Videos und Übungen in Lineare Abbildungen

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Exponentielle Wachstumsfunktionen – Tangente an Graphen durch Koordinatenursprung (1)

Exponentielle Wachstumsfunktionen – Tangente an Graphen durch Koordinatenursprung (1)

Dies ist eine Aufgabe zum Abiturstoff zum Bereich Analysis. Es sind eine Funktion und ihre Ableitung gegeben. Deine Aufgabe soll es sein, die proportionale Funktion zu finden, deren Graph die Tangente an dem Graphen der gegebenen Funktion ist. Da…

06:57 min
Basisübung
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Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar

Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar

Multipliziert man eine Matrix mit einem Skalar, bekommt man als Ergebnis wieder eine Matrix. Analog zu der Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar multipliziert man jeden Eintrag der Matrix jeweils mit dem Skalar. In einem nummerischen…

03:11 min
Basisübung
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Eigenschaften symmetrischer Matrizen

Eigenschaften symmetrischer Matrizen

Es gibt mehrere Typen von Matrizen. Nun interessiert uns die symmetrische Matrix besonders. Eine Matrix ist symmetrisch, wenn die ursprüngliche Matrix gleich der transponierten Matrix ist. Also können nur quadratische Matrizen symmetrisch sein.…

05:24 min
Interaktive Übung
Arbeitsblätter
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Inverse Matrizen und Determinanten

Inverse Matrizen und Determinanten

Die Inverse einer quadratischen und regulären Matrix ist dadurch definiert, dass das Produkt von der Matrix und deren Inverse die Einheitsmatrix ist. Die Inverse einer Matrix kannst du mit der folgenden Formel berechnen: die Inverse der Matrix ist…

04:35 min
Basisübung
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Multiplizieren einer Matrix mit einem Skalar

Multiplizieren einer Matrix mit einem Skalar

Multipliziert man eine Matrix mit einem Skalar (eine Zahl), bekommt man wieder eine Matrix. Wie man es genau macht, werden wir sowohl an einem theoretischen Beispiel als auch an einem praktischen (nummerischen) Beispiel kennenlernen. In dem…

01:58 min
Basisübung
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Matrizen – Einführung

Matrizen – Einführung

Was ist eine Matrix? Zunächst erstmal ein einfaches Zahlenschema, in Spalten und Zeilen angeordnet. Wir können die Zeilen oder Spalten auch als Zeilen- oder Spaltenvektor bezeichnen. Der Eintrag in der i-ter Zeile und j-ter Spalte einer Matrix A…

08:10 min
Basisübung
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Addition von Matrizen

Addition von Matrizen

Um Matrizen zu addieren brauchen wir zwei Matrizen, die gleiche Dimensionen haben (zwei n x m Matrizen) . Zum Beispiel kann man keine 2x2 Matrix mit einer 3x3 Matrix addieren. Ganz leicht werden die Matrizen komponentenweise addiert. Also wenn wir…

05:28 min
Basisübung
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Linearkombinationen von Matrizen

Linearkombinationen von Matrizen

Nach der Einführung von Matrizen und Skalaren kannst du hier einige Rechenregeln mit den Matrizen und Skalaren kennenlernen. Multipliziert man eine Matrix mit einem Skalar (eine Zahl), bekommt man wieder eine Matrix. Wie sieht es dann mit der…

09:35 min
Basisübung
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Matrizenmultiplikation

Matrizenmultiplikation

Die Multiplikation zweier Matrizen unterscheidet sich sehr von der Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar. Zuerst brauchen wir das Skalarprodukt zweier Vektoren. Nun gehen wir einen Schritt weiter und multiplizieren eine Matrix von rechts mit…

24:11 min
Basisübung
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Matrix-Matrix-Multiplikation

Matrix-Matrix-Multiplikation

Die Matrizenmultiplikation ist ähnlich der Skalarmultiplikation. Um eine m x n Matrix A mit einer n x k Matrix B zu multiplizieren berechnen wir die Skalarprodukte der Zeilenvektoren von A mit den Spaltenvektoren von B und bekommen eine n x k Matrix…

07:03 min
Basisübung
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Inverse Matrizen –  Einführung

Inverse Matrizen – Einführung

Wie invertiert man eine Matrix? Wann ist eine Matrix überhaupt invertierbar? Was gibt es für Bedingungen dafür? Die Matrix muss eine quadratische Matrix sein. Das bedeutet: sie muss genauso viele Zeilen wie auch Spalten haben. Was noch sehr wichtig…

05:27 min
Basisübung
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Theorie 2: Lineare Abbildungen und Basen

Theorie 2: Lineare Abbildungen und Basen

In diesem Video werden lineare Abbildungen vertieft und der Begriff der Basis in Bezug zur linearen Abbildung gebracht. Dabei wird bewiesen, dass eine lineare Abbildung zwischen den Vektorräumen V und W eindeutig durch die Werte auf einer gewählten…

18:53 min
Basisübung
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Theorie 3: Kern, Bild, Rang und Dimensionsformel

Theorie 3: Kern, Bild, Rang und Dimensionsformel

Dieses Video führt euch in die Konzepte Kern und Bild einer linearen Abbildung ein. Dazu werden zunächst die Begriffe Kern und Bild definiert. Danach wird der Rang einer Matrix definiert und darauffolgend die wichtige Dimensionsformel für…

25:28 min
Basisübung
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Theorie 5: Struktur der Lösungsmenge einer linearen Gleichung

Theorie 5: Struktur der Lösungsmenge einer linearen Gleichung

In diesem Video betrachten wir die Struktur der Lösungsmenge einer linearen Gleichung. Dazu stellen wir anhand von Ranguntersuchungen zwischen einer Matrix A und der dazu erweiterten Koeffizientenmatrix (A|b) Aussagen über die Lösbarkeit der…

20:04 min
Basisübung
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Aufgabe 1: Beispiele für lineare Abbildungen

Aufgabe 1: Beispiele für lineare Abbildungen

In diesem Video wird anhand von Beispielen gezeigt, wie geprüft werden kann, ob eine gegebene Abbildung linear ist. Zunächst wird die Definition einer linearen Abbildung wiederholt. Danach werden erste Techniken des Überprüfens und eine Faustregel…

18:32 min
Basisübung
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Aufgabe 2: Drehungen und Drehmatrizen

Aufgabe 2: Drehungen und Drehmatrizen

In diesem Video betrachten wir Drehungen als lineare Abbildungen und stellen Drehmatrizen auf. Anhand eines konkreten Beispiels untersuchen wir die Drehabbildung auf ihre Linearität und Bijektivität. Dazu betrachten wir genauer, wie diese…

22:44 min
Basisübung
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Aufgabe 3: Komposition linearer Abbildungen

Aufgabe 3: Komposition linearer Abbildungen

In diesem Video betrachten wir ein einfaches Beispiel zur Komposition bzw. Verknüpfung von zwei linearen Abbildungen. Zu zwei gegebenen linearen Abbildungen ist die explizite Abbildungsvorschrift der Komposition zu bestimmen. Daran wird gezeigt,…

10:18 min
Basisübung
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Aufgabe 5: Kern und Bild sind Unterräume

Aufgabe 5: Kern und Bild sind Unterräume

In diesem Video führen wir zwei kurze Beweise dazu, dass Kern und Bild einer linearen Abbildung Vektorräume, genauer Unterräume sind. Dazu überprüfen wir die Kern- und Bildabbildung auf das Unterraumkriterium. Damit verknüpfst du anhand eines…

09:48 min
Basisübung
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Aufgabe 6: Kern und Bild einer Matrix

Aufgabe 6: Kern und Bild einer Matrix

In diesem Video befassen wir uns ausführlich mit den Begriffen Kern und Bild und werden eine Standardaufgabe zu dieser Thematik behandeln. Damit ist dieses Video Grundlage für eine weitere Beschäftigung mit Bild und Kern. Zunächst untersuchen wir…

24:50 min
Basisübung
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Aufgabe 7a: Kern und Bild einer linearen Abbildung

Aufgabe 7a: Kern und Bild einer linearen Abbildung

Dieses Video zeigt eine Aufgabe, in der zu einer gegebenen linearen Abbildung Kern und Bild berechnet werden. Danach untersuchen wir die Abbildung auf Injektivität und Surjektivität. Damit kannst du an einem Beispiel sehen, wie du mit den Begriffen…

17:25 min
Basisübung
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Aufgabe 7b: Kern und Bild einer linearen Abbildung

Aufgabe 7b: Kern und Bild einer linearen Abbildung

In diesem Video untersuchen wir eine gegebene Abbildungen zwischen den Vektorräumen der Polynome IR³ [x]. Wir bestimmen ihren Kern und ihr Bild und entscheiden, ob sie injektiv, bzw. surjektiv ist. Dazu machen wir uns einiges an Hintergrundwissen…

21:51 min
Basisübung
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Aufgabe 8: Injektivität, Surjektivität und Dimension

Aufgabe 8: Injektivität, Surjektivität und Dimension

In diesem Video betrachten wir lineare Abbildungen zwischen endlich-dimensionalen Vektorräumen und beschäftigen uns mit Fragen nach Injektivität, Surjektivität und Bijektivität. Dies machen wir recht abstrakt durch Betrachtungen der Dimension. Somit…

18:54 min
Basisübung
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Aufgabe 9b: Rechnen mit linearen Abbildungen

Aufgabe 9b: Rechnen mit linearen Abbildungen

Dieses Video ist eine umfassende Wiederholungsaufgabe im Bereich Lineare Abbildung. Sechs Teilaufgaben behandeln das explizite Bestimmen einer Abbildung, einer Basis. Wir untersuchen die Abbildung auf Injektivität, befassen uns mit Surjektivität,…

43:49 min
Basisübung
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Theorie 4: Kern und Bild einer quadratischen Matrix

Theorie 4: Kern und Bild einer quadratischen Matrix

In diesem Video vertiefst Du Dein Wissen über Kern und Bild einer quadratischen Matrix und lernst damit zusammenhängende Aussagen kennen. Es wird bewiesen, dass der Kern einer quadratischen Matrix genau dann null ist, wenn die Dimension des Bildes…

16:32 min
Basisübung
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Aufgabe 9a: Rechnen mit linearen Abbildungen

Aufgabe 9a: Rechnen mit linearen Abbildungen

In diesem Video wird eine Aufgabe gestellt, die das Rechnen mit linearen Abbildungen erfordert. Teilaufgaben sind es, einen Vektor so zu bestimmen, dass er im Kern liegt und die Matrix zu bestimmen, die der gesuchten linearen Abbildung entspricht.…

24:51 min
Basisübung
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Theorie 1: Lineare Abbildungen - Definition und erste Eigenschaften

Theorie 1: Lineare Abbildungen - Definition und erste Eigenschaften

Dieses Video führt Dich in einen der zentralen Begriffe der Linearen Algebra ein, den der Linearen Abbildung. Lineare Abbildungen sind mit die wichtigsten Abbildungen zwischen Vektorräumen, daher sollte ihre Definition, ihre Grundlagen und…

23:25 min
Basisübung
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