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Transkript Niveaulinien - Aufgabe 1

In diesem Beispiel betrachten wir die Funktion f(x,y)=x²-4y² und zu dieser Funktion wollen wir die Niveaulinien veranschaulichen. Bevor wir unmittelbar mit der Aufgabe anfangen, möchte ich etwas über diesen Ausdruck x²-4y² sagen. Dieser Ausdruck hat viel mit Hyperbeln zu tun. Was genau das alles sein soll, das werden wir gleich sehen. Ich fange mit einer Vorbemerkung an. Bemerkung: Hyperbel. Wir betrachten 2 Parameter a und b, sind positiv, sind feste Zahlen. Dann betrachten wir folgende Gleichung: (x²/a²)-(y²/b²)=1. Da sehen wir x²-y² genauso wie in unserer Funktion. Das ist schon relevant. Wenn wir diese Gleichung betrachten, dann jeder Punkt x,y, dessen Koordinaten diese Gleichung genügen, der liegt auf einer Kurve, die Hyperbel heißt. Sie sieht so aus: Hier sind die Achsen x und y, und ich bräuchte dann eine Hilfslinie. Ich markiere hier diese Gerade durch den Ursprung und eine symmetrische Gerade durch den Ursprung und die Hyperbel wird so verlaufen: Das ist der eine Zweig der Hyperbel und der 2. Zweig der Hyperbel. Was ist denn anzumerken? Also noch einmal: Diese 2 Kurven, die ihr hier seht, die ich gerade eingezeichnet habe, diese 2 Kurven zusammen heißen Hyperbel. Und der Punkt ist, dass jeder Punkt auf dieser Kurve die oben stehende Gleichung erfüllt. Also mit anderen Worten, die Gleichung (x²/a²)-(y²/b²)=1 beschreibt die Hyperbel, und die Hyperbel sieht so aus. Es ist wichtig, das zu wissen, bevor wir mit der Aufgabe anfangen. In der Aufgabe werden wir mit Hyperbeln zu tun haben, mit konkreten Hyperbeln. Vielleicht noch ein paar Bemerkungen zu dieser Hyperbel. Wenn wir in die Gleichung, die hier steht, wenn wir x=a und y=0 einsetzen, dann sehen wir, dass diese Gleichung aufgeht. Und dasselbe x=-a. Deswegen, die Punkte, wo die Hyperbel die x-Achse schneidet, das ist eben a und -a. Das sieht man unmittelbar durch Einsetzen. Was man nicht sofort sieht, das ist die Steigung der gestrichelten, grünen Linien. Also wir sehen, dass die Hyperbel sich an die grünen Linien schmiegt und manchmal ist auch wichtig zu wissen, welche Steigung diese Linien haben. Ich werde es nicht vertiefen, ich werde einfach nur schreiben, dass die gestrichelte Linie, die durch den 1. Quadranten geht, die Gleichung y=(b/a)x hat. Das kann man sich überlegen, aber da können wir uns nicht verzetteln. Ja, und entsprechend die gestrichelte Linie, die durch den 2. und den 4. Quadranten läuft, da heißt halt die Gleichung -(b/a)x. Ok, nun wissen wir alles über Hyperbeln und nun sind wir bereit, die Niveaulinien der vorgegebenen Funktion zu veranschaulichen. Das wird eine Familie von Hyperbeln sein. Nun sind wir ausgerüstet für diese Aufgabe. Ich brauche nichts davon, was an der Tafel steht. Ok, nun fangen wir an. Diese Niveaulinie sei c0, eine beliebige Zahl und die Aufgabe ist, veranschauliche die Niveaulinie der Funktion f zum Wert c0. Veranschauliche die Menge Nc0. Sie ist wie folgt definiert: Das sind die Mengen der Punkte |x,y|, wo die Funktion den Wert c0 hat. Das heißt, wo x²-4y²=c0 ist. Und wir sehen, diese Gleichung sieht fast wie eine Hyperbel aus. Nun wollen wir diese Gleichung analysieren. Ich habe die Gleichung der Hyperbel weggewischt, nun brauche ich sie wieder. Folgendes: Rechts in der kanonischen Gleichung der Hyperbel steht 1. Bei uns in diesem Fall steht c0. Daher bietet sich eine Fallunterscheidung an. Man kann aus diesem c0 1 machen, wenn man die ganze Gleichung durch c0 dividiert. Wenn man aber durch eine Zahl dividiert, dann muss man aufpassen, dass diese Zahl von 0 verschieden ist. Deswegen bietet sich schon an dieser Stelle Fallunterscheidung an, ob c0=0 ist, ob c0 von 0 verschieden ist. Außerdem sehen wir, dass die linke Seite nicht so ganz symmetrisch ist. x² ist mit dem Vorzeichen +, y² ist mit dem Vorzeichen -. Und wenn wir durch eine negative Zahl dividieren, dann drehen sich die Vorzeichen um. Aus dieser Überlegung ergibt sich die Fallunterscheidung, ob c positiv oder negativ ist. Und insgesamt müssten wir 3 Fälle unterscheiden: ob c positiv, c=0 ist und c negativ ist. Und nun besprechen wir diese 3 Fälle. Die ersten 2 Fälle werden dann specific haben und der 3. Fall wird dann ähnlich wie der 1. Fall sein. Fall c0>0 Was haben wir denn? x²-4y²=c0 und wir wollen daraus die kanonische Gleichung der Hyperbel gewinnen. Deswegen dividieren wir durch c0, wie angekündigt. Ich habe hier (x²/c0)-(4y²/c0)=1. Auf der rechten Seite steht schon 1 und wir sollen das in die Form bringen, (x²/a²) (y²/b²). Und das machen wir so: x²\sqrt(c0)² und das bleibt wieder c0. - y²(sqrt(c0)/2)²=1. Nun steht die Hyperbel als Gleichung in kanonischer Form und wir sehen die Parameter in diesem Fall sind a=\sqrt(c0), b=(\sqrt(c0)/2). Die Parameter an sich sind uns nicht so sehr wichtig, wichtig ist das Verhältnis der Parameter. Also Verhältnis der Parameter, ich erinnere, haben wir gerade besprochen, bestimmt die Scheiben der Asymptoten der Hyperbel. Also b/a ist offensichtlich ½. Nun können wir die Nulllinie in diesem Fall veranschaulichen. Also, das ist eine Hyperbel. Sie schneidet die x-Achse bei \sqrt(c0) und -\sqrt(c0), ich werde das später einzeichnen. Und sie hat als Asymptoten die Steigung ½. Also wir haben hier Asymptoten mit Steigung ½, und so verlaufen die Niveaulinien: Niveaulinien zeichne ich jetzt grün ein. Ja, so sehen die Niveaulinien aus, das ist eine dicke Niveaulinie. Ordentlichheitshalber benenne ich die Achsen und wie gesagt, die Niveaulinien schneiden die x-Achse beim Wert -\sqrt(c0) und \sqrt(c0). Was können wir noch sagen? Wir können noch sagen, dass die Asymptoten die Gleichung y=½x haben. Dann wissen wir schon alles über die Niveaulinien der Funktion im Fall, wenn der Wert >0 ist. Und wir sehen hier, je größer c0 ist, desto weiter gehen die Zweige der Niveaulinien auseinander. Je kleiner c0 ist, desto näher schmiegen sich die Niveaulinien an die Asymptoten. Gut, dann haben wir diesen Fall behandelt. Nun betrachten wir den Fall, wenn c0=0 ist. Vielleicht unterscheibe ich eben noch diese Menge, also das Grüne ist ja eben Nc0, das ist die Niveaulinie. Nun betrachten wir den Fall, wenn c0=0 ist. Wir bekommen es dann mit der Gleichung x²-4y²=0 zu tun. Interessant ist, es ist keine Hyperbel mehr. Wir haben auf der rechten Seite 0 und nicht 1. Und das verändert die Situation dramatisch. Wir wollen uns aber kurz klarmachen, wie sieht die Menge aus, die durch diese Gleichung gegeben ist. Ich stelle ein bisschen um, y²=¼x², das kann man wohl machen. Als nächstes will ich die Quadratwurzel aus dieser Gleichung ziehen, also Quadratwurzel ziehen und Quadratwurzel aus 4 ist 2, keine Frage. Manche würden dann so schreiben: y=½x. Das ist aber falsch so. Also man soll dran denken, das \sqrt(x²) nicht gleich x ist. Das ist falsch, zum Beispiel für negative Zahlen. Wurzel aus Quadrat x ist gleich x dem Betragen nach. Also mit dieser Korrektur sehen wir, dass die Gleichung, für die wir uns interessieren, ist eben dasselbe, aber mit Beträgen. |y|=½|x|. Und das wird so manches verändern. Und wenn |y| ist irgendwelche Zahl, ½|x|, dann bedeutet, dass y entweder diese Zahl mit dem Vorzeichen + ist, oder diese Zahl mit dem Vorzeichen -. So weit, so gut. Also wir sehen, im Fall c0=0 ist die Niveaulinie nicht durch quadratische Ausdrücke beschrieben. Also wir haben hier keine Quadrate, wir haben hier keine Hyperbeln entsprechend. Und den Graphen der Funktion y=½|x| können wir zeichnen. Der wird dann so aussehen: y=|x|, das ist so ein Vogel, also so ein v, und wenn davor der Faktor ½ steht, dann werden die Flügel ein bisschen flacher. Das ist der obere Zweig, der mit dem Vorzeichen +, und mit dem Vorzeichen - hat man hier ein symmetrisches Bild. Gut, das sind Niveaulinien der Funktion f zum Wert 0 und wir sehen, das sind hier genau die Asymptoten, die wir auf dem Bild zuvor hatten. Hier haben wir die Gleichung y=½|x|, hier haben wir die Gleichung y=-½|x|. Also wenn die Konstante c0=0 ist, dann sieht die Niveaulinie so aus. Das sind ja 2 Geraden und keine Hyperbel mehr. Nun betrachten wir den 3. verbliebenen Fall, wo der Wert der Konstanten c0 negativ ist. Das wird auch manches ändern. Also ich betrachte den Fall c0=<0. Ich habe wieder die Gleichung x²-4y²=c0. Scheinbar ist es dasselbe wie im 1. Fall. Scheinbar, die Gleichung sieht genau so aus. Man muss aber aufpassen. Das c0 negativ ist, das verändert einiges. Um es deutlicher zu schreiben, schreibe ich c0 in der Form -|c0|. Das ist eine formale Veränderung. Was wir dadurch gewinnen, wir sehen, auf der rechten Seite steht eine negative Zahl. In der kanonischen Form steht auf der rechten Seite eine positive Zahl, und zwar 1. Nun bringen wir das alles auf die kanonische Form. Da habe ich (4y²/|c0|)-(x²/|c0|)=1. Ich habe durch c0 dividiert, das heißt -|c0| und auf der linken Seite verdreht es die Vorzeichen. Und dann habe ich (y²/\sqrt(|c0|/2)) und das nochmals quadriert - (x²/\sqrt(|c0|)) und das alles noch quadriert. Es ist nicht ganz die kanonische Form der Hyperbeln, weil in der kanonischen Form hat man (x²/a²)-(y²/b²). Hier haben wir es umgekehrt, die Vorzeichen sind verdreht. Und das wird bewirken, dass x und y ihre Rollen tauschen. Die Asymptote bleibt dieselbe. Die gestrichelte Linie hat dieselbe Gleichung, y=½x, das heißt, sie treffen sich im Ursprung. Und x und y werden jetzt ihre Rollen tauschen. Also wir können hier zumindest durch Einsetzen sehen, dass, wenn x=0 ist, y von 0 verschieden sein soll. Das heißt, die Hyperbeln werden jetzt die y-Achse schneiden und werden so verlaufen. Das sind nach wie vor Hyperbeln, aber jetzt liegt ein Zweig oben, der andere Zweig unten. Im 1. Fall hatten wir den einen Zweig links, der andere Zweig war rechts. Gut, das sind die Niveaulinien in diesem Fall. Da habe ich nichts hinzuzufügen. Vielleicht kann man sagen, wo diese Niveaulinien die Achsen schneiden, die Achsen werden an der Stelle \sqrt(c0/2) und -\sqrt(c0/2) geschnitten, und die Achsen kann man noch unterschreiben. So sehen die Niveaulinien aus und anhand der Niveaulinien kann man auch den Graphen der Funktion wieder herstellen. Das überlasse ich euch als eine knifflige Aufgabe. Gut. Das war es zu dieser Aufgabe.  

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2 Kommentare
  1. Kornelius

    Tolles Video :)

    Von Kornelius Kalnbach, vor fast 4 Jahren
  2. Default

    lol , wenn ich mir dazu die Vorlesungen an meiner Uni ansehe ist das hier um Meilen besser ... Lob

    Von Cherek, vor mehr als 6 Jahren