? Die Quersumme ist 5+2+9=16. 16 ist nicht durch 3 teilbar, damit ist 529 auch nicht durch 3 teilbar. Jetzt stelle ich mir also Folgendes vor - ich mache diese Rechnung hier etwas tiefer.Angenommen, ich hätte 2 verschiedene Faktoren, die diese 529 als Produkt ergeben, dann weiß ich schon: 529 muss das Quadrat einer natürlichen Zahl sein, denn sonst hätte diese Aufgabe keinen Sinn. Ich habe das auch am Anfang gesagt, das wissen wir schon, dass 19044 das Quadrat einer natürlichen Zahl ist, also diese natürliche Zahl mit sich selbst multipliziert. Wenn diese beiden unterschiedlichen Faktoren vorkommen und das hier eben eine Quadratzahl einer natürlichen Zahl sein soll, dann müssen diese beiden Faktoren jeweils zweimal vorkommen.Wie groß können diese Faktoren sein? a ist auf jeden Fall eine Primzahl, die größer als 3 ist. Das heißt a≥5. b kann auch keine Zahl kleiner als 5 sein. Dann wäre es die Primzahl 3 oder 2. Aber das haben wir schon geklärt, dass diese Zahl nicht mehr durch 2 und nicht mehr durch 3 teilbar ist. Auf jeden Fall muss b≥5 sein. Es müssen nicht unbedingt unterschiedliche Faktoren sein, aber 2 Primzahlen, die man noch multiplizieren kann. Dann wäre hier aber (5×5)×(5×5) und das ist schon gleich 625. Wenn b größer wäre oder a größer, wird die Zahl noch größer, also kann das nicht sein.Das bedeutet, wir haben eine einzige Zahl, die die Wurzel von 529 ist. Dann kann man sich das auch einfach machen und sich überlegen: Wie komme ich denn zu der Endziffer 9 eigentlich? Ich könnte am Ende der Wurzel von 529 eine 3 haben, denn 3×3=9. 1×1=1, ist keine 3 am Ende. 2×2=4, keine 3 am Ende. 3×3=9, wie gesagt und dann haben wir 4×4=16. 25, 36, das sind ja die Quadratzahlen. 49, das heißt, eine 7 könnte auch am Ende der Wurzel sein, dann kämen wir auch auf die Endziffer 9. Ich gehe die Quadratzahlen weiter durch: 64, 81, 100 und dann brauche ich das nicht mehr weitermachen, weil sich dann die Endziffern wiederholen. Also kommt für die Wurzel als Endziffer nur 3 und 7 infrage. Kann es 13 sein? Nein, weiß ich, 13×13=169. 17×17 ist 289, das ist viel zu klein. Die nächste Zahl, die auf 3 endet, die eine Primzahl ist und die es sein könnte, ist die 23. Das kann man nachrechnen, wieder mit der binomischen Formel. 23 ist 20+3. (20+3)2=20²+2×20×3+32=400+120+9=529Dann bin ich fertig. Ich weiß jetzt, dass die Primfaktorzerlegung von 19044=2×2×3×3×23×23 ist. Deshalb weiß ich also, dass die Wurzel 2×3×23 ist. Ich schreibe es noch einmal hin, habe ich ja schon oft genug gemacht.Ich rechne erst 3×23=69, denn 3×20=60 und 3×3=9. 2×69 mache ich mir einfach, das ist so ähnlich wie 2×70-2. 2×70=140 und damit ist das hier 138. Damit ist also √19044=138.Das hätte man natürlich wieder mit dem Taschenrechner einfacher haben können, aber hier geht es darum, sich Gedanken zu machen: Wie sind Wurzeln aufgebaut, wie sind Zahlen aufgebaut? Ich hoffe, du hast davon profitieren können. Bis bald, viel Spaß. Tschüss.

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4 Kommentare
  1. 20120316 102416

    martin wabnik sie erklären sehr gut und sind sehr sympathisch ... hätte sie gern als mathelehrer

    Von Manuel H., vor 3 Monaten
  2. Default

    Kann mir jemand helfen? Ich brauche dringend Hilfe bei einer Textaufgabe zu Gleichungssystemen! Wenn mir jemand helfen kann, bitte Nachricht an mich! Danke im Voraus :)

    Von Lara F., vor mehr als 2 Jahren
  3. Default

    Das scheint mir auch so. Die Lösung der Aufgabe geht mit der 1. binomischen Formel, oder hab ich mich getäuscht?

    Von Dino Meister, vor mehr als 4 Jahren
  4. Default

    Hallo,

    geht das nicht auch über die 1. binomische Formel, so habe ich es jedenfalls versucht und bin auch auf das richtige Ergebnis gekommen? (90 + 5)^2
    Gruß
    Murks

    Von Murks, vor fast 5 Jahren