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Videos und Übungen in Allgemeine Vektorräume und Unterräume

22 Videos
Cauchy-Schwarz-Ungleichung – Beweis

Cauchy-Schwarz-Ungleichung – Beweis

Der französische Mathematiker Augustin-Louis Cauchy hat eine sehr nützliche Ungleichung herausgefunden, die Cauchy-Schwarz-Ungleichung (CSU), welche später wieder von Hermann Schwarz aufgegriffen wurde. Diese sagt über Skalarprodukt in einem reellen…

13:52 min
Basisübung
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Kap3 Theorie 1: Allgemeine Vektorräume

Kap3 Theorie 1: Allgemeine Vektorräume

Langsam aber sicher wirst Du in diesem Video auf die Definition des allgemeinen Vektorraumes hingeführt. Wir fangen mit zwei wohlbekannten Beispielen an: Vektoren (als Pfeile) und reelle Funktionen. Diese mathematischen Objekte sind auf den ersten…

15:27 min
Basisübung
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Kap3 Theorie 2: Basis, Dimension und Unterräume in allgemeinen Vektorräumen

Kap3 Theorie 2: Basis, Dimension und Unterräume in allgemeinen Vektorräumen

In diesem Video werden die Begriffe Basis, Dimension und Unterraum in der Fassung für allgemeine Vektorräume diskutiert. In vorangegangenen Videos des vorliegenden Kurses wurden diese Begriffe bereits für den speziellen Vektorraum IR^n eingeführt.…

14:25 min
Basisübung
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Kapitel 3 Aufgabe 1: Vektorraum der Polynome

Kapitel 3 Aufgabe 1: Vektorraum der Polynome

In diesem Video wird der Vektorraum der Polynome vom Grad höchstens n vorgestellt. Dieser wird mit IRn[x] bezeichnet. Da es sich bei den Vektoren also um Polynome handelt, müssen wir die Addition zweier Polynome und die skalare Multiplikation von…

12:08 min
Basisübung
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Vektorräume und Untervektorräume (Teil 1 von 3)

Vektorräume und Untervektorräume (Teil 1 von 3)

Vektorräume bilden die Grundlage der Linearen Algebra. Im Video wird erklärt, was ein Vektorraum ist, wie Untervektorräume definiert sind und wie man im R^n überprüft, ob eine Teilmenge eines Vektorraums ein Untervektorraum ist oder nicht.

13:53 min
Basisübung
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Vektorräume und Untervektorräume (Teil 3 von 3)

Vektorräume und Untervektorräume (Teil 3 von 3)

Da man Funktionen addieren und mit einer Zahl mulitplizieren kann, kann man Mengen von Funktionen auch als einen Vektorraum auffassen. In diesem Lernvideos geht es um verschiedene Untervektorräume, die in einem solchen Funktionenraum liegen.

09:04 min
Basisübung
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Vektorräume und Untervektorräume (Teil 2 von 3) - Folgenräume

Vektorräume und Untervektorräume (Teil 2 von 3) - Folgenräume

Mit Hilfe des Unterraumkriteriums kann man auch in komplizierteren Vektorräumen nachprüfen, ob eine Teilmenge ein Untervektorraum ist. In diesem Video zeige ich dies ganz konkret für den Vektorraum der reellen Zahlenfolgen.

11:26 min
Basisübung
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Aufgabe 2: Dimension des Vektorraumes der Polynome

Aufgabe 2: Dimension des Vektorraumes der Polynome

Dieses Video untersucht die Dimension des Vektorraums der Polynome. Dazu werden die Begriffe Dimension und Basis wiederholt. Nachdem wir uns die nötigen Eigenschaften in Erinnerung gerufen haben, untersuchen wir zwei Fälle von Polynomen, eines mit…

16:58 min
Basisübung
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Aufgabe 3: Die Legendre-Polynome als eine Basis des Vektorraumes IR3[x]

Aufgabe 3: Die Legendre-Polynome als eine Basis des Vektorraumes IR3[x]

In diesem Video betrachten wir die sogenannte Legendre-Polynome und weisen nach, dass sie eine Basis des Vektorraums der Polynome bilden. Dadurch lernst du ein spezielles Beispiel einer Basis kennen. Gleichzeitig vertiefst du dein Verständnis, wie…

15:24 min
Basisübung
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Aufgabe 4a: Unterräume im Vektorraum der Polynome

Aufgabe 4a: Unterräume im Vektorraum der Polynome

In diesem Video lernt ihr: erstens wann eine Menge von Polynomen ein Unterraum ist und zweitens wie ihr prüft, ob eine gegebene Polynommenge ein Unterraum ist. Dafür wird das Unterraumkriterium wiederholt, also welche Eigenschaften ein Unterraum…

15:02 min
Basisübung
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Aufgabe 5: Vektorraum der Matrizen

Aufgabe 5: Vektorraum der Matrizen

In diesem Video untersuchen wir die Menge reellwertiger Matrizen bezüglich der Operation Addition und der Skalarmulitplikation. Durch das überprüfen der Vektorraum-Eigenschaften stellen wir fest, dass es sich dabei um einen Vektorraum handelt. Somit…

08:31 min
Basisübung
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Aufgabe 6: Dimension des Vektorraumes der Matrizen

Aufgabe 6: Dimension des Vektorraumes der Matrizen

In diesem Video lernt ihr inklusive Beweis, wie die Dimension eines Vektrorraums von Matrizen bestimmt werden kann. Dazu wird ausgenutzt, dass diese Dimension gleich der Anzahl der Basismatrizen dieses Vektorraums der Matrizen ist. Damit kann eine…

11:04 min
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Aufgabe 7: Die Pauli-Matrizen als eine Basis des Vektorraumes C(2,2)

Aufgabe 7: Die Pauli-Matrizen als eine Basis des Vektorraumes C(2,2)

Dieses Video zeigt Dir ein spezielles Beispiel einer Basis im komplexen Vektorraum C²'². Wir übertragen in diesem Video also unser Wissen über reelle Vektorräume in den Vektorraum komplexer Matrizen. Die Pauli-Matrizen geben hier eine besondere…

14:01 min
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"Aufgabe 8a: Unterräume im Vektorraum der Matrizen "

"Aufgabe 8a: Unterräume im Vektorraum der Matrizen "

Dieses Video hilft Dir gegebene Menge an Matrizen auf die Unterraumeigenschaften zu überprüfen. Es werden zwei Beispiele vorgerechnet. Dafür werden nochmals die zu überprüfenden Kriterien erklärt und Schritt für Schritt angewendet. Am Ende habt ihr…

15:48 min
Basisübung
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Aufgabe 8b: Unterräume im Vektorraum der Matrizen

Aufgabe 8b: Unterräume im Vektorraum der Matrizen

In diesem Video lernst Du, wann eine Teilmenge von Matrizen ein Unterraum im Vektorraum der Matrizen ist. Zunächst werden einige Begriffe wiederholt, wie z.B. Einheitsmatrix, transponierte Matrix, schiefsymmetrische Matrix. Damit kennt ihr Euch mit…

13:25 min
Basisübung
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Aufgabe 9: Vektorraum der Funktionen

Aufgabe 9: Vektorraum der Funktionen

In diesem Video wird dir erklärt, was mit dem Vektorraum der Funktionen gemeint ist. Zunächst werden die für einen Vektorraum nötigen Verknüpfungen auf der Menge der Funktionen eingeführt und die Vektorraumeigenschaften im Allgemeinen nachgewiesen.…

12:12 min
Basisübung
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Aufgabe 10: Dimension des Vektorraumes der Funktionen

Aufgabe 10: Dimension des Vektorraumes der Funktionen

Dieses Video untersucht den Vektorraum der Funktionen auf seine Dimension. Dazu wird eine Vorgehensweise erklärt, mit der die Dimension eines Vektorraums berechnet werden kann. Speziell wird gefragt, ob es eine endliche Menge an Basisvektoren im…

11:11 min
Basisübung
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Aufgabe 11: Unterräume im Vektorraum der Funktionen

Aufgabe 11: Unterräume im Vektorraum der Funktionen

In diesem Video lernst du anhand von Beispielen, wie eine Menge an Funktion auf die Unterraumeigenschaften geprüft werden kann. Dazu werden wieder Vorbetrachtungen vorgeführt, die das Aufstellen einer Behauptung (Unterraum oder nicht) plausbibel…

18:53 min
Basisübung
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Aufgabe 12: Eine direkte Zerlegung des Vektorraumes der Funktionen

Aufgabe 12: Eine direkte Zerlegung des Vektorraumes der Funktionen

Dieses Video zeigt Dir, dass Du jede Funktion im Vektorraum der Funktionen als Summe einer eindeutig bestimmten geraden und ungeraden Funktion darstellen kannst. Dadurch lässt sich der Vektorraum der Funktionen als sogenannte Direkte Summe (oder…

23:06 min
Basisübung
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Aufgabe 13: Komplexe Zahlen als Vektorraum und seine Dimension

Aufgabe 13: Komplexe Zahlen als Vektorraum und seine Dimension

In diesem Video wird nachgewiesen, dass die Menge der komplexen Zahlen ein Vektorraum ist. Es werden also die Vektorraumeigenschaften nachgewiesen. Dabei wird gezeigt, dass sich die komplexen Zahlen wie Vektoren in der reellen Ebene verhalten und es…

14:37 min
Basisübung
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Was ist eine Gruppe bzw. wann ist "1 + 1 = 0"?

Was ist eine Gruppe bzw. wann ist "1 + 1 = 0"?

In diesem Video erfahrt ihr, was in der Algebra eine Gruppe ist. Es werden dazu einige Beispiele gegeben, unter anderem eine Gruppe, in der 1 + 1 = 0 ist.

08:22 min
Basisübung
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Aufgabe 4b: Unterräume im Vektorraum der Polynome

Aufgabe 4b: Unterräume im Vektorraum der Polynome

In diesem Video erweiterst du Deine Kenntnisse über Unterräume von Vektorräumen von Polynomen. Dazu betrachten wir Mengen von Polynomen, die durch Ableitungen bzw. Integrale beschrieben werden. Diese überprüfen wir auf das Unterraumkriterium bzw.…

17:52 min
Basisübung
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