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Transkript Die Lagrangefunktion

In diesem Video erklären wir die Lagrange-Funkton. Die brauchen wir, um Extrempunkte herauszufinden und eine Nebenbedingung haben, aber dafür keine Kurvendiskussion aufstellen wollen oder können. Also häufig haben wir Text- oder Praxisaufgaben, aus denen wir halt 2 Bedingungen extrahieren müssen. Zum einen die Hauptbedingung, die wir maximieren oder minimieren wollen, zum Beispiel Kostenfunktionen oder Gewinnmaximierung. Und für diese Hauptbedingung suchen wir auch den Extremwert. Dann ist da noch die Nebenbedingung, die unsere Hauptbedingung einschränkt, zum Beispiel die Budgetrestriktion und mit ihr multiplizieren wir den Lagrangefaktor, der uns dann ein kleiner Hilfsfaktor sein wird. Die Nebenbedingung hat meistens schon ein konkretes, festgelegtes Ergebnis. Also, unsere Lagrangegleichung, die wird bestehen aus der Hauptbedingung + der Nebenbedingung × dem Lagrangefaktor, das ist unser lambda. Für die Extremwertfindung setzen wir diese Gleichung 0. Schauen wir uns jetzt ein Beispiel an. Unsere Hauptbedingung ist hier f(x,y)=2x²+y. Unsere Nebenbedingung, die das Ganze einschränkt, ist hier g(x,y)=3x-y -und sie hat schon ein konkretes Ergebnis- =1000. Also unsere Lagrangegleichung ist wie gesagt Hauptbedingung + Langrangefaktor × Nebenbedingung. Damit wir sie einsetzen können, müssen wir die Nebenbedingung vorher 0 setzen und dafür formen wir sie jetzt um: Also unser g(x,y)=3x-y=1000 und um das 0 zu setzen, ziehen wir 1000 ab. Dadurch erhalten wir 3x-y-1000=0. Wir setzen nun Hauptbedingung und Nebenbedingung in unsere Lagrangegleichung ein, dadurch ergibt sich 2x²+y+dem Lagrangefaktor×der Nebenbedingung 3x-y-1000. Wir lösen die Klammer auf und multiplizieren es aus, und dadurch kriegen wir 2x²+y+3x×lambda-y×lambda und -1000×lambda. Nun bilden wir von der Lagrangefunktion die partiellen Ableitungen nach x, y und lambda. Also nach x abgeleitet erhalten wir 4x+3lambda, nach y abgeleitet ergibt sich 1-lambda und nach lambda abgeleitet ergibt sich 3x-y-1000 und man kann erkennen, das ist unsere ursprüngliche Nebenbedingung. Die 3 partiellen Ableitungen setzen wir jetzt 0. Durch Umformen und Einsetzen lösen wir unser Gleichungssystem jetzt auf. Wir beginnen mit der einfachsten: das ist hier 1-lambda=0. Die lösen wir nach lambda auf, da haben wir gleich den Lagrangefaktor raussortiert; lambda ist hier gleich 1 und den setzen wir jetzt in die Ableitung nach x ein. Daraus ergibt sich 4x+3lambda=4x+3(1). Das ist ebenfalls gleich 0 und die formen wir auch wieder um, daraus ergibt sich x=-3/4. Und dieses x setzen wir nun in die Nebenbedingung ein. Also dadurch erhalten wir 3×(-¾)-y-1000=0. Zusammengefasst -9/4-y-1000. Wir addieren 1000 und 9/4. Dadurch erhalten wir y=1002,25. x und y können wir jetzt in unsere Hauptbedingung einsetzen, dadurch erhalten wir f(x,y)=2×(-¾)²-1002,25, und das ergibt 1,125-1002,25 und im Endergebnis -1001,25. Unser möglicher Extrempunkt ist hier P aus x=-¾, y=1002,25 und f(x,y)=-1001,25. Ob dieser Punkt ein Minimum oder Maximum ist, lässt sich mit Verfahren der Extremwertbestimmung berechnen. Das war es. Vielen Dank und viel Erfolg. Macht es gut.

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8 Kommentare
  1. Default

    Ich schaffe es nicht die Lösungsaufgabe zu beantworten, könnte einer mir erklären, wie ich nach der partiellen Ableitung vorgehen muss? Danke :)

    Von Leandra Streuer, vor fast 3 Jahren
  2. Default

    segen demjenigen, der das ohne kommentare guckt und sich sehr wundern wird...

    Von Deleted User 115528, vor fast 3 Jahren
  3. Default

    absolut klasse erklärt

    Von Valmynd, vor mehr als 3 Jahren
  4. Default

    schon gut, habs :-)

    Von Sawmurai, vor etwa 6 Jahren
  5. Default

    Ich krieg die Übungsaufgabe irgendwie nicht hin ... kann die einer vielleicht als Beispielrechnung posten bitte?

    Von Sawmurai, vor etwa 6 Jahren
  1. Default

    Sie rechnet doch mit den richtigen Werten weiter und kommt zum richtigen Ergebnis. f(x,y) ist NICHT 1003,75, weil durch das quadrieren der -3/4 positiv wird.

    Von Agilein, vor mehr als 6 Jahren
  2. Default

    Die Form ist super.
    keep doing

    Von Deleted User 2550, vor mehr als 7 Jahren
  3. Default

    Auf dem letzten Blatt lautete die Gleichung -9/4-y-1000=0 Dann werden 9/4 und 1000 addiert, dann müsste aber vor dem y immer noch das Minus stehen. Also ist in Wirklichkeit y=-1002,25 und damit ändert sich auch f(x,y) = 1003,75

    Von Deleted User 1423, vor mehr als 7 Jahren
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