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Temperaturabhängigkeit der Reaktionsgeschwindigkeit

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André Otto
Temperaturabhängigkeit der Reaktionsgeschwindigkeit
lernst du in der Sekundarstufe 5. Klasse - 6. Klasse - 7. Klasse

Grundlagen zum Thema Temperaturabhängigkeit der Reaktionsgeschwindigkeit

Temperaturabhängigkeit der Reaktionsgeschwindigkeit

Hast du dich schon einmal gefragt, ob eine Reaktion schneller oder langsamer abläuft, wenn die Temperatur erhöht wird?

Den Zusammenhang zwischen der Temperatur und der Reaktionsgeschwindigkeit werden wir in diesem Text herausarbeiten. Dazu wird die Arrhenius-Gleichung beschrieben und deren Bedeutung erklärt. Daraus folgend wird über die Arrhenius-Gleichung die Reaktionsgeschwindigkeit-Temperatur-Regel erläutert, die RGT-Regel oder manchmal auch Zehn-Grad-Regel genannt wird. Als Vorkenntnisse solltest du ein solides Wissen über allgemeine Reaktionskinetik, also die Thermodynamik und Kinetik chemischer Reaktionen haben.

Die RGT-Regel ist eine Faustregel, die besagt, dass sich bei einer Erhöhung der Temperatur um 10 Kelvin (bzw. um 10 Grad Celsius) die Reaktionsgeschwindigkeit ungefähr verdoppelt bis vervierfacht, also die chemische Reaktion zwei- bis viermal so schnell abläuft.

Kinetische Gleichungen

Kinetische Gleichungen zeigen in der Chemie den Zusammenhang zwischen der Geschwindigkeitskonstante $k$ und der Reaktionsgeschwindigkeit $v$ auf. Allgemein ist die Reaktionsgeschwindigkeit $v$ abhängig von einem Produkt aus der Geschwindigkeitskonstante $k$ und der Konzentration des Edukts $c$. Einige kinetische Gleichungen sind folgend aufgeführt:

  • $v = k \cdot c$
  • $v = k \cdot {c}^2$
  • $v = k \cdot {c}^3$
  • $v = k \cdot c_\text{A} \cdot c_\text{B}$
  • $v = k \cdot c_\text{A} \cdot {c_\text{B}}^2$
  • $v = k \cdot c_\text{A} \cdot c_\text{B} \cdot c_\text{C}$

Welche dieser Gleichungen die Reaktionskinetik einer gegebenen Reaktion korrekt beschreibt, hängt von der Reaktionsordnung ab. Die Reaktionsordnung wird im Wesentlichen durch die Anzahl der Edukte $\text{A}$, $\text{B}$ und $\text{C}$ bzw. die Anzahl der nach der Stoßtheorie zusammenstoßenden (und miteinander reagierenden) Teilchen eines oder mehrerer Stoffe bestimmt.

Die Arrhenius-Gleichung in der Chemie

Die Geschwindigkeitskonstante $k$ steht in jedem Fall in direktem Zusammenhang mit der Reaktionsgeschwindigkeit $v$ und ist außerdem temperaturabhängig. Aber wie wird diese Abhängigkeit von der Temperatur $T$ beschrieben?

Der schwedische Chemiker Svante Arrhenius entwickelte im Jahr $1889$ die nach ihm benannte Arrhenius-Gleichung zur Beschreibung der Abhängigkeit der Reaktionsgeschwindigkeitskonstante $k$ von der Temperatur $T$.
Die Arrhenius-Gleichung lautet wie folgt:

$k = A \cdot e^{- \frac{E_a}{R \cdot T}}$

Sie setzt sich aus den folgenden Größen zusammen:

  • $k$: Geschwindigkeitskonstante
  • $A$: Präexponentialfaktor (auch präexponentieller Faktor, jeweils für die Reaktion charakteristisch)
  • $E_\text{a}$: Aktivierungsenergie (jeweils für die Reaktion charakteristisch)
  • $R$: universelle Gaskonstante $\left(R = \pu{8,314 J//mol*K} \right)$
  • $T$: absolute Temperatur in $\text{K}$ (Kelvin)

Bedeutung der Arrhenius-Gleichung

Bisher haben wir einige kinetische Gleichungen und die Arrhenius-Gleichung kennengelernt. Doch welche Bedeutung hat die Arrhenius-Gleichung für die Reaktionsgeschwindigkeit?

$k = A \cdot e^{- \frac{E_a}{R \cdot T}}$

Der Präexponentialfaktor $A$ und die Aktivierungsenergie $E_\text{a}$ sind reaktionsabhängig, dabei aber über ein gewisses Temperaturintervall konstant. Deswegen können wir der Arrhenius-Gleichung (oben) entnehmen, dass mit steigender Temperatur $T$ auch die Geschwindigkeitskonstante $k$ steigt. Mit steigender Geschwindigkeitskonstante $k$ steigt wiederum auch die Reaktionsgeschwindigkeit $v$.

RGT-Regel – Definition und Bedeutung

Die Reaktionsgeschwindigkeit-Temperatur-Regel ist eine Faustregel in der Chemie und sagt aus, dass sich die Reaktionsgeschwindigkeit bei einer Temperaturerhöhung von zehn Kelvin in etwa verdoppelt bis vervierfacht.

Stell dir vor, dass du eine Reaktion zuerst bei $\pu{20 °C}$ und dann bei $\pu{30 °C}$ ablaufen lässt. Die RGT-Regel besagt, dass die zweite Durchführung der Reaktion in etwa doppelt so schnell ablaufen wird wie die erste Durchführung.

Herleitung der RGT-Regel – Beispiel

Wie können wir zeigen, dass die RGT-Regel stimmt? Neben der Möglichkeit, die Reaktionsgeschwindigkeiten in einem Versuch zu messen, können wir mit der Arrhenius-Gleichung mathematisch zeigen, dass die RGT-Regel gilt. Einfach erklärt, entwickeln wir zunächst eine Formel, in welche wir Beispielwerte einsetzen können, um die RGT-Regel zu überprüfen. Im weiteren Verlauf wird mit einer gegebenen chemischen Reaktion die RGT-Regel überprüft, indem der Faktor der Reaktionsgeschwindigkeitserhöhung bei einer Temperaturerhöhung (um zehn Kelvin) berechnet wird. Die Temperatur wird nachfolgend deshalb immer in der Einheit Kelvin angegeben.

Herleitung der Gleichung zur Überprüfung der RGT-Regel

  1. Aufstellen der Arrhenius-Gleichung für die erste ablaufende Reaktion bei einer konstanten Temperatur $T$:
    $k = A \cdot e^{-\frac{E_\text{a}}{R \cdot T}} \quad \left( \text{I} \right)$

  2. Aufstellen der Arrhenius-Gleichung für die zweite ablaufende Reaktion bei einer konstanten Temperatur $T + \pu{10 K}$:
    Es wird die Annahme getroffen, dass sich die Reaktionsgeschwindigkeit der ablaufenden Reaktion bei einer Erhöhung der Temperatur $T$ um zehn Kelvin in etwa verdoppelt. Die Geschwindigkeitskonstante $k$ erhält also den Faktor $2$ und die Temperatur $T$ erhöht sich um $+10\,\text{K}$. So ergibt sich die zweite Gleichung:
    $2\,k = A \cdot e^{-\frac{E_\text{a}}{R (T+10\,\text{K})}} \quad \left( \text{II} \right)$

  3. Durch Umstellen nach $k$ und anschließende Division der Gleichungen $\left( \text{II} \right) : \left( \text{I} \right)$ ergibt sich:
    $\frac{2\,k}{k} = A \cdot e^{-\frac{E_\text{a}}{R \cdot (T+10\,\text{K})}} \cdot \frac{1}{A} \cdot e^{\frac{E_\text{a}}{R \cdot T}}$

    $2 = e^{-\frac{E_\text{a}}{R \cdot (T+10\,\text{K})}} \cdot e^{\frac{E_\text{a}}{R \cdot T}} \quad \left( \text{III} \right)$

  4. Auflösung der Gleichung $\left( \text{II} \right)$ nach der Aktivierungsenergie $E_\text{a}$:
    $2 = e^{-\frac{E_\text{a}}{R \cdot (T+10\,\text{K})}} \cdot e^{\frac{E_\text{a}}{R \cdot T}} \quad \big\vert~\ln(~)$

    $\ln{2} = -\frac{E_\text{a}}{R \cdot (T+10\,\text{K})} + \frac{E_\text{a}}{R \cdot T}$

    $\ln{2} = \frac{E_\text{a}}{R} \cdot \left( \frac{1}{T} - \frac{1}{(T+10\,\text{K})} \right) \quad \big\vert~\cdot R$

    $R \cdot \ln{2} = E_\text{a} \cdot \left( \frac{1}{T} - \frac{1}{(T+10\,\text{K})} \right)$

    $R \cdot \ln{2} = E_\text{a} \cdot \left( \frac{1 \cdot (T+10\,\text{K})}{T \cdot (T+10\,\text{K})} - \frac{T \cdot 1}{T \cdot (T+10\,\text{K})} \right)$

    $R \cdot \ln{2} = E_\text{a} \cdot \left( \frac{T+10-T}{T \cdot (T+10\,\text{K})} \right)$

    $R \cdot \ln{2} = E_\text{a} \cdot \left( \frac{10}{T \cdot (T+10\,\text{K})} \right) \quad \big\vert~:10$

    $R \cdot \frac{\ln{2}}{10} = E_\text{a} \cdot \frac{1}{T \cdot (T+10\,\text{K})} \quad \big\vert~\cdot T \cdot (T+10\,\text{K})$

    $R \cdot \frac{\ln{2}}{10} \cdot T \cdot (T+10\,\text{K}) = E_\text{a}$

Nun haben wir eine Gleichung, mit der wir die Aktivierungsenergie $E_\text{a}$ berechnen können. Das Einsetzen der universellen Gaskonstante $R = \pu{8,314 J//mol*K}$ in die Gleichung ergibt:

$E_\text{a} = 8{,}314\,\frac{\text{J}}{\text{mol} \cdot \text{K}} \cdot \frac{\ln{2}}{10} \cdot T \cdot (T+10\,\text{K})$

Damit erhalten wir eine vereinfachte Annäherung für die Aktivierungsenergie:

$E_\text{a} = 0{,}576 \cdot T \cdot (T+10)\,\frac{\text{J}}{\text{mol}} \quad \left( \text{IV} \right)$

Überprüfung der RGT-Regel durch Einsetzen von Werten

Einfach erklärt, setzen wir nun verschiedene Werte für $T$ in die ermittelte Gleichung $ \left( \text{IV} \right)$ ein, um die RGT-Regel zu überprüfen. Wir legen dabei jeweils eine Temperatur $T$ fest, erhöhen diese um zehn Kelvin und berechnen die entsprechende Aktivierungsenergie $E_\text{a}$. Das wollen wir im Folgenden am Beispiel der Knallgasreaktion einmal durchführen.

Überprüfung der RGT-Regel am Beispiel der Knallgasreaktion

Die Knallgasreaktion ist eine explosive Reaktion von Wasserstoff mit Sauerstoff zu Wasser und einem Sauerstoffradikal. Die Reaktionsgleichung lautet:

$\ce{H2 + O2 -> H2O + O.}$

Anhand der Knallgasreaktion wollen wir nun den Faktor $n$ berechnen, um den die Reaktionsgeschwindigkeit bei einer Erhöhung der Temperatur um zehn Kelvin zunimmt. Bei der Knallgasreaktion kann experimentell eine Aktivierungsenergie $E_\text{a}$ von $\pu{295 kJ//mol}$ gemessen werden. Weiterhin nehmen wir eine für die Reaktion plausible Temperatur $T$ von $\pu{700 K}$ an. In unserer hergeleiteten Gleichung hatten wir für $n$ den Wert $2$ angenommen:

$E_\text{a} = 8{,}314\,\frac{\text{J}}{\text{mol} \cdot \text{K}} \cdot \frac{\ln{2}}{10} \cdot T \cdot (T+10\,\text{K})$

Den genauen Wert des Faktors $n$ für die Veränderung der Reaktionsgeschwindigkeit der gegebenen Reaktionen wollen wir nun rechnerisch bestimmen. Wir ersetzen in unserer Gleichung also $2$ durch $n$:

$E_\text{a} = 8{,}314 \frac{\text{J}}{\text{mol} \cdot \text{K}} \cdot \frac{\ln{n}}{10} \cdot T \cdot (T+10\,\text{K})$

Umstellen nach $n$ ergibt:

$n = e^{ \frac{295000}{0{,}8314 \cdot ({700}^2 + 7000)}}$

$n \approx 2{,}04$

wobei wir der Einfachheit halber hier auf das Mitführen der Einheiten verzichtet haben.
Der berechnete Faktor für die Knallgasreaktion liegt also bei etwa $2{,}04$. Das liegt genau im erwarteten Bereich. Man erhält also selbst im Fall der explosiven Knallgasreaktion hier einen plausiblen Wert, der für die Tauglichkeit der RGT-Regel spricht.

Praktische Folgen der Temperaturabhängigkeit der Reaktionsgeschwindigkeit

Bis hierhin haben wir gelernt, was die Arrhenius-Gleichung ist und wie wir mit dieser die RGT-Regel herleiten können. Als Orientierungshilfe kannst du dir merken, dass sich bei einer Temperaturerhöhung um zehn Kelvin die Reaktionsgeschwindigkeit verdoppelt.

Welche Auswirkungen haben die gewonnenen Kenntnisse nun auf praktische Belange?

  • Wenn die Temperatur $T$ gegen null geht, geht auch die Geschwindigkeitskonstante $k$ gegen null. Das bedeutet, dass bei einer Temperatur von null Kelvin die Reaktion unendlich langsam, also praktisch gar nicht, stattfindet.
    $k = A \cdot e^{- \frac{E_\text{a}}{R \cdot T}}$

    $\lim_{T \to 0} k = A \cdot e^{- \infty} = A \cdot 0 = 0$

  • Wenn die Temperatur $T$ sehr groß wird, also gegen unendlich geht, geht die Geschwindigkeitskonstante $k$ gegen einen Grenzwert, den Präexponentialfaktor $A$, welcher charakteristisch für die jeweilige ablaufende Reaktion ist. Damit bewegt sich die Reaktionsgeschwindigkeit $v$ bei steigender Temperatur gegen ein Maximum:
    $k = A \cdot e^{- \frac{E_\text{a}}{R \cdot T}}$

    $\lim_{T \to \infty} k = A \cdot e^{0} = A \cdot 1 = A \quad \Leftrightarrow \quad v \longrightarrow \text{max}$

Grafische Darstellung der Temperatur und der Geschwindigkeitskonstante

Die beiden beschriebenen Grenzfälle können grafisch dargestellt werden. Wenn die Geschwindigkeitskonstante $k$ über der Temperatur $T$ aufgetragen wird, verläuft die Kurve monoton steigend aus dem Ursprung und nähert sich asymptotisch einer parallel zur $T$-Achse verlaufenden Linie. Diese Linie kennzeichnet den Wert des Präexponentialfaktors $A$. In der folgenden Abbildung ist die Auftragung der Geschwindigkeitskonstante $k$ über der Temperatur $T$ zu sehen.

Temperaturabhängigkeit Reaktionsgeschwindigkeit

Was können wir nun der Grafik entnehmen? Wir können zum Beispiel ermitteln, in welchen Bereichen eine Änderung der Temperatur, bei der eine Reaktion abläuft, den größten Effekt hat.

  • Erwärmungen im niedrigen Temperaturbereich sind am effektivsten, weil eine Temperaturzunahme dort einen großen Einfluss auf $k$ und damit auf die Reaktionsgeschwindigkeit hat.
  • Erwärmungen bei hohen Temperaturen haben wenig Sinn, weil Veränderungen der Temperatur in diesem Bereich nur einen geringen Einfluss auf $k$ bzw. auf die Reaktionsgeschwindigkeit haben.

Zusammenfassung der Temperaturabhängigkeit der Reaktionsgeschwindigkeit

  • Die Temperaturabhängigkeit der Reaktionsgeschwindigkeit einer chemischen Reaktion wird durch die Arrhenius-Gleichung über die Geschwindigkeitskonstante $k$ beschrieben:
    $k = A \cdot e^{- \frac{E_\text{a}}{R \cdot T}}$
  • Wenn die Temperatur $T$ ansteigt, nimmt auch die Geschwindigkeitskonstante $k$ zu. Sinkt die Temperatur $T$, wird auch die Geschwindigkeitskonstante $k$ kleiner.
  • Die RGT-Regel sagt aus, dass sich die Reaktionsgeschwindigkeit $v$ in einem bestimmten Temperaturintervall in etwa verdoppelt bis vervierfacht, wenn die Temperatur um zehn Kelvin ansteigt.
  • Mit der Arrhenius-Gleichung kann die RGT-Regel durch Umstellen nach der Aktivierungsenergie $E_\text{a}$ hergeleitet werden:
    $E_\text{a} = 8{,}314\,\frac{\text{J}}{\text{mol} \cdot \text{K}} \cdot \frac{\ln{2}}{10} \cdot T \cdot (T+10\,\text{K})$
  • Im niedrigen Temperaturbereich ist eine Temperaturerhöhung zur Beeinflussung der Reaktionsgeschwindigkeit am effektivsten.
  • Die RGT-Regel gilt, je nach Reaktion, nur in einem bestimmten Temperaturbereich und oft nicht bei explosiven Reaktionen oder Kettenreaktionen.

Häufig gestellte Fragen zum Thema RGT-Regel und Arrhenius-Gleichung

Was ist die RGT-Regel?
Welche Bedeutung hat die RGT-Regel?
Für welche Tiere gilt die RGT-Regel?
Wann gilt die RGT-Regel nicht?
Was ist die Arrhenius-Gleichung?
Was ist der Arrhenius-Vorfaktor?
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Vorschaubild einer Übung

Transkript Temperaturabhängigkeit der Reaktionsgeschwindigkeit

Guten Tag und herzlich willkommen. In diesem Video geht es um die Temperaturabhängigkeit der Reaktionsgeschwindigkeit. Der Film gehört zur Reihe Reaktionskinetik kurz Kinetik. Als Vorkenntnisse solltest du solides Wissen in Kinetik mitbringen. Im Film möchte ich den Zusammenhang zwischen der Geschwindigkeitskonstanten (k) und der der absoluten Temperatur (T) und die praktische Bedeutung dieser Beziehung darstellen. Der Film ist 6-geteilt: 1. Kinetische Gleichungen 2. Die Arrhenius-Gleichung 3. Stimmt die 10°-Regel? 4. Die Knallgasreaktion 5. Praktische Folgerungen 6. Zusammenfassung   1. Kinetische Gleichungen Es gibt verschiedene kinetische Gleichungen, z. B. V die Reaktionsgeschwindigkeit = k, die Geschwindigkeitskonstante × Konzentration c, auch V = k × c² ist möglich oder aber V=k×CA×CB oder V=k×CA×CB². Als letztes Beispiel für eine kinetische Gleichung: V=k×CA×CB×CC k ist die Geschwindigkeitskonstante, eine Konstante also und wir wissen, dass k temperaturabhängig ist, aber wie wird diese Abhängigkeit beschrieben? Wovon hängt k ab? 2. Die Arrheniusgleichung Der Nobelpreisträger Svantje Arrhenius entwickelte 1889 eine Gleichung, die den Zusammenhang zwischen Geschwindigkeitskontante und absoluter Temperatur (T) darstellt. Sie lautet: k=A×e-(Ea)/(R×T) k, das wissen wir bereits, ist die Geschwindigkeitskonstante. A ist der sogenannte Präexponentialfaktor. Ea ist die für die Reaktion charakteristische Aktivierungsenergie. Bei R handelt es sich um die universelle Gaskonstante. Groß T ist die absolute Temperatur. A und Ea sind reaktionsabhängig und in einem nicht zu großen Temperaturintervall konstant. Man sieht: Mit steigender Temperatur steigt auch die Geschwindigkeitskonstante. Damit steigt auch die Geschwindigkeit einer chemischen Reaktion, ein Beispiel wäre: V=k×C. 3. Stimmt die 10°-Regel? Sie besagt, dass bei einer chemischen Reaktion eine Temperaturerhöhung um 10° dazu führt, dass die Reaktionsgeschwindigkeit v, das heißt, die Geschwindigkeitskonstante k, um den Faktor 2-3 steigt. Wir wollen einen Test mit der Arrhenius-Gleichung ausführen. In der Gleichung 1 schreiben wir die Arrhenius-Gleichung auf. Wir nehmen an, dass es einen Steigerungsfaktor von 2 gibt, das heißt in der 2. Gleichung steht anstelle von k, 2 k und anstelle von T steht, entsprechend nach Bedingung, T+10. Wir dividieren 2/1, dann formen wir um Logarithmieren. Wir erhalten: ln2= der rechte Term. Wir multiplizieren beide Seiten mit groß R und bilden auf der rechten Seite, bei den Temperaturen den Hauptnenner. Dann teilen wir durch 10. Nun wird mit T×(T+10) multipliziert. Auf der linken Seite erhalten wir, von den Temperaturen, eine Konstante und auf der rechten Seite steht die Aktivierungsenergie (Ea). Wir wollen in Si-Einheiten arbeiten. Dann sparen wir uns das Einsetzen der Einheiten. R ist 8,314 in Si-Einheiten multipliziert mit ln2/10 ergibt das 0,576. Wir haben eine kleine Formel entwickelt, mit deren Hilfe wir die 10°-Regel überprüfen können. In die obere Zeile schreiben wir die absoluten Temperaturen zwischen 300 und 600 Kelvin in 100er Schritten. Für die Aktivierungsenergien unter den Bedingungen erhalten wir Werte zwischen 54 und 211 kJ/mol. Es handelt sich um plausible Werte für die Aktivierungsenergien, um vernünftige, d. h. die Regel ist eine gute Orientierungshilfe. 4. Die Knallgasreaktion Wir betrachten eine Stufe der Reaktion, d. h. die Reaktion eines Wasserstoffmoleküls mit einem Sauerstoffmolekül unter Bildung eines Wassermoleküls und der Entstehung eines Sauerstoffradikals. Dafür wurde eine Aktivierungsenergie von 295 kJ/mol gemessen. Wir erinnern uns an unsere kleine Gleichung aus dem vorherigem Abschnitt. R/10 = 0,314. Anstelle ln2 schreibe ich hier lnn. n ist der Faktor, um den die Reaktionsgeschwindigkeit sich erhöht. Für die Temperaturen kann ich anstelle von TxT+10 auch T²+10T schreiben. Auf der rechten Seite steht, wie gehabt, die Aktivierungsenergie. Wir teilen durch 0,8314 und (T²+10T) und erhalten folgenden Ausdruck. Für die Temperatur verwenden wir einen plausiblen Wert von T=700 Kelvin. Wir formen den Logarithmus in einen exponentiellen Ausdruck um und setzen die entsprechenden Werte ein. Wir erhalten n=1,38, d. h. die Reaktionsgeschwindigkeit erhöht sich um den Faktor 1,38. Das ist gar nicht so schlecht. Wir stellen fest: Auch hier erhält man einen plausiblen Wert zugunsten der 10°-Regel. 5. Praktische Folgen Die gesammelten Erkenntnisse haben Auswirkungen auf praktische Belange, auf die Chemie. Wir schreiben noch einmal die Arrhenius-Gleichung auf. Wenn die Temperatur gegen 0 geht, so geht auch die Geschwindigkeitskontante gegen 0. Es findet keine Reaktion statt. Geht T gegen hohe Temperaturen, so geht k gegen einen Grenzwert, nämlich genau gegen A. Die Reaktionsgeschwindigkeit bewegt sich gegen ein Maximum. Grafisch sieht das so aus: Wenn wir k über T auftragen, so bewegt sich die Kurve aus dem Koordinatenursprung und nähert sich asymptotisch an einer parallelen Linie zur T-Achse an. Erwärmung im unteren Temperaturbereich ist am effektivsten. Erwärmung bei hohen Temperaturen hat wenig Sinn. Man sieht: Im unteren Temperaturbereich hat eine Temperaturzunahme eine große Auswirkung auf die Geschwindigkeitskonstante der Reaktion. Im oberen Temperaturbereich ist die Veränderung der Geschwindigkeitskonstanten nur marginal. 6. Zusammenfassung Die Geschwindigkeitskonstante einer chemischen Reaktion wird durch die Arrhenius-Gleichung beschrieben.

Bei Temperaturerhöhungen steigt auch die Geschwindigkeitskonstante an. Umgekehrt wird die Temperatur vermindert, so fällt auch die Geschwindigkeitskonstante. Wir konnten zeigen, dass die 10°-Regel eine gute Orientierung bei chemischen Reaktionen ist. Im unteren Temperaturbereich wirkt eine Temperaturerhöhung  bezüglich der Erhöhung der Reaktionsgeschwindigkeit am effektivsten. Man kann das an der k von T Kurve sehen. Dort ist die Steigung der Funktion am stärksten. Ich danke für eure Aufmerksamkeit. Ich wünsche euch alles Gute. Auf Wiedersehen.  

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Temperaturabhängigkeit der Reaktionsgeschwindigkeit Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Temperaturabhängigkeit der Reaktionsgeschwindigkeit kannst du es wiederholen und üben.
  • Erkläre die Arrhenius-Gleichung.

    Tipps

    Die Formel ist nach ihrem Entdecker benannt.

    Lösung

    Die Arrhenius-Gleichung wurde nach ihrem Entdecker, dem Chemiker, Physiker und Nobelpreisträger Svante Arrhenius, benannt. Sie beschreibt die Temperaturabhängigkeit von Reaktionen und führt zur sogenannten RGT-Regel, nach der sich die Reaktionsgeschwindigkeit von Reaktionen bei der Erhöhung der Temperatur um $10\,\text{K}$ verdoppelt. Die Arrhenius-Regel besteht aus einigen wichtigen Bestandteilen, wie etwa der Temperatur $T$, dem präexponentiellen (vor der Exponentialfunktion stehenden) Faktor $A$, der Aktivierungsenergie ${E}_{a}$ und der universellen Gaskonstante $R$.

    Die universelle Gaskonstante beträgt $8{,}314\,\frac {\text{J}}{\text{K} \cdot \text{mol}}$. Die Aktivierungsenergie wird in $\frac{\text{J}}{\text{mol}}$ angegeben und muss vor einer Reaktion überwunden werden, damit die Reaktion stattfinden kann. Sollte sie negativ sein, ist die Reaktion exotherm. Die Temperatur ist sicherlich einer der wichtigsten Faktoren und wird in $\text{K}$ angegeben. Sie bestimmt über den Verlauf der Arrhenius-Gleichung.

  • Bestimme die Aktivierungsenergien bei folgenden Temperaturen.

    Tipps

    Setze die Werte der Temperatur in die vereinfachte Gleichung ein, um die entsprechenden Aktivierungsenergiewerte zu bekommen.

    Die Einheit der universellen Gaskonstante ist $\frac{\text{J}}{\text{mol} \cdot \text{K}}$. Die gegebenen Aktivierungsenergien sind in $\frac{\text{kJ}}{\text{mol}} umgerechnet.

    Lösung

    Die Arrhenius-Formel lautet: <p>$k=t A \cdot {E}_{a}{ \cdot e}^{\frac{-{E}_{a}}{R \cdot T}}$.</p>

    Wenn man nun die Formel für die Berechnung der Aktivierungsenergie umstellt, erhält man <p>$E_{a} = 8{,}314 \cdot \frac {\ln{2}}{10} \cdot T \cdot (T+10)$.</p> Dies ist die vereinfachte Formel, die nach Einsetzen der verschiedenen Werte für die Temperatur nun einen Wert für die Aktivierungsenergie ergibt.

    Setzt man konkret $300\,\text{K}$ in die vereinfachte Formel ein, so ergibt sich beispielsweise ein Wert von $53594\,\frac{\text{J}}{\text{mol}}$, also umgerechnet $54\,\frac{\text{kJ}}{\text{mol}}$ für die Aktivierungsenergie. Dabei steigt die Aktivierungsenergie mit steigenden Temperaturwerten.

  • Erkläre das Grenzwertverhalten der Temperatur in der Arrhenius-Gleichung.

    Tipps

    Der Wert $\frac {1}{\infty}$ nähert sich dem Wert $0$ an.

    Die Temperaturauswirkung wird durch die Reaktionskonstante $k$ am Graphen deutlich, die durch die Steigung bestimmt werden kann.

    Lösung

    <p>$k = A {\cdot e}^{\frac{-{E}_{a}}{Rv\cdot T}}$<p>

    Diese Gleichung soll nun für Extremwerte betrachtet werden. Wenn die Temperatur gegen $0$ geht, so ergibt sich folgender Term:

    <p>${e}^{\frac{{E}_{a}}{R \cdot [T \rightarrow 0] } \quad }\Rightarrow \quad \lim _{ }{k \rightarrow 0}$

    Das bedeutet, wenn $k$ sich dem Wert $0$ annähert, auch die Temperatur gegen $0$ geht. Umgekehrt nähert sich der Wert der <nobr>$e$-Funktion</nobr> dem Wert $1$ an, wenn gilt: $T \rightarrow \infty$.

    Somit ergibt sich in diesem Fall für die Arrhenius-Gleichung:

    <p>$k \quad = \quad A \cdot 1$.</p>

    Bei hohen Temperaturen nähert sich $k$ also dem präexponentiellen Faktor $A$ an. Diese Entwicklung lässt sich asymptotisch in den Graphen übertragen. Eine Temperaturerhöhung hat also in den unteren Bereichen viel stärkere Auswirkung auf die Reaktionsgeschwindigkeit, da hier der Anstieg der Kurve höher ist.

  • Berechne die Aktivierungsenergie in folgenden Beispielen.

    Tipps

    Die ersten beiden Nachkommastellen sind anzugeben, auch, wenn es sich etwa um eine Null als letzte Stelle handelt. Ab $5$ wird aufgerundet.

    Die Aktivierungsenergie wird mit einer Erhöhung der Temperatur ebenfalls steigen.

    Lösung

    Die Arrhenius-Formel lautet: <p>$k = {A \cdot e}^{\frac{-E_a}{R \cdot T}}$.</p> Umgestellt nach ${E}_{a}$ ergibt sich die folgende Formel, die auch als Überprüfung der RGT-Regel (Reaktionsgeschwindigkeit-Temperatur-Regel) verwendet werden kann:

    <p>$R \cdot \frac {\ln{2}}{10} \cdot T \cdot (T+10) = {E}_{a}$.</p>

    Durch das Herauskürzen des präexponentiellen Faktors $A$ und dem Einsetzen der universellen Gaskonstante $\left( 8{,}314\,\frac{\text{J}}{\text{mol} \cdot \text{K}} \right)$ ergibt sich für den ersten Teil des Terms der ungefähre Wert von $0{,}576$. Dieser wird zuerst mit der angegebenen Temperatur multipliziert und schließlich mit der um $10\,\text{K}$ erhöhten Temperatur, um die RGT-Regel zu überprüfen. Wie sich nun zeigt, liefert die von uns entwickelte Formel äußerst treffende, realistische Werte für die RGT-Regel. Diese kann somit als bewiesen gelten.

  • Erkläre die RGT-Regel.

    Tipps

    Die RGT-Regel (Reaktionsgeschwindigkeits-Temperatur-Regel) beschreibt einen Zusammenhang zwischen Temperatur und Reaktionsgeschwindigkeit.

    Lösung

    Die Arrhenius-Regel ermöglicht es uns, mittels der Reaktionskonstante $k$, den Einfluss der Temperatur auf die Geschwindigkeit darzustellen. Aus ihr lässt sich die sogenannte RGT-Regel (Reaktionsgeschwindigkeits-Temperatur-Regel) ableiten, welche besagt, dass bei einer Erhöhung der Temperatur sich die Geschwindigkeit verdopple. Die umgestellte Formel ergibt dann: <p>$R \cdot \frac{\ln{2}}{10} \cdot T \cdot (T+10)={E}_{a}$.</p> Wenn man passende Werte für die Temperatur einsetzt, ergibt sich, dass die RGT-Regel durchaus passable Werte ausgibt.

  • Berechne den Faktor $n$.

    Tipps

    Die Temperatur muss erst in Kelvin umgerechnet werden: $0\,^\circ\text{C}$ sind äquivalent zu $273{,}15\,\text{K}$.

    Die Aktivierungsenergie ist in Kilojoule pro mol $\left( \frac{\text{kJ}}{\text{mol}} \right)$ angegeben, sodass die Kilojoule erst in Joule umgerechnet werden müssen. Kilo bedeutet, dass der Umrechnungsfaktor $1000$ ist.

    Lösung

    Die umgestellte Arrhenius-Gleichung, mit der man den Faktor der Geschwindigkeit $n$, berechnen kann, lautet:

    <p>$\ln{n} =\frac{{E}_{a}}{0{,}8314 \cdot ({{T}^{2}}+10\,T)}$</p>

    Zuerst kann der Term im Nenner berechnet werden, indem erst die Temperatur von Grad Celsius in Kelvin überführt wird. Die Temperatur beträgt also $373{,}15\,\text{K}$. Setzt man diesen Wert nun in den Nenner ein, ergibt sich für den Teil: <p>$0{,}8314 \cdot [373{,}15^{2} + (10 \cdot 373{,}15)]$</p> ein Wert von: $118867{,}2721\,\frac{\text{J}}{\text{mol}}$.

    Die Aktivierungsenergie im Zähler muss ebenfalls noch umgerechnet werden, indem Kilojoule in Joule umgerechnet werden. Die Aktivierungsenergie, mit der wir nun rechen, beträgt $397000$ Joule.

    Nun teilt man die Aktivierungsenergie durch den unteren Wert, sodass sich alle Einheiten wegkürzen:

    <p>$\frac{397000\,\frac{\text{J}}{\text{mol}}}{118867{,}2721\,\frac{\text{J}}{\text{mol}}}$.</p> Der Wert, der sich nun ergibt, lautet: $3{,}33998748$

    Wichtig ist noch, den Logarithmus $\left( \ln{n} = {...} \right)$ auf der linken Seite durch eine Exponentialfunktion rückgängig zu machen, sodass der gesuchte Wert von $0{,}035$ errechnet wird. Die Reaktion beschleunigt sich also um den Faktor $0{,}04$.